STATISTIK II Pertemuan 3: Probabilitas dan Distribusi Probabilitas Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Materi Pengantar Probabilitas Prinsip menghitung Distribusi probabilitas

Pengantar Probabilitas [1] Anda ingin belajar bahasa inggris. Saat ini tersedia banyak lembaga kursus di Malang seperti LIA, Primagama, EF, dsb. Lembaga mana yang akan anda pilih?

Pengantar Probabilitas [2] Probabilitas (p)  kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di masa yang akan datang (0≤p≤1). Beberapa istilah penting Percobaan – aktivitas yang melahirkan peristiwa Hasil (ruang sampel) – semua kemungkinan peristiwa yang mungkin dari suatu percobaan Peristiwa – hasil yang terjadi dari satu percobaan

Pengantar Probabilitas [3] Menghitung probabilitas (A) suatu peristiwa Pendekatan klasik Pendekatan relatif Pendekatan subjektif  berdasarkan penilaian pribadi atau opini ahli

Pengantar Probabilitas [4] Contoh: Percobaan/Kegiatan : Jual beli saham di BES Hasil : ____________ Probabilitas peristiwa Jual saham = Beli saham = Jika ada 3,000,000 transaksi di mana 2,600,000 adalah transaksi jual dan 400,000 transaksi beli, maka berapa probabilitas jual dan beli?

Prinsip Menghitung Permutasi Banyaknya cara untuk mengatur k objek dari n objek secara berurutan contoh: Ada 5 buku di mana 3 diantaranya akan diatur di rak. Berapa banyak cara untuk buku tersebut? Jawab: cara

Prinsip Menghitung Kombinasi Banyaknya cara memilih/mengatur k objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan Contoh: ada 5 buku dan 3 diantaranya akan dipilih secara acak untuk disumbangkan. Berapa banyak kombinasi buku yang akan terpilih Jawab: kombinasi

Dari suatu komite yg terdiri atas 6 orang (4 pria, 2 wanita), akan dipilih perwakilan 3 orang untuk mengikuti sebuah seminar. Berapa probabilitas perwakilan tersebut terdiri atas minimal 1 wanita?

Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas adalah kumpulan semua kemungkinan hasil numerik untuk suatu variabel serta probabilitas untuk masing-masing hasil tersebut. Banyaknya mobil terjual Probabilitas 2 0.20 3 0.40 4 0.24 5 0.16

Distribusi Probabilitas Kontinu: Distribusi Normal (N) ‘berbentuk genta/lonceng simetris mean=median=modus f(X) σ X μ Mean = Median = Modus

Fungsi Densitas Probabilitas Normal Where e = 2.71828 π = 3.14159 μ = rata-rata populasi σ = standar deviasi populasi

Distribusi Normal Standar (Z) Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai mean dan standar deviasi) dapat dijadikan distribusi normal standar (Z) Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar deviasi=1

Transformasi Normal Standar (XZ) Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 dan standar deviasi = 1

Contoh: Transformasi Normal Standar Misal, X=pengeluaran untuk pulsa sebulan Jika X berdistribusi normal dengan mean=Rp100ribu dan standar deviasi=Rp50ribu, nilai Z untuk X = Rp200ribu yaitu

Contoh: Transformasi Normal Standar Misal, X=pengeluaran untuk pulsa sebulan Jika X berdistribusi normal dengan mean=Rp100ribu dan standar deviasi=Rp50ribu, nilai Z untuk X = Rp200ribu yaitu Lakukan perhitungan nilai Z untuk X=Rp30ribu dan X=Rp150ribu.

Menentukan Probabilitas Normal Probabilitas dihitung berdasarkan luas area di bawah kurva f(X) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X < b ) (Catatan: P(X=x) untuk berbagai nilai x selalu nol.  P(X=x)=0) a b X

Tabel Normal Standar Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan tabel yang berupa daftar probabilitas kurang dari (kumulatif—P(Z≤z)). 0.9772 Contoh: P(Z < 2.00) = 0.9772 Z 2.00

Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama Tabel Normal Standar Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z Z 0.00 0.01 0.02 … 0.0 0.1 Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama . 2.0 .9772 P(Z < 2.00) = 0.9772 2.0

