FILSAFAT DAN SEJARAH MATEMATIKA Pertemuan ke -2 Oleh : Dr. H. Heris Hendriana, M.Pd STKIP SILIWANGI The Innovation campus Berkualitas Biaya Pas

Cermin diri

PENGAKUAN / KESEPAKATAN STKIP SIliwangi Senan tiasa tampil prima dalam menghadapi Tantangan masa kini maupun masa depan dibidang tri dharma perguruan tinggi dengan Kemampuan dan kreativitas yang penuh Imajinatif, Powerfull dan proaktif dengan budaya Sillaturahim, Inovatif, berWawasan masa depan, berperilaku Normatif, Gigih dalam bekerja dan berkarya nyata.

Aliran dalam matematika Logisisme Intusionisme Formalisme

A. Formalisme David Hilbert (1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda linguistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggeris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2 atau II Pada saat kita membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang perluasan makna (Anglin, 1994). (Ernest, 1991), Formalis memandang matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan. Formalis memiliki dua tesis, yaitu Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.

Beberapa hal yang dianggap lemah dalam formalisme Formalis dalam memahami obyek matematika seperti lingkaran, sebagai sesuatu yang kongkrit, padahal tidak bergantung pada obyek fisik; Formalis tidak dapat menjamin permainan matematika itu konsisten. Jawaban Formalisme lingkaran dan yang lainnya adalah obyek yang bersifat material Meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan kadang-kadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994).

B. Intuisionisme L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Intuisionisme menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksioma-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusif pada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991).

Kritik terhadap Intuisionisme Intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; Matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Jawaban Intusionisme Tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkan suatu dunia tanpa manusia; Lebih baik memiliki sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).

C. Logisisme Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Pengakuan Bertrand Russell menerima logisime adalah yang paling jelas dan dalam rumusan yang sangat ekspilisit. Pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika; semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata (Ernest, 1991).

Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain: Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.

Filsafat Matematika Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa : mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis mathematical truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991). Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). A priori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. A posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia.

Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Russel telah menunjukkan bahwa sistem yang dipublikasikan Gottlob Frege tahun 1879 dan 1893 tidak konsisten. Kontradiksi lainnya muncul adalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.

Objek-Objek dalam Matematika Plato (427-349 SM) merupakan seorang realis, dia mempercayai bahwa realitas itu ada dan tidak terikat pikiran manusia. Suatu sistem dikatakan benar jika suatu pernytaaan menjelaskan keadaan sesungguhnya dari realitas yang terbebas dari pikiran. Pernyataan Plato yang terkenal adalah “ Sesuatu adalah saya sebagaimana hal itu terjadi pada saya, dan sesuatu itu adalah kamu sebagaimana hal itu terjadi pada kamu. Plato meyakini bahwa benda-benda di alam semesta terbagi ke dalam dua kelas, yaitu yang berbentuk materi dan non materi. Benda-benda seperti matahari, pohon, binatang berbentuk materi, sementara kebaikan, keburukan, jiwa seorang manusia termasuk kaategori non materi. Suatu gambar empat persegi panjang termasuk kategori materi, tetapi persegi panjang itu sendiri termasuk ke dalam kategori non materi.

Aristoteles (384-322 SM) seorang murid dari Plato selama duapuluh tahun, tetapi ia sendiri tidak setuju dengan Plato mengenai hakekat matematika. Bagi dia kata “ dua” bukan suatu kata benda untuk suatu obyek abstrak yang bebas dari obyek fisik, tetapi suatu keterangan merumuskan suatu obyek fisik, misal panjangnya dua meter (Anglin, 1994). Aristoteles meletakkan ketakberhinggaan pada tempatnya begitu kokoh, sehingga hampir setiap orang tidak bisa mengkritiknya hingga abad ke IX. Pendekatan yang digunakan adalah pragmatik, dengan menyatakan bahwa ketakhinggan pasti ada, sebab waktu muncul tanpa awal dan tanpa akhir, demikian juga dengan bilangan. Andaikata ada bilangan yang paling besar disebut dengan „maximal‟ (max), kemudian bagaimana dengan max+1 atau max + 2 tetapi sebaliknya ketakhinggaan tidak ada di dunia nyata, andaika ada, contohnya tubuh manusia juga tak berhingga, itu tak terbatas pada sebuah tubuh

APA MATEMATIKA ITU ? Whitehead (dalam Wilkins, 2004) menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa ilmu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah.

Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini. Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru. Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dapat didefinisikan dalam empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.

(Bold, T., 2004) menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika Elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran dan bahasa.

Elemen ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika

Matematika adalah : Cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisisr secara sistematik Pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya Pengetahuan tentang penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan Pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk Pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis Pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat

CERMIN DIRI Cermin diri kita adalah citra diri kita, cermin diri kita terwujud atau tertangkap dari penampilan diri. Usaha yang harus kita lakukan adalah meningkatkan citra diri melalui penampilan. Penampilan adalah bentuk pernyataan diri. Penampilan yang menarik menimbulkan tumbuhnya percaya diri. Bagaimana kita memperlakukan diri kita akan tercermin ketika orang lain menilai kita berpenampilan menarik atau tidak.

CITRA DIRI Peningkatan citra diri melalui beberapa indikator sebagai berikut : Kepribadian (The POWER look ; Positive attitude, Other people, Words, Expanding, Realize your goal). Olah Pikir (Cerdas, kreatif , Kritis, inovatif, Terbuka). Citra visual (Beauty, sikap, ekspresi muka, pandangan dan kesehatan).

FATWA CITRA DIRI Pertahankan senyuman indah tetap ada dibibir kita. Biarkan siapapun boleh melihat wajah kita yang penuh cinta yang membuat keluarga, taman, saudara, krabat, pegawai, mahasiswa dll senantiasa dekat dengan kita. Tersenyum manis akan menarik urat wajah lebih sedikit dari pada cemberut. Senyum akan membuat awet muda dan cemberut membuat tidak akrab dan cepat tua. Jangan memilih orang yang indah didunia, namun pilihlah orang yang membuat dunia ini indah.

CERMIN DIRI KARENA ORANG TUA Bila aku jadi orang dermawan, karena orang tuaku yang mengajarkan. Bila aku orang toleran, karena orang tuaku yang jadi panutan. Bila aku rendah hati, karena orang tua meng insfirasi. Bila aku beriman, karena orang tua penuh teladan. Bila aku jadi pengasih, karena orang tua memberi tanpa pamrih Bila alu sering sillaturahim, karena orang tua punya rahim. Bila aku ramah, karena orang tuaku Siti Rohimah.