BAB 4 METODE DEDUKSI KALIMAT LOGIKA Modus Ponen (MP) : Tautologi : [p  (p  q)]  q p p  q  q p q p  q p  (p  q) [p  (p  q)]  q F T

Contoh Soal 4.1 : Buktikan validitas argumen di bawah ini : Jika pintu kereta api ditutup, maka lalu lintas terhenti. Jika lalu lintas terhenti, maka terjadi kemacetan lalu lintas. Pintu kereta api ditutup. Jadi terjadi kemacetan lalu lintas Jawab : Pergunakan notasi simbol : p : Pintu kereta api ditutup. q : Lalu lintas terhenti. R : Terjadi kemacetan lalu lintas Pembuktiannya sbb : 1. p  q Pr 2. q  r 3. p Pr / r 4. q 1,3 MP 5. r 2,4 MP Rangkaian argumen : 1. p  q Pr (Premis) 2. q  r Pr 3. p Pr / r

Contoh Soal 4.2 : Buktikan validitas berikut : Jika korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi habis, maka jika pendapatan negara tidak dapat diatasi, maka Negara akan mengalami resesi. Ternyata pendapatan negara tidak dapat diatasi Jika persediaan minyak bumi habis, maka Negara kehilangan devisa Jika Negara kehilangan devisa, maka korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi habis Jadi Negara mengalami resesi 1. (p  q)  (~s  r) Pr 2. ~ s 3. q  t 4. t  (p  q) 5. q Pr /r 6. t 3,5 MP 7. p  q 4,6 MP 8. ~s  r 1,7 MP 9. r 2,8 MP Jawab : p : Korupsi merajalela q : Persediaan bumi habis r : Negara mengalami resesi s : Pendapatan Negara dapat diatasi t : Negara kehilangan devisa

Modus Tollen (MT) : Tautologi : [~ q  (p  q)]  ~ p p  q ~ q  ~ p p q ~ q p  q ~ q  (p  q) ~ p [~q  (p  q)]  ~p F T

Contoh Soal 4.3 : Buktikan rangkaian argumen berikut : 1. p  q Pr 2. q  r 3. ~ p  s 4. ~ r Pr /s Jawab : 1. p  q Pr 2. q  r 3. ~ p  s 4. ~ r Pr /s 5. ~ q 2,4 MT 6. ~ p 1,5 MT 7. s 3,6 MP

Simplifikasi (Simp) : p  q  p Contoh Soal 4.4 : Buktikan rangkaian argumen berikut : 1. ~ p  q Pr 2. r  p 3. ~ r  s P. 4. s  t Pr /t Jawab : 1. ~ p  q Pr 2. r  p 3. ~ r  s 4. s  t Pr /t 5. ~ p 1, Simp 6. ~ r 2,5 MT 7. s 3,6 MP 8. t 4,7 MP

Conjuntion (Conj) : p q  p  q Contoh Soal 4.5 : Buktikan rangkaian argumen berikut : Jawab : 1. (p  q)  r Pr 2. p  s 3. q  t Pr /r 1. (p  q)  r Pr 2. p  s 3. q  t Pr /r 4. p 2, Simp 5. q 3. Simp 6. p  q 4,5 Conj 7. r 1,6 MP

Hypothetical Syllogism (HS) : Tautologi :[ (p  q)  (q  r)]  (p  r) p  q q  r  p  r Contoh Soal 4.6 Buktikan validitas argumen berikut : Jika kamu mengirim pesan email, maka saya akan menyelesaikan menulis program. Bila kamu tidak mengirim pesan email kepada saya, maka saya akan cepat tidur. Jika saya cepat tidur, maka saya akan bangun dengan perasaan segar Bila saya tidak menyelesaikan menulis program, maka saya akan bangun dengan perasan segar Jawab : p : Kamu mengirim pesan email q : Saya menyelesaikan menulis program r : Saya cepat tidur s : Saya bangun dengan perasaan segar 1. p  q Pr 2. ~ p  r 3. r  s Pr /  (~ q  s) 4. ~ q  ~ p 1, Kontrapositip 5. ~ q  r 2, 4 HS 6. (~ q  s 3, 5 HS

Disjunction Syllogism (DS) Tautologi :[ (p  q)  ~ p]  q p  q ~ p  q Contoh Soal 4.7 : Buktikan validitas argumen berikut : Saya pergi ke Palembang atau berlibur ke Pemalang. Saya tidak ke Palembang tapi mengikuti kursus di Pemalang. Jadi saya berlibur ke Pemalang Jawab : p : Saya pergi ke Palembang q : Saya berlibur ke Pemalang r : Saya mengikuti kursus di Pemalang 1. p  q Pr 2. ~ p  r Pr / q 3. ~ p 2, Simp 4. q 1, 3 DS

