Pertemuan ke 1

1. LOGIKA Logika mempelajari hubungan antar pernyataan-pernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau rumus-rumus, sehingga dapat menentukan apakah suatu pernyataan bernilai benar. Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah pada bentuknya; bukan pada arti kalimat.

Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa Penalaran dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa pernyataan semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa adalah benar

1.1. PROPOSISI Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan tersebut disebut Proposisi. Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh-contoh Proposisi : 6 adalah bilangan genap Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama. 2 + 2 = 4 Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang. 12 19 Hari ini adalah hari Kamis

Contoh-contoh bukan Proposisi: Jam berapa kereta api Argo Bromo berangkat ?  kalimat tanya Isilah gelas tersebut dengan air !  Kalimat perintah X > 3

Lambang Proposisi: Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,…. Contoh : p : 6 adalah bilangan genap q : 2 + 2 = 4 r : Hari ini adalah hari Kamis

1.2. MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika yang digunakan adalah : dan (and), atau (or), tidak (not).

Proposisi Majemuk : Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian. Proposisi atomik : Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain. Proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.

Tabel Penghubung Proposisi Simbol Arti Dibaca ~ Negasi Tidak / bukan  Konjungsi Dan  Disjungsi Atau  Implikasi (kondisi tunggal) Jika...maka... atau.........hanya jika...  Bi-implikasi (kondisi ganda) ...Jika dan hanya jika ...

Konjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p  q , adalah proposisi p dan q. Contoh 1.3 : p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan sekolah.

Disjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi pq , adalah proposisi p atau q. Contoh 1.4 : p : Hari ini hujan q : Hari ini dingin pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin.

Negasi ( Ingkaran ) Misalkan p dan q adalah proposisi. Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan notasi p atau adalah proposisi tidak p. Contoh : p : Hari ini hujan p : Tidak benar hari ini hujan.

Contoh 1.5 : p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. a) Pemuda itu tinggi dan tampan. p  q b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan. p  ~q c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. ~p  ~q

Contoh 1.5 : p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. d) Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan. ~(~p  ~q ) e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan. p(~ p  q ) f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan. ~(~ p  q )

1.3 TABEL KEBENARAN Konjungsi p  q bernilai benar jika p dan q  keduanya benar, selain itu nilainya salah. p q p  q T F

Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan q  keduanya salah, selain itu nilainya benar. F

p  dua kemungkinan T dan F q  dua kemungkinan T dan F 2n = 22 = 4 2n = 23 = 8 n = 2 T F T F p q p  q

Contoh 1.7 : T F T F p q r p q ~q ~q r ( p  q )  (~q r) T F

5. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya.

Tautologi Contoh 1.8 : Kontradiksi T F T F T F T F T F T F T F p q p  ~(p q) T F p q p q ~(p q) p  ~(p q) T F p q p q ~(p q) p  ~(p q) T F Kontradiksi p q p q p  q ~(p  q) ( p  q )  ~(p  q) T F p q p q p  q ~(p  q) ( p  q )  ~(p  q) T F p q p q p  q ~(p  q) ( p  q )  ~(p  q) T F p q p q p  q ~(p  q) ( p  q )  ~(p  q) T F

EKUIVALENSI DUA PROPOSISI Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen secara logika apabila kedua proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika proposisi p ekivalen secara logika dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb. dapat ditulis sebagai p  q atau dapat menggunakan lambang bi-implikasi seperti p  q.

