Sri Sulasmiyati, S.Sos, M.AP ESTIMASI Sri Sulasmiyati, S.Sos, M.AP

PENGERTIAN Dalam penelitian sampel kita berharap dapat menarik suatu kesimpulan tentang peristiwa yang sedang diselidiki dengan mengguna kan data yang kita kumpulkan dari penelitian sampel tersebut. Berdasarkan hasil penelitian pada sampel, kita ingin menarik kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut diambil. Penarikan kesimpulan itu antara dapat terbentuk estimasi (pendugaan) tentang satu atau beberapa nilai parameter.

Populasi N = 400 Sampel n=21 Variabel umur - X = 26,7 th SD = 1,6 th Variabel umur µ = 26 th σ = 1,1 th Parameter Statistik

Point Estimation (Pendugaan Titik), yaitu harga parameter diduga dengan satu harga yakni statistik sampelnya. Misalnya: 1. Diperkirakan rata-rata harga saham Rp 5.000 per lembar ( μ = 5.000). 2. Diperkirakan proporsi saham yang risikonya tinggi sebesar 0,15 atau 15% (p = 0,15) Kelemahannya: Kita tidak dapat mengetahui berapa jarak/seleisih nilai pendugaan (estimate) terhadap nilai sebenarnya (parameter).

Interval Estimation (Pendugaan Interval), yaitu harga parameter diduga dengan banyak sekali harga, atau harga yang hendak diduga terletak dalam dua batas nilai (interval) Misal: Dikatakan pengeluaran mahasiswa per bulan di Kota Malang pada rata-ratanya Rp 200.000,00 – Rp 500.000,00

Istilah-istilah (terminology) Taksiran Interval Apabila kita menaksir sebuah harga dengan sebuah interval, maka kita akan memperoleh taksiran interval. Misalkan saja: Dikatakan pengeluaran mahasiswa per bulan di Kota Malang pada rata-ratanya Rp 200.000,00 – Rp 500.000,00 2. Batas Bawah dan Batas Atas taksiran Interval Setiap taksiran interval mempunyai Batas Bawah taksiran (lower limit) dan Batas Atas taksiran (upper limit) 3. Interval Kepercayaan (Confidence Interval) disingkat CI atau IK Apabila kepada sebuah taksiran interval kita memberikan kepercayaan tertentu (dalam bentuk persentase), maka taksiran interval terebut namanya interval kepercayaan

4. Koefisien/Derajat Kepercayaan (Confidence Coefficient) Statistika klasik memberikan dua koefisien kepercayaan yaitu : 95% dan 99%. Koefisien kepercayaan ini secara umum ditulis (1 - α) 100% Jika koefisien kepercayaan 95%= (1-α)100%=95%→ α = 0,05 99%= (1-α)100%=99%→ α = 0,01 Makin tinggi koefisien kepercayaan makin lebar interval taksiran, tetapi dalam penelitian interval yang terlalu lebar tidak baik. Seorang peneliti menghendaki derajat kepercayaan yang tinggi dan interval yang sempit. Keadaan ini bisa dicapai dengan cara menentukan terlebih dahulu berapa ukuran sampel.

Interval Kepercayaan Uji Satu Sisi

Interval Kepercayaan Uji Dua Sisi

POLA UMUM ESTIMASI Tentukan secara tegas parameter apa yang hendak diduga, apakah rata-rata (), apakah persentase/proporsi () atau yang lainnya. Tentukan besar koefisien kepercayaan yang akan digunakan (1- )100%. Kumpulkan data melalui sampel berukuran n. Gunakan rumus estimasi yang tepat. Lakukan perhitungan Berikan kesimpulan statistik.

Menaksir Rata-rata 1 Populasi (μ) a. Sampel Besar (n ≥30) Rumus Estimasi:

Error dan Ukuran Sampel Ditentukan oleh: error yg diinginkan dan CL

adalah batas bawahTaksiran - -1,64 +1,64 adalah batas bawahTaksiran adalah batas atastaksiran

Contoh: Sebuah biro riset ingin mengestimate rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari mahasiswa indekost. Sebuah sampel random yang terdiri dari 100 mahasiswa indekost telah dipilih dari populasi mahasiswa indekost. Dari seratus mahasiswa indekost tersebut diketahui bahwa rata-rata pengeluarannya adalah Rp 250.000,00 dengan standard deviasi Rp 50.000,00. Hitunglah “interval keyakinan 95%” untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua mahasiswa indekost.

