Created by: Agus Nofal( ) Eny Sri Wiji Astuty( ) Ponirin( ) Masalah Lintasan Terpendek

Teknik BFS ( The Breadth First Search ) Diberikan graf G dan s, t adalah dua verteks khusus dari G. Kita akan mendeskripsikan suatu metode untuk menemukan lintasan dari s ke t, jika terdapat sembarang bilangan terkecil yang digunakan pada sisi-sisi tersebut, sehingga jika lintasan tersebut ada maka disebut dengan lintasan terpendek dari s ke t. Metode ini menggunakan tanda yang berlabel 0, 1, 2,..,untuk pada verteks-verteks dari G dan disebut dengan teknik BFS.

Teknik BFS ( The Breadth First Search ) Langkah-langkah Teknik BFS: s ke t Langkah 1. Beri label verteks s dengan 0. labelkan i = 0 Langkah 2. Temukan semua verteks yang belum dilabelkan dalam G yang bertetangga dengan verteks yang dilabelkan dengan i. Jika tidak terdapat verteks yang bertetangga maka s tidak terhubung dengan suatu lintasan) jika ada verteks yang terhubung dan bertetangga dengan s, labelkan dengan i+1. Langkah 3. Jika t telah dilabelkan, masuk ke langkah 4, jika tidak, naikkan i menjadi i+1 dan kembali ke langkah 2. Langkah 4. Panjang lintasan terpendek dari s ke t adalah i+1. Berhenti.

Teknik BFS ( The Breadth First Search ) 1.s dilabelkan degan 0, label i = 0, 2.kemudian a, b, dan c, dilabelkan dengan (i + 1) = 0 +1 = 1), 3.Belum sampai t, i menjadi (i + 1) = (0+1) = 1 2 dan d dilabelkan dengan(i + 1) = 1 +1 = 2 3 Belum sampai t, i menjadi (i + 1) = (1+1) = 2 Tetapi sekarang terdapat verteks yang bertetangga dengan d tidak dapat dilabelkan, sehingga pemberian label pada verteks hanya sampai pada angka 2. Karena hanya sampai pada langkah ke-2 maka kita simpulkan bahwa tidak terdapat lintasan dari s ke t. s a b c d e t f

Teknik BFS ( The Breadth First Search ) Pertama kita beri label s dengan 0. Kemudian a dan f dilabelkan dengan 1. Kemudian b, d, e dilabelkan dengan 2. Kemudian c dan t dilabelkan dengan 3. Panjang lintasan terpendek dari s ke t adalah 3. s a f d b c t e

Teknik BFS ( The Breadth First Search ) Bukti

Algoritma Back Tracking Untuk Suatu Lintasan Terpendek Langkah-langkah Algoritma Back Tracking Untuk Suatu Lintasan Terpendek: Langkah 1. Langkah 1. Himpunan i = λ( t ) dan tandai v i =t Langkah 2. Temukan suatu verteks u yang bertetangga dengan v i dan dengan λ( u ) =i-1. Tandai v i-1 =u Langkah 3. Jika i = 1, berhenti. Jika tidak kurangkan i ke i – 1 dan kembali ke langkah ke 2.

Algoritma Back Tracking Untuk Suatu Lintasan Terpendek Contoh Kita mempunyai λ( t ) =3 maka kita mulai dengan i = 3 dan v 3 =t (langkah 1). Kemudian kita dapat memilih e yang bertetangga dengan v 3 = t dan tandai λ( e ) = 2 dan tandai v 2 = e. Kemudian kita dapat memilih f yang bertetangga dengan v 2 =e dengan λ( f ) = 1 dan tandai v 1 = f. akhirnya kita dapat mengambil s yang bertetangga dengan f dengan λ( s ) = 0 dan tandai v 0 = s. Hal ini memberikan lintasan terpendek dari s ke t, yaitu s f e t. s a f d b c t e

Algoritma Back Tracking Untuk jumlah Lintasan Terpendek Suatu tambahan pemberian label ditandai dengan suatu label μ(v) untuk setiap verteks v yang telah dilabelkan dalam algoritma BFS dalam suatu cara Back Tracking, menghasilkan μ(s) yang adalah jumlah lintasan terpendek s ke t.

Algoritma Back Tracking Untuk Bilangan pada Lintasan Terpendek

Algoritma Back Tracking Untuk jumlah Lintasan Terpendek Contoh Tentukan jumlah lintasan terpendek dari s ke t. s a f d b c t e

Algoritma Back Tracking Untuk banyaknya Lintasan Terpendek

Algoritma Back Tracking Untuk Bilangan pada Lintasan Terpendek

Algoritma Djikstra

Contoh Tentukan lintasan terpendek dari s ke t. s a b t d c Penyelesaian

Algoritma Djikstra Di dalam algoritma Dijkstra, jika pada beberapa kasus λ( v ) terbatas untuk titik v maka terdapat sebuah lintasan dari s ke v dimana panjangnya adalah λ( v ). Teorema 2.17 Bukti

Untuk kasus yang kedua dari pembuktian yang kita punya, untuk sebarang titik v, δ(v) merupakan panjang dari sebuah lintasan dari s ke v (δ(v) adalah jarak dari s ke v), pengambilan δ(v) = ∞ dilakukan jika tidak ada lintasan dari s ke v.