Ekivalen secara logika Contoh 1.9 : p q p q ~(p q) T F p q p q ~(p q) T F p q p q ~(p q) T F Ekivalen secara logika p q ~p ~q ~p  ~q T F p q ~p ~q ~p  ~q T F p q ~p ~q ~p  ~q T F

1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF OR Cara 1: Atau digunakan secara inklusif (inclusive or) Yaitu dalam bentuk “p atau q atau keduanya” Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java Cara 2: Atau digunakan secara eksklusif (exclusive or) Yaitu dalam bentuk “p atau q tetapi bukan keduanya” Pemenang lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang

1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF p q adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah p q p q T F

Pertemuan ke 2

1.5 Hukum-Hukum Logika Proposisi No Hukum Bentuk ekuivalensi (i) p  F  p (ii) p  T  p 1 Identitas (i) p  F  F (ii) p  T  T 2 Dominasi (i) p  ~p  T (ii) p  ~p  F 3 Negasi (i) p  p  p (ii) p  p  p 4 Idempoten

5 Negasi ganda ~(~p)  p 6 Penyerapan p  ( p  q )  p p  ( p  q )  p 7 Komutatif p  q  q  p p  q  q  p 8 Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r

9 Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 10 De Morgen ~( p  q )  ~p  ~q ~( p  q )  ~p  ~q  

Contoh 1.10 : Tunjukkan bahwa p  ~( p  q ) dan p  ~q keduanya ekivalen secara logika Penyelesaian : p  ~( p  q )  p  (~p  ~q) (De Morgen)  (p  ~p)  (p  ~q) (distributif)  T  (p  ~q) (negasi)  p  ~q (identitas)

Contoh 1.11 : Buktikan hukum penyerapan : p  ( p  q )  p Penyelesaian : p  ( p  q )  (p  F)  (p  q) (identitas)  p  (F  q) (distributif)  p  F (null)  p (identitas)

1.7 Proposisi Bersyarat (Implikasi) Simbol  atau adalah simbol implikasi dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . . hanya jika . . .”. contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q Proposisi p disebut hipotesis (anteseden), sedangkan q disebut konklusi (konsekuen).

Tabel kebenaran implikasi Kasus p q p  q 1 T 2 F 3 4 Implikasi p  q hanya salah jika p benar tetapi q salah p : nilai ujian akhir anda 80 atau lebih. q : anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini. Tabel kebenaran implikasi Kasus p q p  q 1 T 2 F 3 4 Definisi kita mengenai implikasi adalah pada nilai kebenarannya, bukan didasarkan pada penggunaan bahasa “ Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1 =2 “

Contoh 1.15 : Tunjukkan bahwa p  q dan ~p  q keduanya ekivalen secara logika p q ~p p  q ~p  q T F p q ~p p  q ~p  q T F

Contoh 1.17 : Tabel kebenaran p  ~q dan q  ~p p : barang itu bagus. q : barang itu murah. Tabel kebenaran p  ~q dan q  ~p p q ~p ~q p  ~q q  ~p T F p q ~p ~q p  ~q q  ~p T F

Pertemuan ke 3

1.8 VARIAN PROPOSISI BERSYARAT Jika terdapat implikasi p  q Maka variasinya adalah berikut ini konversnya adalah : q  p inversnya adalah :  p   q kontraposisinya adalah :  q   p p q ~p ~q Implikasi p  q Konvers q  p Invers ~p  ~q Kontraposisi ~q  ~p T F

Contoh 1.19 : “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Jika terdapat implikasi p  q konversnya adalah : q  p jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil inversnya adalah :  p   q Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya kontraposisinya adalah :  q   p Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

1.9 BIKONDISIONAL (BI-IMPLIKASI) Definisi : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p ↔ q Simbol  adalah simbol bi-implikasi dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”. p iff q

Proposisi bi-implikasi pq , mempunyai nilai kebenaran benar (T) apabila nilai kebenaran p dan q sama. Selain itu nilai kebenarannya salah. p q p  q T F

Jika terdapat proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q”, maka dapat ditulis dalam bentuk simbol p  q atau dalam bentuk (p  q)  (q  p). p q  (p q)  (q p) p q p ↔ q p → q q → p (p → q)  (q → p) T F p q p ↔ q p → q q → p (p → q)  (q → p) T F p q p ↔ q p → q q → p (p → q)  (q → p) T F

Contoh soal 1 : Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa ( p  q )  q adalah tautologi ! Jawab : p q ( p  q ) ( p  q )  q T F

Contoh soal 2 : Jawab : Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil Implikasi : p  q jika n adalah bilangan prima  3 maka n adalah bilangan ganjil. Konvers : q  p jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima  3.

