BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR

Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antarvariabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model non linear, namun tidak sedikit pula yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non linear. Bahkan sebagian dari model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-hubungan yang non linear, merupakan linearisasi dari model non linear

Ada empat macam bentuk fungsi non- linear, yaitu: Fungsi Kuadrat Fungsi Kubik Fungsi eksponensial Fungsi logaritmik

Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umumnya adalah : y = a + bx + cx2 ; c  0

Identifikasi persamaan kuadrat Bentuk lebih umum persamaan kuadrat ialah: : ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0 (setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan nol) apabila p = 0 maka persamaan menjadi : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

b. Lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus lingkaran, yaitu : (x – i)2 + (y – j)2 = r2

c. Ellips. Bentuk umum persamaan elips : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus elips, yaitu : (x - i)2 (y – j)2 --------- + --------- = 1 r12 r22

d. Hiperbola Bentuk umum persamaan hiperbola : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus hiperbola : (x - i)2 (y – j)2 --------- - --------- = 1 atau m2 n2 (y - j)2 (x – i)2 --------- - --------- = 1 n2 m2

Untuk menentukan asimtot gunakan rumus : x - i y – j y – j x - i ----- =  ----- atau ----- =  ----- m n n m e. Parabola Bentuk umum persamaan parabola adalah: jika sumbu simetri sejajar sumbu vertikal y = ax2 + bx + c

Jika sumbu simetri sejajar sumbu horizontal : X = ay2 + by + c Titik ekstrim parabola (i, j) adalah: b b2 – 4ac --- , --------- 2a -4a

2. Fungsi Kubik Bentuk umum : y = a + bx + cx2 + dx3 d  0

a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. 3. Penerapan Ekonomi a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs Qd : jumlah permintaan Qs : Jumlah penawaran E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan Qe : jumlah keseimbangan P Qs Pe E Qd Q Qe

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak atau subsidi yang menyebabkan harga jual yang ditawarkan berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

b. Fungsi Biaya Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

Biaya tetap : FC = k (k ; konstanta) Biaya variabel : VC = f(Q). Biaya total : C = FC + VC = k + f (Q) = c (Q). FC Biaya tetap rata-rata : AFC = ---- Q VC Biaya variabel rata-rata : AVC = ---- Biaya rata-rata : AC = C/Q = AFC + AVC Biaya Marjinal : ∆C/∆ Q

Bentuk non linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik . Andaikan C = aQ2 – bQ + c maka : AC = C/Q = aQ – b + c/Q AVC = VC/Q = aQ – b AFC = FC/Q = c/Q

C C C AC AFC c FC AVC VC Q Q -b (b) (a)

Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear; sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a, C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC  c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

Biaya total merupakan fungsi kubik Andaikan C = aQ3 – bQ2 + cQ + d Maka : AC = c/Q = aQ2 – bQ + c + d/Q AVC = VC/Q = aQ2 – bQ + c AFC = FC/Q = d/Q Biaya total berfungsi kubik seperti di atas selalu membuahkan AC dan AVC berbentuk parabola terbuka keatas. Sedangkan AFC tetap asimtotik terhadap sumbu C dan sumbu Q, sebab FC berupa konstanta yang kurvanya sejajar sumbu Q. Perhatikan gambar b, AC minimum dan AVC minimum juga terjadi pada kedudukan Q yang sama, perbedaan di antara keduanya adalah sebesar AFC.