STATISTIKA Pertemuan 5: Distribusi Peluang Normal Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Materi Pengantar Probabilitas Prinsip menghitung Distribusi peluang normal

Pengantar Peluang [1] Peluang (p)  kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di masa yang akan datang (0≤p≤1). Beberapa istilah penting Percobaan – aktivitas yang melahirkan peristiwa Hasil (ruang sampel) – semua kemungkinan peristiwa yang mungkin dari suatu percobaan Peristiwa – hasil yang terjadi dari satu percobaan

Pengantar Peluang [2] Menghitung probabilitas suatu peristiwa A Pendekatan klasik Pendekatan relatif Pendekatan subjektif  berdasarkan penilaian pribadi atau opini ahli

Pengantar Peluang [3] Contoh: Percobaan/Kegiatan : jenis kelamin ikan hasil tangkapan Hasil : Betina, jantan Peluang jenis kelamin (peristiwa) yang muncul Betina = Jantan = Jika terdapat 500 ikan yang berhasil ditangkap, di mana 350 berjenis kelamin jantan dan 150 betina, maka berapa peluang masing-masing jenis kelamin?

Prinsip Menghitung Permutasi Banyaknya cara untuk mengatur k objek dari n objek secara berurutan contoh: Ada 5 ikan dgn jenis berbeda di mana 3 diantaranya akan diatur di tempat penyimpanan. Berapa banyak cara untuk mengatur ikan-ikan tersebut? Jawab: cara

Prinsip Menghitung Kombinasi Banyaknya cara memilih/mengatur k objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan Contoh: Ada 5 ekor ikan dengan jenis berbeda dan 3 diantaranya akan dipilih secara acak. Berapa banyak kombinasi jenis ikan yang akan terambil Jawab: kombinasi

Dari suatu komite yg terdiri atas 6 orang (4 pria, 2 wanita), akan dipilih perwakilan 3 orang untuk mengikuti sebuah seminar. Berapa probabilitas perwakilan tersebut terdiri atas minimal 1 wanita?

Definisi Variabel Acak/Random Variabel acak  menyatakan kemungkinan nilai numerik dari suatu peristiwa/percobaan Variabel acak diskrit  variabel acak yang berasal dari proses membilang/menghitung (misal: jumlah ikan yang tertangkap, jumlah nelayan) Variabel acak kontinu  variabel acak yang berasal dari proses pengukuran (misal: panjang dan berat ikan). Chap 5-9 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Definisi Variabel Acak Variabel acak diskrit Variabel acak kontinu Chap 5-10 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Distribusi Probabilitas Kontinu Distribusi peluang variabel acak kontinu adalah kumpulan semua kemungkinan hasil numerik untuk variabel kontinu serta peluang untuk masing-masing hasil tersebut.

Distribusi Probabilitas Kontinu: Distribusi Normal (N) ‘berbentuk genta/lonceng simetris mean=median=modus f(X) σ X μ Mean = Median = Modus

Fungsi Densitas Probabilitas Normal Where e = 2.71828 π = 3.14159 μ = rata-rata populasi σ = standar deviasi populasi

Distribusi Normal Standar (Z) Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai mean dan standar deviasi) dapat dijadikan distribusi normal standar (Z) Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar deviasi=1

Transformasi Normal Standar (XZ) Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 and standar deviasi = 1

Contoh: Transformasi Normal Standar Misal, X=panjang ikan kuniran saat matang gonad yg didaratkan di PPN Brondong Lamongan Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 mmdan standar deviasi=27mm, nilai Z untuk X = 120 mm yaitu

Menentukan Peluang Normal Peluang normal dihitung berdasarkan luas area di bawah kurva normal f(X) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X < b ) (Catatan: P(X=x) untuk berbagai nilai x selalu nol.  P(X=x)=0) a b X

Tabel Normal Standar Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan tabel yang berupa daftar peluang kurang dari (kumulatif—P(Z≤z)). 0.8962 Contoh: P(Z < 1.26) = 0.8962 Z 1.20

Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama Tabel Normal Standar Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z Z 0.00 0.01 .... 0.06 0.0 0.1 Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama . 1.2 0.8962 P(Z < 1.26) = 0.8962 2.0

Prosedur Menentukan Nilai Peluang Normal Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika X berdistribusi normal: Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan Transformasi X ke Z Gunakan tabel normal standar

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Misal, X=panjang kuniran saat matang gonad yg didaratkan di PPN Brondong Lamongan Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 mm dan standar deviasi=27mm, hitung nilai P(X<95) a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan 95 X 86.0