Algoritma Djikstra Di dalam algoritma Dijkstra ketika sebuah titik u dipilih di dalam langkah 2 labelnya λ( u ) mempunyai nilai δ( u ). (Khususnya, pada saat algoritma berhenti λ( t ) = δ( t ).) Teorema 2.18 Bukti

Titik Potong Titik v dari grap G disebut titik pemisah dari G jika ω( G-v )> ω( G ). Definisi

Titik Pemisah Contoh v G1G1 G 1 memiliki titik pemisah, yaitu titik v. ω( G 1 )=1 ω( G 1 -v )=3 ω( G 1 -v )> ω( G 1 ) G 1 -v

Titik Pemisah Contoh v G2G2 G2-vG2-v ω( G 2 )=1 ω( G 2 -v )=1 ω( G 2 -v )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh s G2G2 G2-sG2-s ω( G 2 )=1 ω( G 2 -s )=1 ω( G 2 -s )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh t G2G2 G2-tG2-t ω( G 2 )=1 ω( G 2 -t )=1 ω( G 2 -t )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh u G2G2 G2-uG2-u ω( G 2 )=1 ω( G 2 -u )=1 ω( G 2 -u )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh w G2G2 G2-wG2-w ω( G 2 )=1 ω( G 2 -w )=1 ω( G 2 -w )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh G2G2 r G2-rG2-r ω( G 2 )=1 ω( G 2 -r )=1 ω( G 2 -r )=ω( G 2 )

Titik Pemisah Contoh Jadi, G 2 tidak memiliki titik pemisah. G2G2

Titik Pemisah Misalkan v adalah sebuah titik dari grap terhubung G. v adalah titik pemisah dari G jika dan hanya jika terdapat dua titik u dan w dari G, yang keduanya berbeda dengan v, sehingga v terletak pada setiap lintasan u-w di G. Teorema 2.19

Titik Pemisah Misalkan G adalah grap dengan n titik, dimana n ≥ 2. Maka G mempunyai paling sedikit dua titik yang bukan merupakan titik pemisah. Teorema 2.20

Titik Penghubung Misalkan G grap sederhana. Titik penghubung dari G, dilambangkan dengan ҡ( G ), adalah jumlah terkecil dari titik di G yang pengahpusannya dari G menyebabkan sebuah grap tak terhubung atau K 1. Definisi

Titik Penghubung Contoh Untuk n ≥ 2 penghapusan setiap titik dari hasil K n di K n-1 dan secara umum penghapusan titik t (di mana t < n) menghasilkan K n-t. Ini menunjukkan bahwa K (K n ) = n-1. G3G3 G4G4

Titik Penghubung Juga mudah untuk melihat bahwa graf G terhubung memiliki K (G) = 1 jika dan hanya jika tiap G = K 2 atau G memiliki titik pemisah. Apalagi K (G) = 0 jika dan hanya jika tiap G = K 1 atau G terputus. Grap sederhana G disebut n-terhubung (di mana n ≥1) jika K (G) ≥ n Berikut bahwa G adalah 1-terhubung jika dan hanya jika G terhubung dan memiliki setidaknya dua simpul. Selain itu G adalah 2-terhubung jika dan hanya jika G terhubung dengan setidaknya tiga simpul tetapi tidak ada titik pemisah. Kita menyelesaikan bab ini dengan karakterisasi 2 - grap terhubung Whitney (64).

Titik Penghubung Misalkan u dan v adalah dua simpul dari G. kumpulan grap ({P 1,..., P (n) } dari lintasan u - v dikatakan internal disjoint jika, diberi pasangan berbeda P (i) dan P (j) dalam kumpulan, u dan v adalah satu-satunya titik P (i) dan P (j) memiliki kesamaan.

Titik Penghubung Misalkan G adalah sebuah grap sederhana dengan paling sedikit 3 titik. Kemudian G adalah 2-koneksi jika dan hanya jika untuk setiap pasangan pada titik berbeda u dan v pada G terdapat sepasang internal beririsan u – v di lintasan G. Theorema 2.21 ( Whitney, 1932)

Titik Penghubung Misalkan u dan v adalah dua titik dari grafik 2-terhubung G. maka ada siklus C pada G melewati kedua u dan v. Konsekuensi 2.22

Thank You “The important thing is not to stop questioning.” -Albert Einstein