KUANTOR DAN TEORI KUANTIFIKASI Term dan variabel Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti Variabel ditulis dengan hurup kecil : x, y, z atau p, q , r Kumpulan variabel membentuk suatu term : x + y PREDIKAT Pandang kalimat : Semua mahasiswa Udinus adalah lulusan SMA Untuk setiap x, jika x mahasiswa Udinus maka x lulusan SMA Ada dua predikat untuk x : x mahasiswa Udinus dan x lulusan SMA Predikat ditulis dengan hurup besar : Mx : x mahasiswa Udinus Lx : x lulusan SMA Kalimat diatas ditulis : Untuk setiap x, Mx  Lx

KUANTOR Kuantor Universal dimana terdapat ungkapan seperti : - Untuk setiap, untuk tiap-tiap, untuk semua Kuantor Ekstensial dimana terdapat ungkapan seperti : - terdapat, ada, sekurang-kurangnya ada satu Kuantor Universal Ditulis dengan lambang  Pandang kalimat : Semua orang Indonesia adalah orang Asia Diterjemahkan menjadi : Untuk semua x, jika Lx maka Ax Lx : x orang Indonesia Ax : x orang Asia Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Ax] Bentuk ini disebut Afirmatif umum Pandang kalimat : Semua orang Indonesia bukan orang Eskimo Ditulis (x) [Lx  ~ Ax] Bentuk ini disebut Negatip umum

Kuantor Ekstensial Ditulis dengan lambang  Pandang kalimat : Ada orang Indonesia yang makan nasi Ada beberapa orang Indonesia yang makan nasi Diterjemahkan menjadi : Ada x yang memenuhi sifat: x orang Indonesia dan x makan nasi Ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi Lx : x orang Indonesia N x : x makan nasi Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Nx] Bentuk ini disebut Afirmatif khusus Pandang kalimat : Ada x sehingga jika x orang Indonesia maka x makan nasi Ditulis (x) [Lx  Nx]

Pandang kalimat : Beberapa ikan paus tidak termasuk hewan menyusui Diterjemahkan : Ada paling sedikit satu x, sehingga jika x ikan paus maka x bukan hewan menyusui Ditulis (x) [Hx  ~ Mx] Bentuk ini disebut Negatip khusus Variabel terikat dan variabel bebas Sebuah variabel dalam suatu formula dikatakan variabel terikat jika dan hanya jika muncul dalam cakupan kuantor yang mengandung variabel tersebut : ( x ) [Mx  Nx] Variabel bebas tidak mempunyai kuantor (x) [x>y] y variabel bebas Dalam kalimat : (x) [Mx]  Px X yang pertama variabel terikat sedangkan x yang kedua variabel bebas

NEGASI KALIMAT BERKUANTOR Negasi dari kuantor universal sebuah fungsi proposisi ekivalen logis dengan kuantor ekstensial dari negasi fungsi proposisinya Negasi dari kuantor ekstensial sebuah fungsi proposisi ekivalen logis dengan kuantor universal dari negasi fungsi proposisinya Pernyataan (kalimat) Arti kalimat Negasi dari pernyataan Arti dari kalimat negasi (x) [Mx] Mx benar untuk setiap x ~ (x) [Mx]  (x) [~Mx] Ada suatu x sehingga Mx tidak benar (x) [Mx] Ada atau terdapat suatu x sehingga Mx benar ~ (x) [Mx]  (x) [~Mx] Untuk setiap x, Mx tidak benar No. Kalimat berkuantor Negasi kalimat berkuantor 1 Semua mahasiswa tidak suka menganggur Ada paling sedikit satu mahasiswa yang tidak suka menganggur 2 Tidak ada guru yang senang jaipongan Beberapa guru ada yang senang jaipongan 3 (x) [(x+1)2  x2 + 2x + 1] (x) [(x+1)2 = x2 + 2x + 1] 4 (x) [(cos2 x +sin2 x  1] (x) [(cos2 x +sin2 x = 1]

