Fungsi Alih (Transfer Function) Suatu Proses Transfer Function suatu proses dengan dengan Keluaran Tunggal (Single Output). Perilaku dinamik proses pada umumnya dapat dituliskan dengan persamaan diferensial linier (atau: nonlinier terlinierkan/linearized equation) ber-order n: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

f(t) dan y(t) berturut-turut merupakan masukan dan keluaran proses. Perhatikan suatu sistem pemrosesan sederhana dengan suatu masukkan tunggal dan suatu keluaran tunggal atau SISO: Proses f(t) y(t) input output G(s) f(s) y(s) (a) proses input tunggal-output tunggal; (b) diagram blok proses f(t) dan y(t) berturut-turut merupakan masukan dan keluaran proses. Keduanya dinyatakan dalam variabel simpang (deviation variable), yaitu (nilai sesungguhnya - nilai pada keadaan ajeg/steady statenya GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Transformasi Laplace dari persamaan: Jika dianggap bahwa sistem berawal pada keadaan ajeg (steady state), maka: Transformasi Laplace dari persamaan: diperoleh: G(s) disebut fungsi alih (transfer function) sistem di atas. G(s) menghubungkan keluaran proses dengan masukkannya. GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Persamaan diferensial yang mewakili adalah sebagai berikut: Jika proses mempunyai dua masukkan, f1(t) dan f2(t), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar dibawah: Persamaan diferensial yang mewakili adalah sebagai berikut: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Dengan kondisi awal sama (keadaan steady mula-mula), diperoleh: atau: dimana : GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

G1(s) menghubungkan y(s) dengan f1(s), G1(s) dan G2(s) merupakan fungsi alih yang menghubungkan antara keluaran proses terhadap salah satu dari kedua masukkannya. G1(s) menghubungkan y(s) dengan f1(s), G2(s) mengkaitkan y(s) dengan f2(s). Fungsi alih (Transfer function), G(s) merupakan nisbah antara transformasi Laplace output (dalam bentuk deviasi) dengan transformasi Laplace input (dalam bentuk deviasi). Beberapa hal penting berkaitan dengan fungsi alih: Fungsi alih memungkinkan pengembangan suatu model input-output sederhana. Model ini menerangkan secara lengkap perilaku dinamik keluaran ketika perubahan masukkan diberikan. GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Tanggapan sistem adalah y(s)=G(s)f(s). Untuk variasi masukkan f(t), tertentu, maka fungsi tranform-nya f(s), dapat dicari. Tanggapan sistem adalah y(s)=G(s)f(s). Dengan invers Laplace, tanggapan y(t) dapat diperoleh. Untuk mencari fungsi alih suatu sistem nonlinier, fungsi ini harus dilinerkan di sekitar keadaan ajeg lebih dulu dan dinyatakan dalam variabel simpang (deviation variable): GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Tabel dibawah adalah beberapa bentuk Laplace Transform untuk berbagai fungsi: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Beberapa bentuk Laplace Transform untuk berbagai fungsi: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Contoh: Fungsi Alih suatu Tanki Pemanas Berpengaduk Model matematik tanki pemanas berpengaduk dalam bentuk variabel simpang diberikan oleh persamaan sebagai berikut : dengan : bentuk ter-Laplace-kan dari fungsi diatas: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Gambar dibawah menunjukkan diagram blok tangki pemanas. Ada dua fungsi alih: Sehingga: Gambar dibawah menunjukkan diagram blok tangki pemanas. 1//(s+a) K/(s+a) Ti(s) Tst(s) T(s) + GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Poles dan Zero Function G1(s): menghubungkan suhu cairan dalam tangki dengan suhu aliran masuk. G2(s): menghubungkan suhu cairan dalam tangki dengan suhu steam. Poles dan Zero Function Sesuai pengertian fungsi alih (tranfer function) di atas, kita mempunyai: Yang secara umum dapat dituliskan sebagai perbandingan antara dua polinomial: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Kelainan terjadi pada proses dengan delay time dimana terdapat faktor eksponensial. Umumnya, order polinomial Q(s)  order polinomial P(s). Zeros : Akar-akar polinomial Q(s) disebut sebagai fungsi alih (transfer function) zeros sistem. Ketika variabel s diambil sebagai nilai zeros untuk fungsi alih G(s), fungsi alih akan menjadi nol. Poles: Akar-akar polinomial P(s) disebut sebagai poles fungsi alih atau poles sistem. Pada poles suatu fungsi alih sistem menjadi tak berhingga. GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Pole dan zero tangki pemanas berpengaduk Poles dan zero sistem mempunyai peran yang penting dalam analisis dinamik sistem pengolahan dan perancangan pengendali yang efektif. Contoh: Pole dan zero tangki pemanas berpengaduk Model input-output tangki pemanas dibuat pada contoh dibawah: Fungsi alih G1(s) adalah: Yang tidak mempunyai zero dan mempunyai satu pole pada s = -a GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

(Tanggapan Suatu Sistem) Fungsi alih G2(s), yang diberikan oleh: Tidak mempunyai zero, tetapi mempunyai satu pole pada s = -a. Dalam hal ini, kedua fungsi alih mempunyai pole yang sama. Analisis Kualitatif (Tanggapan Suatu Sistem) Tanggapan dinamis suatu keluaran y diberikan oleh y(s) = G(s) f(s) Secara umum: dan Sehingga: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

G(s) dapat dinyatakan sebagai: dengan p1, p2, p3, p4, p4, dan p5 merupakan akar-akar P(s). Ekspansi fraksi parsial G(s) akan didapatkan suku-suku berikut: Akar-akar persamaan dari P(s) dapat digambarkan sbb: GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Akar-akar persamaan dari P(s) dapat digambarkan sbb: Sumbu imajiner Sumbu riil p4 (p4) Ada beberapa kemungkinan akar (nilai poles): 1. p riil, p < 0 atau p > 0 2. p merupakan akar identik, sejumlah m x (multiple poles) 3. p kompleks, berpasangan: p = +j. dan p = -j. GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

Tanggapan untuk poles riil: 2. Tanggapan untuk multiple poles: Suku dalam kurung meningkat ke tak berhingga dengan waktu. Perilaku suku eksponensial tergantung pada nilai pole p.: Jika p>0 maka ept   pada t Jika p<0 maka ept  0 pada t Jika p=0 maka ept =1 pada sembarang waktu C1.ept C2.ept t (a). p < 0 (b). p > 0 GGH-JUR.TEKNIK KIMIA

3. Tanggapan untuk poles kompleks, berpasangan: Misal: p=+j. dan p=-j.; Pasangan akar kompleks akan memberikan jawaban: et sin (t+). Sin (t+) merupakan suatu fungsi periodik, osilasi, sementara perilaku et tergantung pada nilai bagian riil . Jika >0, maka et   pada t , dan et sin (t+) menjadi tak berhingga secara osilasi Jika <0, maka et  0 pada t , dan et sin (t+) menjadi semakin kecil dan menuju nol secara osilasi dengan amplitudo yang mengecil. Jika =0, maka et =1 pada sembarang waktu, dan et sin(t+) = sin (t+) , yang berosilasi secara terus-menerus dengan amplitudo tetap. GGH-JUR.TEKNIK KIMIA