Jawab Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96 1.Parameter yang ditaksir Mean 2. IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96 3. 4. n = 100 = 250.000 s = 50.000 5. Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96

Jawab Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96 1.Parameter yang ditaksir Mean 2. IK = 90%→α= 0,10 α/2= 0,05 Z α/2 = 1, 64 3. 4. n = 100 = 250.000 s = 50.000 5. Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96

Contoh 2 Hasil survey terhadap 900 pengamen di daerah A menunjukkan bahwa rata-rata per bulan pendapatan Rp 500.000,00 dengan standard deviasi Rp 100.000,00. Hitunglah interval estimasi μ (rata-rata pendapatan pengamen di daerah A) bila Cl 95% Jawab. ± Zα/2 S/√n 500.000 ± (1,96) 500.000 ± 6.533,33 Interval estimate Rp 493.466,67 < μ < Rp 506.533,33

b. Dengan CI berapakah supaya diperoleh hasil estimatenya adalah antara 495.000 hingga 505.000?. Estimasi μ → ± Zα/2 S/√n = berarti 500.000 ± 5.000 Maka ± Zα/2 S/√n = 5.000 ± Zα/2 = 5.000 3.333,33 Zα/2 = 5.000 → Zα/2 = ± 1,5 → Zα = + 1,5= 0,4332 Zα = - 1,5= 0,4332 + CI = 0,8664 CI= 86,64%- α = 13,36%

Total estimasi pendapatan pengamen N( ± Zα/2 S/√n ) c. Berapakah estimasi total pendapatan bila pengamen di Daerah A ditaksir berjumlah 100.000 dengan CI 95%?. Jawab: Total estimasi pendapatan pengamen N( ± Zα/2 S/√n ) 100.000 (500.000 ± 1,96 100.000 (500.000 ± 6.533,33 ) yaitu antara Rp 49.346.667.000 – 50.653.333.000

Menentukan ukuran sampel Berapa jumlah sampel (n) yang dibutuhkan utk mengestimasi rata-rata pendapatan RT di Kab. Malang, bila diketahui CI = 95%. Error dlm estimasi tdk lebih dari Rp 10.000.00. Dari data sensus diperoleh bahwa rata-rata income RT = Rp 750.000 dgn SD Rp 400.000 e = 10.000, CI= 95% a = 5%  Za/2 = 1,96 s = 400.000 n = [(1,96) (400.000)/(10.000)]2 = 6146 Maka jumlah sampel yang harus dipilih supaya error tidak lebih dari Rp 10.000 paling sedikit adalah 6146 RT

Menentukan ukuran sampel Berapa jumlah sampel (n) mahasiswa yang harus dipilih bila diketahui standard deviasi dari hasil ujian mahasiswa = 20 dan probabilitas dari error sebesar 5 atau lebih adalah sebesar 0,0456. Probabilitas = 0,0456 berarti a = 0,0228 CI= 95,44% n = [(2) (20)/(5)]2 = 64

Menaksir Rata-rata 1 Populasi (μ) b. Sampel Kecil (n <30) Rumus Estimasi: <  <

Contoh Hasil penelitian terhadap 20 orang investor, ternyata saham yang dibeli (ribuan lembar) sebagai berikut: 20 15 17 18 22 21 18 14 15 13 16 14 24 25 26 21 19 18 17 15 Dengan menggunakan tingkat keyakinan 95% buat perkiraan interval rata-rata saham yang dibeli per investor.

Jawab Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96 1. Parameter yang ditaksir Mean IK = 95%→α= 0,05 α/2 = 0,025 df = n-1= 20-1= 19 t0,025 (19) = 2,093 3. 4. : n = 20 = 18,4 s = 3,80 18,4 - (2,093) (3,80/√20) < μ < 18,4 + (2,093) (3,80/√20) 18,4 - (2,093) (0,8497) < μ < 18,4 + (2,093) (0,8497) 18,4 - (1,7784) < μ < 18,4 + (1,7784) 16,6216 < μ < 20,1784 16,62 < μ < 20,18 Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan rata-rata pembelian saham akan berkisar antara 16.62 sampai dengan 20.18 lembar Diketahui: n = 100 s = 50.000 IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96 <  <

