DISTRIBUSI PROBABILITAS diskrit

Distribusi Peluang Diskrit Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang sampel yang mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah (Walpole,1993). Distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang dikenal diantaranya : Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson

Distribusi Peluang Binomial Suatu percobaan dimana pada setiap hasilnya hanya ada dua kemungkinan yaitu sukses dan gagal dalam n kali pengulangan yang bebas (Walpole,1993). Ciri – ciri distribusi peluang binomial adalah sebagai berikut : Percobaan terdiri dari atas n pengulangan Dalam setiap pengulangan, hasilnya berupa sukses dan gagal Peluang sukses dilambangkan dengan p, sedangkan gagal 1-p atau q Pengulangan-pengulangan tersebut bersifat saling bebas satu sama lain. Distribusi peluang binomial dilambangkan dengan : Keterangan n = banyaknya data/percobaan x = banyak sukses dalam peubah acak X p = peluang berhasil pada setiap percobaan q = peluang gagal (1 – p) pada setiap percobaan Untuk x = 0, 1, 2, 3, ... n Rata-rata distribusi peluang Binomial :  = n.p Ragam/varian distribusi peluang Binomial : 2 = n.p.q

Contoh Distribusi Peluang Binomial 1. Bila sekeping uang (koin) yang memiliki muka angka (A) dan muka bergambar (G) ditoss sebanyak 10 kali. Tentukanlah probabilitas peristiwa muncul muka bergambar angka (A) : 6 kali Paling banyak 2 kali Paling sedikit 2 kali Hitung rata-rata jumlah muka A yang muncul dan standar deviasinya Jawab : Apa yg diketahui ? n = 10 p = 0,5 q = 0,5 Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah muka A yang muncul a) Peluang muncul angka (A) 6 kali = 210 x 0,015625 x 0,0625 = 0,2051

b) Peluang muncul muka angka paling banyak 2 kali P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = = 0,001 = 0,0098 = 0,0439 P(X  2) = 0,001 + 0,0098 + 0,0439 = 0,0547 c) Peluang muncul muka bergambar angka paling sedikit 2 kali P(X  2) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1) } = 1 – (0,001 + 0,0098) = 1 – 0,0108 = 0,9892 d) Rata-rata jumlah muka A yang muncul :  = n.p = 10 (0,5) = 5 Ragam = n.p.q = 10(0,5)(0,5) = 2,5 Standar deviasi = 1,58

Contoh Distribusi Peluang Binomial 2. Delapan dadu yang homogin ditoss sekaligus, berapakah probabilitas muncul muka bertitik 5 sebanyak 3 buah dadu Jawab : Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah dadu dengan muka yang muncul bertitik 5 n = 8 p = 1/6 q = 5/6 Probabilitas muncul muka titik 5 sebanyak 3 dadu  x = 3 = 56 x 0,00463 x 0,40188 = 0,10420

Latihan Diketahui dari seluruh barang yang diproduksi terdapat 10% barang yang rusak (cacat). Dari barang yang diproduksi tersebut diambil sampel acak berukuran 25 unit barang, tentukan probabilitasnya bahwa dalam sampel tersebut akan terdapat barang rusak : Sebanyak 5 unit Paling banyak 5 unit Paling sedikit 7 unit Antara 1 dan 7 unit Hitunglah rata-rata jumlah barang rusak dan standar deviasinya

Distribusi Peluang Multinomial Jika percobaan binomial berkembang dengan memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin (bukan hanya kategori sukses dan gagal), maka percobaan itu dinamakan Multinomial. Misalkan sebuah percobaan menghasilkan K buah hasil yang mungkin yaitu E1, E2, ..., Ek dengan peluang P1, P2, ..., Pk. Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali, maka peluang akan terdapat x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, ... , xk kejadian Ek diantara n ditentukan oleh distribusi multinomial : P(x1, x2, ..., xk) =

Contoh Distribusi Peluang Multinomial 1. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola hijau, dan 5 bola kuning. Identitas lainnya homogen (sama). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak itu, dilihat warnanya dan dikembalikan lagi ke dalam kotak. Tentukan peluang dari 6 kali pengambilan terdapat 1 bola merah, 2 bola hijau dan 3 bola kuning. Jawab : P(merah) = P(hijau) = P(kuning) = 3/12 4/12 5/12 Merah muncul 1 kali  x1 = 1 Hijau muncul 2 kali  x2 = 2 Kuning muncul 3 kali  x3 = 3 P(M,H,K) = P(1, 2, 3) = 0,1206

