DISTRIBUSI PROBABILITAS / PELUANG

Distribusi Peluang (Probabilitas) Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Distribusi Peluang (Probabilitas) Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa. Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa.

Contoh Distribusi Peluang Ada tiga orang calon mahasiswa yang akan mendaftar di UDINUS di fakultas ekonomi dan bisnis. Terdapat dua jurusan yaitu Akuntansi dan Manajemen. Ketiga calon mahasiswa tersebut bebas memilih jurusan tempatnya akan kuliah, bisa di Akuntansi semua, di Akuntansi dan Manajemen, atau di Manajemen semua. Berikut adalah kemungkinan dari pilihan ketiga calon mahasiswa tersebut.

Contoh Distribusi Peluang Kemungkinan Pilihan 1 2 3 Jumlah pilihan Akuntansi AKT MNJM 4 5 6 7 8 N (Total kemungkinan terjadinya peristiwa) = 23 = 8 Pertanyaan : a. Berapa peluang ketiganya akan memilih Akuntansi ?

Variabel Random (Acak) : adalah sebuah ukuran/besaran yang merupakan hasil suatu percobaan/kejadian yg terjadi secara acak/untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda. Variabel acak ada 2 yaitu : Variabel acak diskret Variabel acak kontinu

Variabel Acak ada 2 : Variabel Acak Diskrit Biasanya dalam bentuk bilangan bulat dan dihasilkan dari perhitungan. variabel acak kontinu : Biasanya dihasilkan dari pengukuran dan bukan perhitungan.

Contoh : S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”. Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Variabel random diskrit: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit.

Variabel random diskrit: PERCOBAAN VARIABEL RANDOM KEMUNGKINAN NILAI VARIABEL RANDOM Penjualan Mobil Jenis Kelamin Pembeli 0 = Jika laki-laki 1 = Jika Wanita Penelitian Terhadap 50 Produk Baru Jumlah Produk yang Rusak 0,1,2,3,...,50 Pencatatan Pengunjung Restoran Pada Suatu Hari Jumlah Pengunjung 0,1,2,3,....dst

Variabel random kontinu: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan pecahan atau desimal, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinue, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

Variabel random kontinu: PERCOBAAN VARIABEL RANDOM KEMUNGKINAN NILAI VARIABEL RANDOM Isi Botol minuman jadi (max=600 ml) Jumlah milimeter 0 <= X <= 600 Penimbangan 20 paket kemasan (max = 2 kg) Berat sebuah paket kesaman (kg) 0 <= X <= 2 Jarak Bogor-Jakarta Ukuran km 80 km; 80,5 km ; 80, 57 km

Distribusi yang tergolong ke dalam Distribusi Peluang diskrit antara lain : Distribusi Binomial (Bernauli) Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Distribusi Multinomial

Distribusi Binomial (Distribusi Probabilitas Diskrit) Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli. Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal,sehat dan sakit, dsb.

Syarat Distribusi Binomial Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali. Setiap percobaan (trial) harus bersifat independen / saling bebas Setiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses/gagal, laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.

Syarat Distribusi Binomial Peluang sukses sama setiap eksperimen. Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Distribusi Binomial Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x|n,p) dimana x = 1, 2, …, n

Distribusi Binomial P(X = x) = b (x | n, p ) = nCx . px . qn-x dimana : nCx = koefisien binomial x = banyaknya peristiwa sukses. n = banyaknya percobaan. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p ( probabilitas peristiwa gagal)

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial. Rata-rata (  ) = n . p Varians ( 2) = n . p . q Simpangan Baku () =

Contoh soal Distribusi Binomial Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2)  b (2| 4; 0,2)

Penyelesaian Contoh Soal Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D. Rumus untuk b (x | n,p) adalah

Penyelesaian dengan Tabel Binomial Caranya adalah dengan menentukan n. misalnya dari contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam permasalahan ini adalah x=2. p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2, ditarik garis dari p= 0,2 sampai ke n = 4dan x = 2, ditabel didapatkan 0,973. Ini adalah peluang kumulatif dari p (x=0) + p (x=1) + p (x=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(x=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154

Contoh Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : Paling sedikit 10 orang yang selamat Dari 3 sampai 8 orang yang selamat Tepat 5 orang yang selamat Hitung rata-rata dan variansinya

Distribusi Poisson (Distribusi Probabilitas Diskrit) Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil (daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan pada suatu kejadian dengan p kecil sekali dan menyangkut kejadian yang luas n besar sekali maka digunakan distribusi Poisson. Distribusi Poisson  dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