MENAKSIR 1 PROPORSI (P) n : banyaknya elemen sampel x : banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu p =x/n

Error dan Ukuran sampel E < Zα/2 Besar

Contoh Dari hasil penelitian sampel random di Kota A, dari 100 pembeli saham ada 60 pegawai negeri. Dengan tingkat keyakinan 90% buatlah perkiraan interval proporsi pegawai negeri yang membeli saham

jawab Parameter yangditaksir Proporsi IK = 90%→α=10% →Zα/2 = Z0,05 = 1,64 n = 100 X = 60 p = = = 0,60

0,6 – 1,64 (0,049) < p < 0,6 + 1,64 (0,049) 0,52 < p < 0,68

Menaksir Beda Dua Rata-rata (μ1- μ2) a. Sampel Besar (n1 dan n2 ≥ 30) Rumus Estimasi atau ±

Besar Error E < Z

Contoh Suatu sampel random yang terdiri dari 100 pengamen di Kota A menunjukan rata-rata pendapatan per hari Rp 15.900 dengan standard deviasi Rp 190. Sampel random yang lain yang terdiri dari 120 pengamen di Kota B menunjukkan rata-rata pendapatan per hari Rp 15.700 dengan standard deviasi Rp 165. Hitunglah confidence interval 95% untuk perbedaan rata-rata pendapatan dari semua pengamen yang berada di kedua kota itu.

Jawab = = = 24.25 Parameter yang akan diestimasi Beda Mean IK = 95% →α= 5%→Zα/2= 1,96 Rumus Estimasi ± = 15.900 – 15.700 = 200 = = = 24.25

4. 200 – 1,96 (24,25) < 1 – 2 < 200 + 1,96 (24,25) 200 – 47,53 < 1 - 2 < 200 + 47,53 152,47 < 1 – 2 < 247,53 Beda rata-rata pendapatan pengamen di kota A dan kota B berkisar antara Rp. 152,47 hingga Rp. 247,53

Menaksir Beda Dua Mean Sampel Kecil atau

Menaksir Beda Dua Mean Sampel kecil ±

Contoh: 10 buah sampel random ban merk A daya pakai rata-rata 1000 km dan Standard deviasi 80 km, 6 sampel lain merk B dengan daya pakai rata-rata 900 km dan Standard deviasi 90 km. Hitung confidence interval 95% untuk beda mean pada daya pakai ban mobil kedua merk tersebut.

Jawab 1. Parameter yang akan diestimasi Mean (μ) 2. IK = 95% → α = 5% → df = 10 + 6 – 2 = 14 t α/2= t(0,025; 14) = 2,145 3. n1 = 10 n2 = 6 = 1000 ; = 900 = 100 S1 = 80 S2 = 90

100 - 92,72 < µ1 -µ2 < 100 + 92,72 7,28 < µ1 -µ2 < 192,72 100-2,145 100 - 92,72 < µ1 -µ2 < 100 + 92,72 7,28 < µ1 -µ2 < 192,72 Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan selisih rata-rata daya pakai ban mobil merk A dan B akan terletak dalam interval antara 7,28 sampai dengan 192,72

Menaksir Beda dua Proporsi P ± Zα/2

Contoh Hasil penelitian sampel acak di Kota A, dari 120 pembeli saham ada 90 pegawai negeri dan di Kota B, dari 120 pembeli saham ada 78 pegawai negeri. Dengan tingkat keyakinan 90% buat perkiraan interval selisih proporsi pegawai negeri yang membeli saham di A dan B.

Jawab 1. Parameter yang ditaksir proporsi 2. IK = 90%→α = 10% Z α/2 = 1,64 3. Rumus Estimasi P ± Z α/2 4. Dik : n1 = 120 n2 = 120 X1 = 90 X2 = 78 p1 = 90/120 = 0,75 p2 =78/120 = 0,65 (p1 - p2) = 0,75 – 0,65 = 0,10

0,10 ± 165 0,10 - 1,65 (0,059) ≤ P1-P2 ≤ 0,10 + 1,65(0,059) 0,003 ≤ P1-P2 ≤ 0,197 atau 0,3% ≤ P1-P2 ≤ 19,7% Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan selisih proporsi pegawai negeri pembeli saham di A dan B akan terletak dalam interval antara 0,003 sampai dengan 0,197 atau 0,3% sampai 19,7%.