CAKUPAN KUANTOR [Nested Quantifier) Cakupan kuantor ini biasanya muncul pada matematika dan computer science No. Pernyataan (kalimat ) dengan cakupan kuantor Arti kalimat 1 xy (x+y=y+x) Untuk semua bilangan nyata x dan y berlaku x+y=y+x ( Hukum komotatif bilangan nyata) 2 xy (x+y=0) Untuk setiap bilangan nyata x ada/terdapat bilangan nyata y sehingga x + y = 0 3 xy  z [x+(y+z)=(x+y)+z] Untuk setiap bilangan nyata x,y dan z berlaku x+(y+z)=(x+y)+z (Hukum asosiatif bilangan nyata) 4 xy [(x > 0  y < 0)  (xy<0)] Untuk semua bilangan nyata x dan y, jika x positip dan y negatip, maka hasil kali keduanya negatip 5 x [C(x)  y (Cy  Fxy)] Cx : x mempunyai komputer Fxy: x dan y berteman Untuk setiap orang x di itenas, x mempunyai komputer atau ada orang y di itenas sehingga y mempunyai komputer dan berteman dengan x Setiap mahasiswa di itenas mempunyai komputer atau mempunyai teman yang mempunyai komputer 6 xyz [(Fxy  Fxz  (y z))  ~ Fyz] Ada seseorang x di itenas, yang teman-temannya tidak saling berteman

KUANTIFIKASI DARI DUA VARIABEL (QUANTIFICATION OF TWO VARIABEL) NEGASI DARI CAKUPAN KUANTOR KUANTIFIKASI DARI DUA VARIABEL (QUANTIFICATION OF TWO VARIABEL) Pernyataan (kalimat) Arti kalimat Negasi dari pernyataan Arti lalimat negasi x y Pxy y x Pxy Pxy benar untuk setiap pasangan x dan y ~(x y Pxy)  xy (~ Pxy) Ada suatu pasangan (x,y) sehingga Pxy salah xy Pxy Untuk setiap x, ada suatu y, sehingga Pxy benar ~ (xy Pxy)  xy (~ Pxy) Ada suatu x, sehingga Pxy salah untuk setiap y xy Pxy Ada suatu x sehingga Pxy benar untuk setiap y ~ (xy Pxy)  xy (~Pxy) Untuk setiap x, ada suatu y sehingga Pxy salah xy Pxy yy Pxy Ada suatu pasangan (x,y) sehingga Pxy benar ~(xy Pxy)  xy (~Pxy) Untuk setiap pasangan (x,y) Pxy salah

URUTAN KUANTOR (The Order of Quantifier) Banyak pernyataan dalam matematika yang terdiri dari banyak kuantifikasi dari fungsi proposisi yang terdiri dari lebih dari satu variabel Contoh 1 : Misalkan Pxy : x + y = y + x Apakah nilai kebenaran dari kuantifikasi (x)(y ) Pxy ? Jawab : (x)(y) Pxy artinya untuk semua bilangan nyata x dan untuk semua bilangan nyata y berlaku x+y=y+x. Pxy benar untuk setiap x dan y Jadi xy Pxy benar

Contoh 2 : Misalkan Qxy : x + y = 0 Apakah nilai kebenaran dari kuantifikasi a). (x)(y ) Qxy ? b). (x ) (y)Qxy ? Jawab : a). (x)(y) Qxy artinya :untuk semua bilangan nyata x ada suatu bilangan nyata y sehingga x +y = 0. Misalkan kita mengambil sembarang nilai x, maka selalu ada (y=-x) sehingga (x )(y)Qxy benar b). (x )(y)Qxy artinya : ada suatu bilangan nyata x sehingga untuk semua bilangan nyata y berlaku x+y =0, padahal hanya y=-x saja yang memenuhi x+y=0. Jadi (x )(y) Qxy salah Contoh 2 memperlihatkan bahwa keduanya tidak ekivalen logis

BAGAIMANA MENTERJEMAHKAN KALIMAT BERKUANTOR Qx : bilangan irasional Rx : bilangan nyata NO FORMULA SARAN TERJEMAHAN 1 xAx Semua (obyek) memenuhi sifat A 2 x Ax Ada (obyek) yang memenuhi sifat A 3 x Ax Tidak ada (obyek) yang memenuhi sifat A 4 x Ax Ada (obyek) yang tidak memenuhi sifat A 5 x (Qx Rx) Afirmatif umum Setiap bilangan rasional adalah bilangan nyata 6 x(Qx  Rx) Negatif umum Setiap bilangan rasional bukan bilangan nyata 7 x (Qx  Rx) Afirmatif khusus Ada bilangan rasional yang bilangan nyata 8 x (Qx   Rx) Negatif khusus Ada bilangan rasional yang bukan bilangan nyata