Distribusi Poisson Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,71828 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

Rumus Distribusi Poisson Dimana : = rata-rata distribusi x = 0, 1, 2, 3, …., n e = konstanta 2, 71828

Rata-rata, Varians, dan Simpangan baku distribusi Poisson E(X) =  =  = n . p =  2 Varians: E(X - )2 =  2 = n . p =  Simpangan Baku :  =   =  n . p

Contoh Soal Distribusi Poisson Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock! Penyelesaian: μ = λ= n.p = 4000 x 0,0005 = 2

Penyelesaian dengan tabel Distribusi Poisson Baris = μ = λ Kolom = x P (x=3) = 0,857 -0,677 = 0,180

Contoh Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

Contoh Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK. Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan 2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi binomial. Ciri dari Hipergeometrik : terdapat populasi sebanyak N dan terdapat sebanyak r kategori A. Dari populasi ini, diambil sebuah sampel acak berukuran n. Dari sampel berukuran n tsb akan diketahui peluang bahwa terdapat sebanyak x buah kategori A.

Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik, adalah : Perbedaan utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah : Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian. Pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

Rumus Distribusi Hipergeometrik p(x)= probabilitas x sukses dalam n percobaan n = jumlah percobaan N = jumlah elemen dalam populasi r = jumlah elemen dalam populasi yang sukses

Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Hipergeometrik E(X) = Varians: Simpangan Baku :

Contoh Soal D. Hipergeometrik Suatu produk makanan ringan dikirim kepada agen dalam kotak berisi 20 unit. Dari pemeriksaan kualitas terdapat paling banyak 1 unit rusak. Pemeriksaan dilakukan terhadap 5 unit barang secara acak diambil dari tiap kotak. Jika kotak berisi 4 unit barang, maka peluang tidak terdapat lebih dari 1 unit adalah :

Penyelesaian N = 20 r = 4 n = 5 Rusak 0 unit  x = 0

Penyelesaian (Lanjutan) Rusak 1 unit  x = 1 sehingga, peluang tidak terdapat lebih dari 1 unit rusak adalah : P ( x = 0 ) + P ( x = 1 ) = 0,2817 + 0,4696 = 0,7513

Distribusi Multinomial Bila suatu percobaan binomial menghasilkan lebih dari dua kemungkinan seperti suka, tidak suka, cukup suka maka percobaan itu menjadi percobaan Multinomial. RUMUS DISTRIBUSI MULTINOMIAL :

Contoh Soal Distribusi Multinomial Dikumpulkan barang yang dihasilkan masing- masing mesin A,B,dan C sebanyak 4, 6, dan 7 buah. Dari 17 barang diambil sebuah dikembalikan lagi. Maka bila dari 6 barang yang diambil akan diperoleh 2 dari mesin A, 3 dari mesin B, dan 1 dari mesin C.Tentukan probabilitasnya!

Distribusi Normal Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak mendekati 0,….,1 dilakukan pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss) Ditemukan pertama kali oleh matematikawan asal Prancis, Abraham D (1733), diaplikasikan lebih baik lagi oleh astronom asall  Distribusi Normal = Distribusi Jerman, Friedrich Gauss Gauss

Distribusi Normal (Distribusi Probabilitas Kontinu) Kurva Normal dan Variabel Random Normal Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.  x 

Karakteristik distribusi normal. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu  dan  yang masing-masing membentuk lokasi dan distribusi. Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata. Distribusi normal adalah distribusi yang simetris. Simpangan baku mementukan lebarnya kurva. Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.

Karakteristik distribusi normal (Lanjutan) Jika jarak dari masing-masing nilai x diukur dengan simpangan baku , maka : dapat ditulis sebagai berikut : P ( - 1  X   + 1) = ± 68 % P ( - 2  X   + 2) = ± 95 % P ( - 3  X   + 3) = ± 99 %

Karakteristik Distribusi Normal

Sifat kurva normal, yaitu : Kurva mencapai maksimum pada Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

Distribusi Normal Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah dengan mencari variabel Z yang didapat sbb : Bila x berada di antara x1 dan x2, maka variabel acak z akan berada di antara z1 dan z2, dimana :

Contoh soal Distribusi Normal Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40 –60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol mereka 215 mg % dan simpangan baku Sd = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya: a. > 250 mg % b. < 200 mg % c. antara 200 –275 mg %