Constructive Dilemma (CD) p  q r  s p  q  q  s Contoh Soal 4.8: Buktikan validitas argumen berikut : Jika purnama telah hilang, maka malam menjadi gelap gulita Jika malam semakin larut, maka angin bertiup semakin dingin Purnama telah hilang atau malam semakin larut Jadi, malam menjadi gelap gulita atau angin bertiup semakin dingin 1. p  q Pr 2. r  s 3. p  q Pr /  q  s 4. q  s 1,2,3 CD p : Purnama telah hilang q : Malam menjadi gelap gulita r : Malam semakin larut S : Angin bertiup semakin dingin

Distructive Dilemma (DD) p  q r  s ~ q  ~s  p  s

Addition (Add) p  p  q Contoh Soal 4.10 Buktikan validitas argumen berikut : Jika di Pangandaran nelayan tertawa berdendang ria atau wisatawan ramai berpesta pora, maka di Pangandaran ada pesta laut Jika bulan Pebruari telah tiba, maka nelayan di Pangandaran tertawa berdendang ria Bulan Pebruari telah tiba Jadi di Pangandaran ada pesta laut 1. (p  q)  r Pr 2. s  p 3. s Pr /  r 4. p 2, 3 MP 5. p  q 4, Add 6. r 1, 5 MP p : Di Pangandaran nelayan tertawa berdendang ria q : Wisatawan ramai berpesta pora r : Di Pangandaran ada pesta laut s : Bulan Pebruari telah tiba

Resolution (Res) p  q ~ p  r q  r Contoh Soal 4.11 Buktikan validitas argumen berikut : Jasmin sedang bermain ski atau sekarang sedang tidak turun salju Sekarang sedang turun salju atau Bart sedang bermain hoki Jasmin sedang bermain ski atau Bart sedang bermain hoki Jawab : 1. ~ p  q Pr 2. p  r Pr / q  r 3. q  r Res p : Sekarang sedang turun salju q : Jasmine sedang bermain ski r : Bart sedang bermain hoki

ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN (RULE OF INFERENCE) 1 p p  q Addition (Add) 6 p  q q  r  p  r Hypothetical Syllogism (HS) 2 p  q p Simplification (Simp) 7 p  q ~ p  q Disjunctive Syllogism (DS) 3 q p  q Conjunction (Conj) 8 r  s  q  s Constructive Dilemma (CD) 4 q Modus Ponen (MP) 9 ~ q  ~s  p  s Destructive Dilemma (DD) 5 ~ q  ~ p Modus Tollen (MT) 10 ~ p  r q  r Resolution (Res]

ATURAN PENUKARAN(RULE OF REPLACEMENT) 1 ~ (p  q)  ~ p  ~q ~ (p  q)  ~ p  ~q De Morgan (de M) 2 p  q  q  p p  q  q  p Commutation (Comm)) 3 p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Association (Ass) 4 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distribution (Distr) 5 ~ (~ p) = p Double Negation(DN) 6 p  q  ~ q  ~ p Transposition (Trans) 7 p   ~p  q Material Implication (Impl) 8 p ↔ q  (p  q )  (q  p) p ↔ q  (p  q )  (~ q  ~p) Material Equivalence (Equiv) 9 p  q  r  p  (q  r) Exportation (Exp) 10 p  p  p Tautologi (Taut)

Contoh Soal 4.12 Buktikan argumen di bawah ini : (a  b )  (c  d) ~ c /  ~ b Jawab : 1. (a  b )  (c  d) Pr 2. ~ c /  ~ b 3. ~ c  ~ d 2, Add 4. ~(c  d) 3, de M 5. ~ (a  b ) 4, MT 6. ~ a  ~ b 5, de M 7. ~ b  ~ a Comm 8. ~ b Simpl

Contoh Soal 4.13 Buktikan argumen di bawah ini : j  (~ k  j ) k  (~ j  k) /  (j  k)  (~ j  ~ k) Jawab : 1. j  (~ k  j ) Pr 2. k  (~ j  k) /  (j  k)  (~ j  ~ k) 3. (~ k  j )  j Comm 4. ~ k  (j  j) Ass 5. ~ k  j Taut 6. k  j Impl 7. (~ j  k )  k 8. ~ j  (k  k) 9. ~ j  k 10. (j  k ) 11. (j  k )  (k  j) 6,10 Conj 12. j ↔ k Equiv 13. (j  k)  (~ j  ~ k)

Soal Latihan No 4.1 [2005] Tentukan validitas argumen berikut : ~ (p  m)  (s  r) ~ s  ~m

Soal Latihan No 4.2 [2005] Diberikan sebuah soal cerita di bawah ini, buktikan validitasnya Jika Nuraida pergi ke gunung Gede atau Aryanti tidak ada di rumah, maka Hasanah tidak akan pergi ke luar rumah dan Ineke akan setia menemaninya. Ternyata Hasanah pergi ke luar rumah. Jadi Aryanti ada di rumah

Soal Latihan No. 4.3 [2008] Diberikan argumen berikut : ~ (p  q)  r p  q p  r Buktikan validitas argumen di atas

