Teori Antrian Antrian M/M/1 Sukiswo sukiswok@yahoo.com Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Outline Motivasi Dasar Antrian Background Proses kedatangan dan keberangkatan Little’s law Antrian M/M/1 Penurunan dan Hasil Aplikasi utk analisa multiplexing Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Dasar Antrian Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain Process networks Switching networks Rekayasa Trafik, Sukiswo

Resource Sharing Networks Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) Statistical Multiplexer/Concentrator Packet-based (Packets: links) Channel-based (Calls: channels) Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Resource Sharing Networks Ukuran performansi Waktu tunggu Probabilitas blocking Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Process Networks Multi-stage switch Distributed simulation system Manufacturing process Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Process Networks Ukuran performansi Waktu penyelesaian (delay) Throughput (penyelesaian persatuan waktu) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Switching Networks Jaringan telepon (telepon: circuit switches) Jaringan signaling telepon (switches; STP) Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) Internet (komputer: router) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Switching Networks Ukuran performansi Delay (end point to end point) Throughput Utilization Blocking probability Loss Rekayasa Trafik, Sukiswo

Elemen-Elemen Antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Background: Proses Poisson Kedatangan terjadi dg rate  Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+t]] =  t Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+t]] = 1 -  t Dg membuat t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson Rekayasa Trafik, Sukiswo

Distribusi Kedatangan Pn(t) = P[Jumlah kedatangan sampai saat t = n] Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Jumlah Kedatangan Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t Mean Variance Rekayasa Trafik, Sukiswo

Kelayakan Apakah proses Poisson cukup layak digunakan? Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket) sehingga Users serupa Users independen Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Kelayakan Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) =  Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{  s} dan independen Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate  dg n   Rekayasa Trafik, Sukiswo

Waktu Antar Kedatangan Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson T adalah random variables Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables Fungsi distribusi dan densitas utk distribusi eksponensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Memoryless Property Distribusi eksponensial adalah memoryless Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan Untuk waktu service Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Memoryless Property Utk waktu antar kedatangan Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Markov Property Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1 Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Markov Property Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Little’s Law Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dg rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm sistem (antrian) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Little’s Law Misalkan Rate kedatangan () Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian nQ(t), jumlah dlm pelayanan nS(t) Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian Q, waktu dlm pelayanan s Relasi parameter-parameter dg Little’s Law Jumlah dlm sistem : E[n] = .E[] Jumlah dlm antrian : E[nQ] = .E[Q] Jumlah dlm service :  = E[nS] = .E[s] Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Utilisasi Utilisasi dari sistem single server Utilisasi dari sistem c-server Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Exercise Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu? Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Saluran Transmisi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Saluran Transmisi Parameter  adalah rate kedatangan NQ adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan) W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi) Little’s law memberikan NQ = .W Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi  (rata-rata jumlah transmisi paket)  = .X Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Saluran Transmisi Perhatikan kasus dimana 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan jika  > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang  > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil Rekayasa Trafik, Sukiswo

Network of Transmission Lines Rekayasa Trafik, Sukiswo

Network of Transmission Lines Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate 1, 2, … ,m N adalah jumlah paket total dlm jaringan Little’s law memberikan delay rata-rata per paket Rekayasa Trafik, Sukiswo

Network of Transmission Lines Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket Juga utk node i, Ni = iTi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/1 Antrian tunggal (single queue) Server tunggal (single server) Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate  per-detik Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/ detik Buffer tak terbatas Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Markov Chain Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp diekspresikan sbg continuous-time Markov chain Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Probabilty Flux Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan Menuju pd global balance equations Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Global Balance Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n Dynamic equilibrium Rekayasa Trafik, Sukiswo

Global Balance Equations Global balance equation utk antrian M/M/1 Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Local Balance Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Local Balance Equations Persamaan local balance utk anrian M/M/1 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Menyelesaikan Local Balance Equations Pers local balance menghasilkan n-1 rekursi berikut Rekayasa Trafik, Sukiswo