NO FORMULA SARAN TERJEMAHAN 1 x[Px (Qx  Rx)] Semua P adalah Q atau R 2 x[(Px  Qx) (Rx  Sx)] Semua P dan Q adalah R atau S 3 Rab a ber-relasi dengan b 4 Rba B ber-relasi dengan a 5 x (Px Rax) a ber-relasi dengan semua P 6 xy[(Px  Qy)  Ryx)] Semua P ber-relasi dengan semua Q 7 x (Px  Rxa) Semua P ber-relasi dengan a 8 x y(Px  Qy  Rxy) Beberapa P ber-relasi dengan beberapa Q 9 x[Px y(Qy Rxy)] atau y[Qy  x(Px Rxy)] Semua P ber-relasi dengan beberapa Q 10 x[Px  y(Qy Rxy)] x[Qx  y(Py  Rxy)] Beberapa P ber-relasi dengan semua Q

Latihan Soal 1 Lambangkan pernyataan-pernyataan dalam tabel dimana : Bx : x adalah seorang bintang film Mx : x mempesona Tx : x terlatih dengan baik No. SOAL JAWABAN 1 Beberapa bintang film mempesona dan terlatih dengan baik 2 Beberapa bintang film mempesona hanya jika terlatih dengan baik 3 Tidak ada bintang film yang mempesona kecuali jika mereka terlatih dengan baik 4 Beberapa bintang film terlatih dengan baik jika mereka mempesona

Latihan Soal 2 Terjemahkan lambang-lambang dalam tabel dimana : Px : x adalah bilangan prima Ex : x adalah bilangan genap Ax : x adalah bilangan ganjil Bxy: x habis membagi y No. SOAL JAWABAN 1 (x)(B2x  Ex) 2 (x) (Ex  Bx6) 3 x [Px  (y)(Ey  Bxy)] 4 x [Ax (y)(Py)  ~Bxy) ]

Latihan Soal 3 Tentukan nilai kebenaran dari kuantor dalan tabel dimana x dan y adalah bilangan real No. SOAL JAWABAN dan alasannya 1 xy (x2 = y) 2 x y (xy=0) 3 xy[(x+y=2 )(2x-y=1)] 4 x y[(x+2y=2 )(2x+4y=5)]

MENENTUKAN VALIDITAS KALIMAT BERKUANTOR Universal kuantifikasi x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn) x1 ,x2, …….. xn adalah semua variabel yang ada pada himpunan X Contoh : Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario); male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve); Predikat yang tidak muncul dianggap salah Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ? x :H male(x)  greedy(x)  kind(x) Jawab: buat tabel kebenaran x Male(x) Greedy(x) Kind(x) Greedy(x)  kind(x) Male(x) Adam T F Eve Rosalyn Pele Mario

(Greedy(x)  kind(x)) Ekstensial kuantifikasi x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn) x1 ,x2, …….. xn adalah semua variabel yang ada pada himpunan X Contoh : Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario); male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve); Predikat yang tidak muncul dianggap salah Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ? x :H male(x)  ( greedy(x)  kind(x)) Jawab: buat tabel kebenaran x Male(x) Greedy(x) Kind(x)  Greedy(x) Greedy(x) kind(x) Male(x)  (Greedy(x)  kind(x)) Adam T F Eve Rosalyn Pele Mario

TEOREMA-TEOREMA PADA LOGIKA PREDIKAT 1 x  p(x)  q(x )  [x p(x)] [x  q(x)] 2 x  [p(x)  q(x )] [x  p(x)]  [x  q(x)] 3  x  p(x) x   p(x) 4  x  p(x) x   p(x) 5 [x  p(x)]  [x  q(x)] x  p(x)  q(x ) 6 x  p(x)  q(x ) [x  p(x)]  [x  q(x)] 7 x  p(y)  q(x ) p(y)  [x  q(x)] 8 x,y  p(x,y) y,x  p(x,y) Pernyataan yang salah : 1 x  [p(x)  q(x)]  [x  p(x)]  [x  q(x)] 2 x  [p(x)  q(x )] [x p(x)] [x  q(x)]