Contoh: Menghitung Peluang Normal b) Transformasi X Z μ = 18 σ = 5 μ = 0 σ = 1 X Z 86 95 0.33 P(X < 95) P(Z < 0.33)

Contoh: Menghitung Peluang Normal P(X < 86) b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal = P(Z < 0.33) .02 .03 Z .00 .01 0.6293 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 Z 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 0.00 0.33

Contoh: Menghitung Peluang Normal Tentukan P(X > 95) X 86 95 Chap 6-24

Contoh: Menghitung Peluang Normal (continued) Tentukan P(X > 95)… P(X > 95) = P(Z > 0.33) = 1.0 - P(Z ≤ 0.33) = 1.0 - 0.6293 = 0.3707 0.6293 1.000 1.0 - 0.6293 = 0.3707 Z Z 0.33 0.33 Chap 6-25

Contoh: Menghitung Pleuang Normal Tentukan P(86 < X < 95) 86 95 X

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(86 < X < 95) Hitung nilai Z 86 95 X 0.12 Z P(86< X < 95) = P(0 < Z < 0.33) Chap 6-27

Contoh: Menghitung Peluang Normal P(86 < X < 95) = P(0 < Z < 0.33) .02 .03 Z .00 .01 = P(Z < 0.33) – P(Z ≤ 0) = 0.6293 - 0.5000 = 0.1293 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 0.1293 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 0.5000 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 Z 0.00 0.12 Chap 6-28

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(77 < X < 86) X 86 77

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) Tentukan P(77 < X < 86)… P(77 < X < 86) = P(-0.33 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.33) = 0.5000 - 0.3707 = 0.1293 0.1293 0.3707 Distribusi normal bersifat simetris, sehingga nilai probabilitasnya sama dengan P(0 < Z < 0.33) X 77 86 Z -0.33

Distribusi Sampling Distribusi sampling adalah distribusi dari semua kemungkinan hasil statistik suatu sampel yang dipilih dari populasi asal Sebagai contoh, misalkan dipilih sampel 50 ikan, lalu panjang ikan tersebut diukur. Jika dilakukan sampel secara brulang-ulang, maka akan diperoleh sampel dengan rata-rata panjang ikan yang berbeda pula. Yang menjadi pusat perhatian adalah distribusi rata-rata panjang ikan dari semua kemungkinan sampel yang ada.

Membangun Distribusi Sampling Diasumsikan terdapat populasi… Ukuran populasi N=4 Variabel random, X=panjang ikan kakap Nilai dari X: 18, 20, 22, 24 (cm) Chap 7-33

Membangun Distribusi Sampling Ringkasan parameter populasi P(x) .3 .2 .1 x 18 20 22 24 A B C D Distribusi Uniform

Membangun Distribusi Sampling Misalkan diambil sampel berukuran 2 atau n=2, sehingga kemungkinan kombinasi sampel yang mungkin yaitu Sampel Data Rata2 p 1 18, 20 (18+20)/2=19 1/6 2 18, 22 20 3 18, 24 21 2/6 4 20, 22 5 20, 24 22 6 22, 24 23 Chap 7-35

Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel Membangun Distribusi Sampling Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel

Ringkasan statistik distribusi sampling: Membangun Distribusi Sampling Ringkasan statistik distribusi sampling: ATAU Chap 7-37

Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling Distribusi rata2 sampel n = 2 P(X) .3 .2 .1 X 18 20 22 24 A B C D Chap 7-38

Distribusi Sampling Rata-rata: Standar Error Rata-rata Sampel yang berbeda dengan ukuran yg sama akan menghasilkan rata-rata sampel yg berbeda Ukuran keragaman/variabilitas rata2 sampel yang ada disebut Standard Error Rata-rata: Note: standar error rata-rata akan semakin kecil seiring pertambahan ukuran sampel

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika Populasi Normal Jika populasi asal berdistribusi normal dengan mean μ and standar deviasi σ, maka distribusi sampling rata-rata juga berdistribusi normal dengan dan

Nilai Z Distribusi Sampling Rata-rata Nilai Z dari distribusi sampling : Di mana: = rata-rata sampel = rata-rata populasi = standar deviasi populasi n = ukuran sampel

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal Terapkan Teori Limit pusat : Apabila populasi asal tidak normal, Maka rata-rata sampel akan berdistribusi mendekati (approximately normal) selama ukuran sampel cukup besar (as long as the sample size is large enough) dan

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal Distribusi populasi Karakteristik distribusi: Ukuran pemusatan Distribusi sampling (menjadi normal seiring pertambahan n) Variasi Larger sample size Smaller sample size

Berapa nilai ukuran sampel dikatakan besar/cukup besar? Berdasarkan teori limit pusat, suatu sampel dikatakan cukup besar apabila ukuran sampel tersebut lebih dari 30 atau n ≥ 30

Contoh Misalkan suatu populasi memiliki mean μ = 8 dan standar deviasi σ = 3. Dari populasi tsb diambil sampel secara acak berukuran n = 36 Berapa probabilitas rata-rata sampel yang terpilih terletak diantara 7.8 dan 8.2?