Prosedur Menentukan Nilai Probabilitas Normal Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika X berdistribusi normal: Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan Transformasi X ke Z Gunakan tabel normal standar

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal X menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mendownload sebuah video dari internet (dalam detik) . Jika X berdistribusi normal dengan rata-rata18.0 detik dan standar deviasi 5 detik. Hitung P(X < 18.6) a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan 18.6 X 18.0

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal b) Transformasi X Z μ = 18 σ = 5 μ = 0 σ = 1 X Z 18 18.6 0.12 P(X < 18.6) P(Z < 0.12)

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal P(X < 18.6) b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal = P(Z < 0.12) .02 Z .00 .01 0.5478 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 Z 0.3 .6179 .6217 .6255 0.00 0.12

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(X > 18.6) X 18.0 18.6 Chap 6-24

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) Tentukan P(X > 18.6)… P(X > 18.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12) = 1.0 - 0.5478 = 0.4522 0.5478 1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522 Z Z 0.12 0.12 Chap 6-25

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(18 < X < 18.6) 18 18.6 X

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(18 < X < 18.6) Hitung nilai Z 18 18.6 X 0.12 Z P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12) Chap 6-27

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) .02 Z .00 .01 = 0.5478 - 0.5000 = 0.0478 0.0 .5000 .5040 .5080 0.0478 0.5000 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255 Z 0.00 0.12 Chap 6-28

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(17.4 < X < 18) X 18.0 17.4

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) Tentukan P(17.4 < X < 18)… P(17.4 < X < 18) = P(-0.12 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 - 0.4522 = 0.0478 0.0478 0.4522 Distribusi normal bersifat simetris, sehingga nilai probabilitasnya sama dengan P(0 < Z < 0.12) X 17.4 18.0 Z -0.12

Distribusi Sampling Distribusi sampling adalah distribusi dari semua kemungkinan hasil statistik suatu sampel yang dipilih dari populasi asal Sebagai contoh, misalkan dipilih sampel 50 mahasiswa dari suatu universitas berdasarkan IPK. Jika diperoleh 50 sampel yang berbeda, maka rata-rata IPK masing2 sampel akan berbeda. Yang menjadi pusat perhatian adalah distribusi rata-rata IPK dari semua kemungkinan sampel yang ada.

Membangun Distribusi Sampling Diasumsikan terdapat populasi… Ukuran populasi N=4 Variabel random, X=usia Nilai dari X: 18, 20, 22, 24 (tahun) D A C B Chap 7-32

Membangun Distribusi Sampling Ringkasan parameter populasi P(x) .3 .2 .1 x 18 20 22 24 A B C D Distribusi Uniform

Membangun Distribusi Sampling Misalkan diambil sampel berukuran 2 atau n=2, sehingga kemungkinan kombinasi sampel yang mungkin yaitu 16 rata-rata sampel 1st Obs 2nd Observation 18 20 22 24 18,18 18,20 18,22 18,24 20,18 20,20 20,22 20,24 22,18 22,20 22,22 22,24 24,18 24,20 24,22 24,24 16 kemungkinan sampel Chap 7-34

Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel Membangun Distribusi Sampling Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel Distribusi Rata2 Sampel 16 rata2 sampel _ P(X) .3 .2 .1 _ 18 19 20 21 22 23 24 X (tidak lagi uniform)

Ringkasan statistik distribusi sampling: Membangun Distribusi Sampling Ringkasan statistik distribusi sampling: Note: bilangan pembagi adalah 16, karena terdapat 16 sampel berbeda yang berukuran 2 Chap 7-36

Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling Distribusi rata2 sampel n = 2 _ P(X) P(X) .3 .3 .2 .2 .1 .1 _ X 18 20 22 24 A B C D 18 19 20 21 22 23 24 X Chap 7-37

Distribusi Sampling Rata-rata: Standar Error Rata-rata Sampel yang berbeda dengan ukuran yg sama akan menghasilkan rata-rata sampel yg berbeda Ukuran keragaman/variabilitas rata2 sampel yang ada disebut Standard Error Rata-rata: Note: standar error rata-rata akan semakin kecil seiring pertambahan ukuran sampel