Contoh Distribusi Peluang Multinomial 2. Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama muncul 1 kali dan pasangan lainnya muncul 3 kali. Jawab : E1 : kejadian muncul jumlah mata dadu 7 atau 11 E2 : kejadian muncul pasangan bilangan yg sama E3 : kejadian muncul pasangan lainnya  P(E1) = P(E2) = P(E3) = 8/36 = 6/36 = 22/36 = 2/9 1/6 11/18 Distribusi Multinomial dengan X1 = 2, X2 = 1, X3 = 3 P(X) = P(2, 1, 3) = 0,1127

Distribusi Peluang Hipergeometrik Bila dalam N populasi benda, k buah benda diberi label berhasil dan N-k benda lainnya diberi label gagal, maka distribusi peluang bagi peubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n (Walpole,1993). Distribusi peluang hipergeometrik dilambangkan dengan : N = ukuran populasi n = ukuran contoh acak k = banyaknya penyekatan / kelas x = banyaknya keberhasilan Untuk x = 0, 1, 2, 3, ... n Rata-rata distribusi peluang hipergeometrik : Ragam distribusi peluang hipergemetrik :

Contoh Distribusi Peluang Hipergeometrik Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluang : Tidak ada yang lahir pada tanggal 1 Januari Paling banyak 1 orang yang lahir pada tanggal 1 Januari Jawab : Diketahui : N = 50, n = 5 dan k = 3 a. Miasl X : banyaknya orang yang lahir tanggal 1 Januari dari pengambilan P(0) = 0,724 Peluang bahwa kelima orang yang diambil tidak lahir pada tanggal 1 Januari

Contoh Distribusi Peluang Hipergeometrik Diketahui : N = 50, n = 5 dan k = 3 b. Akan dicari peluang paling banyak 1 orang lahir tanggal 1 Januari P(X  1) = P(X = 0) + P(X = 1) Dari jawaban sebelumnya telah diperoleh P(X = 0) = 0,724 P(1) = 0,253 Peluang paling banyak 1 orang dari 5 orang yang diambil lahir pada tanggal 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,977

Latihan Distribusi Peluang Hipergeometrik 1. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaan bila berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Barapa proporsi pengiriman yang mengandung 20 % cacat akan lolos pemeriksaan N = n = k = N – k = 50 5 20% x 50 = 10 40 Diambil 5 sampel dan dikatakan lolos pemeriksaan jika cacat tidak lebih dari 2. Dengan demikian x = 0, 1, 2

P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) =

Distribusi Peluang Poisson Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau distribusi daerah tertentu (Walpole,1993). Distribusi peluang poisson memiliki ciri – ciri sebagai berikut : Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak langsung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan. Bilangan X yang menyatakan banyaknya daerah hasil percobaan dalam suatu distribusi poisson disebut peubah acak poisson.

Distribusi Peluang Poisson Karena nilai – nilai peluangnya hanya bergantung pada µ maka dirumuskan : untuk x = 1, 2, 3, ... Keterangan : x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X µ = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktu e = 2,71828... Rata – rata dan ragam distribusi poisson p(x;) keduanya sama dengan 

Contoh Distribusi Peluang Poisson 1. Seorang pengusaha fotocopy menjamin bahwa dalam setiap 1000 lembar hasil fotocopy nya akan ada rata-rata 16 lembar yang rusak. Kalau saudara memintanya untuk memfotocopy 30 lembar, maka berapakah probabilitasnya saudara mendapatkan : Tidak ada yang rusak Lebih dari 3 lembar yang rusak Jawab : Misalkan X adalah variabel acak dengan jumlah lembar fotocopy yang rusak Rata-rata lembar rusak setiap 30 lembar fc adalah  = 16*30/1000 = 0,48 Sehingga  = 0,48 untuk n = 30 a) P(X = 0) = e–0,48 = 0,61878339

Contoh Distribusi Peluang Poisson b) P(X > 3) = 1 – { P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) } P(X = 0) = 0,61878339 P(X = 1) = 0,48 x e–0,48 = 0,29701603 P(X = 2) = 0,2304 x e–16 = 0,07128385 P(X = 3) = 0,018432 x e–16 = 0,01140542 Sehingga P(X > 3) = 1 – 0,99848869 = 0,00151131 Berapa standar deviasinya ???

Latihan Distribusi Peluang Poisson 1. Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang: a. Didapat tidak ada yang albino. b. Terdapat ada albino. 2. Peluang seorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk : Tidak ada Ada 3 orang Tentukan ada berapa orang yangdiharapkan akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik.

Kunci no 1 b. Peluang terdapat albino dari sampel adalah = 1 – (Peluang tidak ada Albino) = 1 – 0,00055 = 0,99945.