Soal Latihan No. 4.4 [2008] Diberikan argumen berikut : Jika Wayan berdagang, maka ia tidak menjadi beban keluarganya Jika ia tidak berdagang, maka ia tidak mempunyai modal. Jika ia tidak mempunyai modal, maka ia bekerja di toko. Jika ia bangkrut, maka ia menjadi beban keluarganya. Jadi ia tidak bangkrut atau ia bekerja di toko w : Wayan berdagang k : Wayan menjadi beban keluarganya m : Wayan mempunyai modal t : Wayan bekerja di toko b : Wayan bangkrut

ATURAN PEMBUKTIAN KONDISIONAL Pernyataan kondisional berkorespondensi dengan suatu argumen Pernyataan kondisional : [(p  q)  ~ p ]  q berkorespondensi dengan argumen : p  q ~ p  q Premis-premis argumen (1 dan 2) adalah antesenden dari pernyataan kondisional Konsekuen argumen (3) adalah konklusi dari pernyataan kondisional Setiap argumen yang valid berkorespondensi dengan pernyataan kondisional yang merupakan tautologi Menurut hukum Exportation : a  (b  c)  (a  b)  c, keduanya tautologi a  b  c a b  c Ada premis tambahan (b) rule of Conditional Proof (CP)

1. a  b 2. c  d 3. ~ b  ~ d 4. ~ a  ~ b 5.  (a  ~ c) Contoh Soal 4.14 Buktikan validitas argumen berikut : 1. a  b 2. c  d 3. ~ b  ~ d 4. ~ a  ~ b 5.  (a  ~ c) Pembuktian selengkapnya : 1 a  b Pr 2 c  d 3 ~ b  ~ d 4 ~ a  ~ b Pr / a  c 5 a Pr tambahan / c 6 b 1,5 MP 7 ~ (~b) 6 DN 8 ~ d 3,7 DS 9 ~ c 2,8 MT 10 a  ~c 5,9 CP Jawab : Ubah argumen di atas menjadi : a  b c  d ~ b  ~ d ~ a  ~ b a (premis tambahan)  ~ c

1. a  (b  c) Pr 2. c  (d  e) Pr /a  (b  d) Contoh Soal 4.15 Buktikan validitas argumen berikut : 1. a  (b  c) Pr 2. c  (d  e) Pr /a  (b  d) Jawab : Ubah argumen di atas menjadi : a  (b  c) Pr c  (d  e) Pr a (Pr tambahan) / (b  d) b (Pr tambahan) /  d Pembuktian selengkapnya : 1 a  (b  c) Pr 2 c  (d  e) 3 a Pr tambahan 4 b 5 b  c 1,3 MP 6 c 5,4 MP 7 d  e 2,6 MP 8 d 7 Simp

Latihan Soal 4.5 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional 1. (s  q)  r Pr 2. (p  s)  q Pr /p  r Latihan Soal 4.6 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional 1. p  r Pr 2. (~ p  r)  (s  q) Pr /p  (s  q) Latihan Soal 4.7 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional 1. t  d  e Pr /  t  e

ATURAN PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG Rule of Indirect Proof (IP) Membentuk negasi dari konklusinya yang kemudian dijadikan premis tambahan Bila terjadi kontradiksi, maka argumen valid Contoh Soal 4.16 Buktikan validitas argumen ini dengan pembuktian tak langsung p  q Pr q  r Pr p Pr / r 1 p  q Pr 2 q  r 3 p 4 ~ r Pr tambahan 5 ~ q 2,4 MT 6 ~ p 1,5 MT 7 p  ~p 3,6 conj p  q Pr q  r Pr p Pr / r ~ r Pr tambahan Terjadi kontradiksi  argumen valid

Buktikan validitas argumen di bawah ini Contoh Soal 4.17 Buktikan validitas argumen di bawah ini dengan metode IP, dan lanjutkan sampai diperoleh konklusi argumennya b  j Pr h d Pr ~ (~j  ~ d)  u Pr ~ u Pr /  ~ b  ~ h 1 b  j Pr 2 h  d 3 ~ (~j  ~ d)  u 4 ~ u Pr / ~ b  ~ h 5 ~(~ b  ~ h) IP ,Pr tambahan 6 b  h De Morgan 7 b 6, simp 8 j 1,7 MP 9 h  b 6, comm 10 h 9, simp 11 d 2,10 MP 12 ~j  ~ d 3,4 MT 13 ~ (~j ) 8, DN 14 ~ d 12,13 DS 15 d  ~ d 11, 14 conj 16 ~ b  ~ h 1,2, 12 DD 17 18 Jawab : Terjadi kontradiksi 

Latihan Soal 4.8 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung 1. ~ (p  m)  (s  r) Pr 2. ~ s Pr /~ m Latihan Soal 4.9 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung 1. a  b  c  d Pr 2. d  e)  f Pr 3. a Pr / f Latihan Soal 4.10 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional 1. p  [q  (r  s)] Pr 2. ~r  ~s Pr 3. ~q Pr / ~ p