Menyelesaikan Local Balance Equations Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Menyelesaikan Local Balance Equations Dg  = / dan menggunakan identitas berikut Maka Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Jika  = / < 1 , kita dp Utilisasi Mean dari jumlah pelanggan, n Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem Dan waktu rata-rata dlm antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Hasil Grafik Antrian M/M/1 Ekspektasi jumlah pelanggan dlm sistem Jumlah pelanggan dlm sistem sbg fungsi utilisasi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Exercise Suatu konsentrator menerima message dari satu grup terminal dan mentransmisikannya melalui suatu saluran transmisi tunggal. Misalkan message tiba sesuai proses Poisson dg rate satu message setiap 4 ms, dan waktu transmisi message mengikuti distribusi eksponensial dg mean 3 ms. (a) Cari rata-rata jumlah message dlm sistem dan total delay rata-rata (b) Berapa persentase peningkatan rate kedatangan shg menghasilkan dua kali total delay rata-rata Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Traffic Multiplexing Perhatikan suatu link komunikasi Kapasitas transmisi tetap (C), rate dimana bit dp ditransmisikan (bit/sec) Bbrp aliran trafik dp share capacity Skim sharing dp mempengaruhi performansi Bentuk-Bentuk Multiplexing Statistical multiplexing Kanal terpisah Time Division Multiplexing (TDM) Frequency Division Multiplexing (FDM) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Statistical Multiplexing Paket-paket dari semua aliran trafik digabungkan ke dlm satu antrian tunggal dan ditransmisikan secara FCFS TSM = L/C diperlukan utk mentransmisikan L-bit paket Rekayasa Trafik, Sukiswo

Time Division Multiplexing Waktu dibagi dlm m slot, dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu slot Bangun m kanal, masing-masing dg kapasitas C/m L-bit paket memerlukan TTDM = Lm/C sec utk transmit jika paket panjang dibandingkan dg panjang satu slot L-bit paket memerlukan TTDM = L/C sec utk transmit jika slot sebesar panjang paket, tetapi harus menunggu (m-1) slot antar transmisi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Time Division Multiplexing Rekayasa Trafik, Sukiswo

Frequency-Division Multiplexing FDM Kanal bandwidth W dibagi kedlm m kanal dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu kanal Bangun m kanal, masing-masing dg bandwidth W/m, atau kapasitas C/m (abaikan ‘guard band’ antar kanal) L-bit paket memrlukan TFDM = Lm/C sec utk transmit Rekayasa Trafik, Sukiswo

Performansi Multiplexing Stat Mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil drpd TDM atau FDM Kapasitas kanal terbuang dg TDM (wasted time slots) dan FDM (wasted bandwidth) jika aliran trafik idle Waktu transmisi lebih besar utk TDM dan FDM Keuntungan TDM dari FDM Stat mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil tetapi variasi delay lebih besar TDM dan FDM mengeleminasi keperluan utk mengidentifikasi aliran trafik asosiasi dg tiap paket Rekayasa Trafik, Sukiswo

Performansi Multiplexing Kita dp menggunakan hasil antrian M/M/1 utk menganalisa Statistical Multiplexing (SM) vs Time Division Multiplexing (TDM) atau Frquency Division Multiplexing (FDM) Asumsi: m aliran paket Poisson, masing-masing dg rate kedatangan /m, ditransmisikan melalui kanal komunikasi tunggal Panjang paket utk semua aliran memp distribusi eksponensial dg waktu transmisi rata-rata 1/ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Performansi Multiplexing SM mengkombinasikan m aliran dari paket-paket dan mentransmisikannya dlm satu aliran tunggal TDM dan FDM menjaga aliran tetap terpisah Rekayasa Trafik, Sukiswo

Performansi Multiplexing Utk SM Utk TDM (atau FDM) Rata-rata paket menghabiskan m kali lebih lama dalam antrian dan service dg TDM atau FDM dibandingkan dg SM Namun kita tidak mempertimbangkan variansi Rekayasa Trafik, Sukiswo