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Solusi: Bahkan jika populasi tidak berdistribusi normal, teorema limit pusat dapa digunakan (n ≥ 30) … sehingga distribusi sampling rata-rata mendekati normal … dengan rata-rata = 8 …dan standar deviasi

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Populasi Distribusi Sampling Distribusi Normal Standar ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Sampel Standardize ? ? -0.4 0.4 7.8 8.2 Z X

Latihan Lama waktu melaut sekelompok nelayan berdistribusi normal dengan rata-rata 7.5 jam dan standar deviasi 0.5 jam. Jika diambil sampel acak sebanyak 9 nelayan, berapa probabilitas rata-rata lama waktu melaut sampel tsb antara 7.23 – 7.8 jam? probabilitas rata-rata lama waktu sampel tsb lebih dari 7.8 jam?

Distribusi Sampling Proporsi π =proporsi populasi yang memiliki karakteristik teramati Proporsi sampel (p) estimasi dari π: 0 ≤ p ≤ 1 p mendekati distribusi normal jika n besar Chap 7-49

Distribusi Sampling p Mendekati distribusi normal jika: dimana dan P( ps) .3 .2 .1 p 0 . 2 .4 .6 8 1 (dimana π = proporsi populasi)

Nilai Z untuk Proporsi Standarisasi p  Z value dengan rumus:

Contoh: Dist. Sampling Proporsi Jika proporsi sebenarnya ikan yang memiliki tag adalah π = 0.4, berapa peluang bahwa dari sampel berukuran 200 ikan, peluang proporsi sampel ikan memiliki tag antara 0.40 dan 0.45? i.e.: jika π = 0.4 dan n = 200, berapa P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ?`

Contoh jika π = 0.4 dan n = 200, berapa P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ? Tentukan : Konversi ke Normal standar

Distribusi normal standar Contoh jika π = 0.4 dan n = 200, berapa P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ? Dari tabel normal: P(0 ≤ Z ≤ 1.43) = 0.9236 – 0.5000 = 0.4236 Distribusi normal standar Distribusi sampling 0.4236 Standarisasi 0.40 0.45 1.43 p Z

Latihan Misalkan diketahui persentase ikan kuniran berjenis kelamin betina adalah 50%. Jika diambil sampel sebanyak 100 ekor ikan kuniran dari suatu spot penangkapan, hitung peluang bahwa persentase ikan betina di spot tsb lebih dari 50%? peluang bahwa persentase ikan betina di spot tsb antara 35-40%?

Faktor Koreksi Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil estimasi parameter jika diketahui ukuran populasi (N). Faktor koreksi diterapkan jika rasio n/N > 0.05 Standar deviasi rata-rata Standar deviasi proporsi

Contoh [1] Hasil tangkapan sekali melaut dari total 50 kapal kecil berdistribusi normal dengan rata-rata 15 kg dan standar deviasi 5 kg. Jika diambil sampel acak sebanyak 9 kapal kecil, berapa probabilitas rata-rata hasil tangkapan sampel tsb antara 12 –16 kg? peluang rata-rata hasil tangkapan sampel tsb lebih dari 23 kg?

Distribusi Sampling Selisih Rata-rata Nilai Z dari distribusi sampling :

Latihan Rata-rata berat ikan kakap di site Brondong adalah 3.2 kg dengan standar deviasi 1.50 kg, sedangkan di site Mayangan adalah 3 kg dengan standar deviasi 0.50 kg. Jika diambil sampel sebanyak 25 ekor ikan masing-masing dari site Brondong dan Mayangan, berapa probabilitas berat ikan kakap di Brondong 0.30 kg lebih besar daripada Mayangan?

KUIS 1 Berikan masing2 satu contoh data berskala nominal dan rasio. Jelaskan. [20] Diketahui data panjang (mm) karapas Kepiting di Pabean Ilir sbb: Bila akan dibuat tabel distribusi frekuensi, hitunglah Banyaknya kelas yang direkomendasikan [20] hitunglah median Interpretasikan [30] 3. Salinitas di perairan Pelauw berdistribusi normal dengan rata2 25 PSU dan standar deviasi 3 PSU. Hitung peluang salinitas di suatu titik sampling lebih dari 28 PSU. [30] 78 93 100 77 86 90 92 85 73 91 102