Invers : p  q jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil Kontraposisi : q  p jika n bukan bilangan ganjil maka n bukan bilangan prima  3.

Inferensi Adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi 1. Modus Ponens Misal hipotesis (anteseden) p pada implikasi p  q bernilai benar. Agar proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai benar, maka q harus bernilai benar.

Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ( p  q ))  q, yang dalam hal ini, p dan p  q adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi. Secara simbolik modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut. Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p  q benar, maka konklusi q benar.

p : 20 habis dibagi 2 q : 20 adalah bilangan genap Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap 20 habis dibagi 2 ──────────────────────────────── Jadi 20 adalah bilangan genap

2. Modus Tollens modus Tollens mirip dengan modus Ponens. Bedanya terletak pada hipotesa kedua dan kesimpulan. Hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan negasi dari masing-masing proposisi pada hipotesa pertama. Dalam bentuk simbol modus Tollens dapat ditulis sebagai berikut :

p : n bilangan ganjil q : n2 bernilai ganjil Jika , n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil n2 bernilai genap ─────────────────────────── Jadi n2 bukan bilangan ganjil adalah benar hipotesis kesimpulan

3. Silogisme Hipotesis Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan q  r adalah benar, maka implikasi p  r bernilai benar pula.

p : saya belajar dengan giat q : saya lulus ujian r : saya cepat menikah Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah Jadi Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah adalah benar hipotesis

4. Silogisme Disjungtif : peristiwa memilih diantara dua pilihan. Jika kita harus memilih diantara p atau q dan misalnya kita tidak memilih p tentulah pilihan kita adalah q.

5. Simplifikasi

6. Penjumlahan / Penambahan Disjungtif Contoh Ali menguasai bahasa Pascal. Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic 7. Konjungsi / Penyederhanaan Konjungtif Contoh Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa Basic Ali menguasai bahasa Pascal

Argumen p1 p2 . pn Adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai ___ q Adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai Yang dalam hal ini, p1, p2, …pn disebut hipotesis (atau premis), dan q disebut konklusi. Definisi : Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).

Contoh 1.31 : Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.  Adalah sahih / valid p : Air laut surut setelah gempa di laut. q : Karena itu tsunami datang.

Contoh 1.32 : Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami datang Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.  Adalah tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu. p  q q ───── p

Jadi : Hipotesa atau premis dan konklusi / kesimpulan disebut argumen. Jika dari suatu argumen semua hipotesanya benar dan kesimpulannya juga benar maka dikatakan argumen tersebut valid. Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan kesimpulan nya salah, maka argumen tersebut tidak valid.

Tuntunan untuk menentukan apakah suatu argumen dikatakan valid atau invalid. Tentukan hipotesa dan konklusi / kesimpulan kalimat Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan. Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran hipotesa bernilai T (benar). Jika semua kesimpulan pada baris kritis benar, maka argumen bernilai valid, jika ada kesimpulan pada baris kritis salah maka argumen invalid.

Dilema Dilema mempunyai bentuk campuran antara silogisme disjungtif dan silogisme hipotesis. Contoh : Menurut ramalan, tahun depan negara kita akan mengalami kemarau panjang atau banjir. Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal. Jika banjir hasil pertanian gagal. Tahun depan hasil pertanian gagal.

Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi. Contoh : (b) Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua buah titik tersebut. Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Contoh : Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.

Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary Corollary adalah teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan. Contoh : Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam pembuktian teorema lain. Contoh : Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n – 1 bilangan positif atau n – 1 = 0