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika Populasi Normal Jika populasi asal berdistribusi normal dengan mean μ and standar deviasi σ, maka distribusi sampling rata-rata juga berdistribusi normal dengan dan

Nilai Z Distribusi Sampling Rata-rata Nilai Z dari distribusi sampling : Di mana: = rata-rata sampel = rata-rata populasi = standar deviasi populasi n = ukuran sampel

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal Terapkan Teori Limit pusat : Apabila populasi asal tidak normal, Maka rata-rata sampel akan berdistribusi mendekati (approximately normal) selama ukuran sampel cukup besar (as long as the sample size is large enough) dan

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal Distribusi populasi Karakteristik distribusi: Ukuran pemusatan Distribusi sampling (menjadi normal seiring pertambahan n) Variasi Larger sample size Smaller sample size

Berapa nilai ukuran sampel dikatakan besar/cukup besar? Berdasarkan teori limit pusat, suatu sampel dikatakan cukup besar apabila ukuran sampel tersebut lebih dari 30 atau n ≥ 30

Contoh Misalkan harga ayam bakar di warung2 yg ada di Kota Malang berdistribusi normal dengan rata-rata sebesar μ = 8 ribu dan standar deviasi σ = 3 ribu. Dari warung2 tersebut diambil sampel secara acak sebanyak 36 warung atau n = 36 Berapa probabilitas rata-rata harga ayam bakar dari sampel warung yang terpilih antara 7.8 sampai 8.2 ribu?

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Solusi: Bahkan jika populasi tidak berdistribusi normal, teorema limit pusat dapa digunakan (n ≥ 30) … sehingga distribusi sampling rata-rata mendekati normal … dengan rata-rata = 8 …dan standar deviasi

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Populasi Distribusi Sampling Distribusi Normal Standar ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Sampel Standardize ? ? -0.4 0.4 7.8 8.2 Z X

TUGAS KELOMPOK Kerjakan tugas secara kelompok, masing2 kelompok mengumpulkan 1 berkas. Sebuah perusahaan membuat tiga divisi baru dan terdapat 7 manajer yang layak ditunjuk sebagai kepala divisi. Berapa banyak cara penentuan tiga kepala divisi yang baru? (Asumsikan penugasan antar divisi berbeda)

2. Anggota komisaris direktur PT 2. Anggota komisaris direktur PT.ABC terdiri atas 12 orang, dimana 3 diantaranya adalah wanita. Tiga perwakilan dipilih secara random untuk menghadiri seminar yang diadakan Kadin. Hitunglah probabilitas Semua perwakilan adalah pria Paling tidak satu perwakilan adalah wanita

3. Variabel random X berdistribusi normal dengan mean=12 3. Variabel random X berdistribusi normal dengan mean=12.2 dan standar deviasi=2.5. hitung Nilai Z untuk X=14.3 Probabilitas 12.2<X<14.3 Probabilitas X<10

4. Sebuah pabrik printer melaporkan bahwa rata2 banyaknya produk yang cacat adalah 300 produk. Banyaknya halaman yg tercetak berdistribusi normal dengan standar deviasi 25 produk. Hitunglah Berapa probabilitas produk yang rusak kurang dari 250? Berapa probabilitas produk yang rusak lebih dari 356? Berapa probabilitas produk yang rusak antara 215-320?

Hitung masing2 mean sampel untuk setiap sampel berukuran 2. 5. PT Arung memiliki 7 karyawan produksi (anggap sbg populasi). Pendapatan karyawan2 tsb sbg berikut Hitung mean populasi. Hitung masing2 mean sampel untuk setiap sampel berukuran 2. Berapa nilai rata2/mean dari distribusi sampling? Karyawan Pendapatan (Rp juta) A 7 E B F 8 C G 9 D

6. Biaya kontrak sebuah rumah di daerah Lowokwaru secara umum berdistribusi normal dengan mean=15 juta rupiah/th dan standar deviasi=3 juta rupiah/th. Berapa probabilitas mendapatkan rumah dengan biaya kontrak kurang dari 13 juta rupiah/th bila terdapat 9 unit rumah yang siap dikontrakkan? Berapa probabilitas mendapatkan rumah dengan biaya kontrak antara 13-17 juta rupiah/th? (n=9).