MODUL Iii TRANSFORMASI LAPLACE

PENGERTIAN INTEGRAL TAK WAJAR Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk t ≥ 0. Integral tak wajar yang didefinisikan oleh, dikatakan konvergen, bila limit pada ruas kanan ada. Jika limitnya tidak ada nilainya, maka integral tak wajar dikatakan divergen. Contoh : Fungsi Gamma yang dinyatakan dengan Γ(n) didefinisikan oleh,

PENGERTIAN TRANSFORMASI LAPLACE Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari dinyatakan dengan F(s) = L{f} didefinisikan oleh jika limitnya ada

Contoh :

Pergeseran Pada Sumbu s Andaikan F(s) adalah transformasi Laplace dari fungsi f(t). Menurut definisi transformasi Laplace dari eatf(t) didefinisikan oleh, Jadi, jika diberikan bahwa L{f(t)} = F(s), maka L{eatf(t)} = F(s - a).

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

Contoh

Contoh

INVERS TRANSFORMASI LAPLACE Andaikan bahwa : F(s) = L{f} menyatakan trasformasi Laplace dari f(t). Fungsi f yakni L–1{F(s)}, disebut invers transformasi Laplace F(s) sehingga, f(t) = L–1{F(s)} Jika diketahui : L–1{F(s)} = f(t), Maka L–1{F(s - a)} = eat f(t)

Contoh :

KASUS 1 : Faktor Q(s) Linier Tidak Berulang Misalkan, Bilamana, Q(s)=(s –a1)(s – a2) … (s – an) Tulislah F(s) menjadi Contoh

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : P(s) = s2 – 4s + 13 Q(s) = s3 – 2s2 – s +2 =(s + 1)(s – 1)(s – 2) Tulis F(s) menjadi :

KASUS 2 : Faktor Q(s) Linier Berulang Misalkan, Bilamana, Q(s)=(s –a)m, m < n Tulislah F(s) menjadi

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : P(s) = 4s + 3 Q(s) = (s – 1)(s – 2)2 Tulis F(s) menjadi :

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulis F(s) menjadi :

KASUS 3 : Faktor Q(s) Kompleks Konjugate Misalkan, Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate tidak berulang, Q(s)=(s – a)2 + b2 Tulislah F(s) menjadi

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulis F(s) menjadi :

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulis F(s) menjadi :

Soal-soal Latihan,Tentukanlah invers Laplace, f(t), jika :

LAPLACE TURUNAN FUNGSI Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk semua t ≥ 0, dan mempunyai turunan- turunan f′(t), f′′(t), f′′′ (t), …, fn–1(t) yang kontinu untuk semua t ≥ 0, dan jika f(n)(t) kontinu sepotong-sepotong untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari turunan fungsi fn(t) diberikan oleh :

Contoh Contoh Hitung, F(s) dari : Hitung, F(s) dari : f(t) = cos2bt Jawab : Mengingat, f(t) = –2 cosbt sinbt = – sin2bt f(0) = cos 0 = 1 Maka. Contoh Hitung, F(s) dari : f(t) = t cos bt. f(0) = 0 Jawab : Mengingat, f(t) = cos bt – b t sinbt, dan f(0) = 1 f(t) = –2b sin bt – b2t cos bt Maka.

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulislah F(s) menjadi,

Contoh Hitung, F(s) dari : Jawab : Tulislah F(s) menjadi,

KASUS 4 : Faktor Q(s) Kompleks Berulang Misalkan, Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate berulang, Q(s)=[(s – a)2 + b2]2 Tulislah F(s) menjadi

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulislah F(s) menjadi,

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Tulislah F(s) menjadi,

Hitung invers Laplace dari : SOAL-SOAL LATIHAN Hitung transformasi Laplace dari : Hitung invers Laplace dari :

LAPLACE INTEGRAL FUNGSI Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab : Mengingat, Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk t ≥ 0 dan L{f(t)} = F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t). Transformasi Laplace integral fungsi f(t) kontinu diberikan oleh Rumus diatas berguna untuk menghitung invers Laplace :

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab :

Contoh Hitung, f(t) dari : Jawab :

DIFERENSIAL TRANSFORMASI LAPLACE Contoh Hitung, L[t cos bt ] dan L[t sin bt] Jawab :

Contoh Contoh Hitung, L[t2cos bt ] dan L[t2sin bt] Hitung, L[t4eat ] Jawab : Contoh Hitung, L[t4eat ] Jawab :

INTEGRASI TRANSFORMASI LAPLACE Contoh Hitung, F(s) dari Jawab :

Contoh Hitung, F(s) dari Jawab :

Contoh Hitung, f(t) dari Jawab :

Contoh Hitung, f(t) dari Jawab :

SOAL-SOAL LATIHAN Hitunglah F(s), jika diberikan f(t) berikut ini Hitunglah f(t), jika diberikan F(s) berikut ini

PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Kasus PD Orde 3

Contoh, Kasus 1 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 1 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 2 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 3 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 3 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 4 Tentukanlah solusi PD Jawab :

Contoh, Kasus 4 Tentukanlah solusi PD Jawab : Persamaan pembantu Y(s)

Contoh, Kasus 4 Tentukanlah solusi PD Jawab : Persamaan pembantu Y(s)

(7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at, y(0)=a, y(0)=a+b SOAL-SOAL LATIHAN Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini , (7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at, y(0)=a, y(0)=a+b (8) y+(a+b+1)y+b(a+1)y = be–atcos 2t, y(0)=0, y(0)=0 (9). y - (2a–1)y + a(a-1)y = teat y(0)=b, y’(0)=b(a – 1) (10). y + 2ay+(a2+b2)y = ab2te–at y(0)=0, dan y(0)=a

FUNGSI TANGGA SATUAN Fungsi tangga satuan yang disebut juga dengan fungsi Heaviside satuan didefinisikan oleh : Secara umum fungsi tangga yang bernilai 0 bila t < a dan f(t – a) bila t > a, diberikan oleh : Gambar fungsi tangga satuan Dalam bentuk fungsi tangga satuan, u(t – a), fungsi g(t) dinyatakan oleh f(t – a)u(t – a), dengan demikian fungsi diatas ditulis menjadi

Contoh Nyatakan fungsi berikut dalam tangga satuan Jawab : Dengan memperhatiikan sketsa pada gambar,

LAPLACE FUNGSI TANGGA Contoh Tentukanlah transformasi Laplace dari f(t) = u(t) – u(t-1) Jawab : Karena, f(t) = u(t) – u(t-1), maka : Jika F(s) = L{f(t)}, f(t) = L–1{F(s)} maka transformasi Laplace dari fungsi tangga adalah,

Contoh Contoh Tentukanlah transformasi Laplace dari f(t) = tu(t)–u(t -1) - (t-1)u(t-1) Jawab : Karena, maka : Contoh Tentukanlah transformasi Laplace dari f(t)=(t–1)u(t–1)–u(t–2)–(t–2)u(t – 2) Jawab : Karena, maka :

Contoh Contoh Tentukanlah y(t) dari : Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,

Contoh Solusi PD Carilah solusi PD : y′′ – 4y′ + 4y = r(t) y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) = u(t) – u(t – 1) Jawab : Persamaan pembantu Y(s), Solusi PD Mengingat,

Contoh Solusi PD Carilah solusi PD : y′′ + 4y = r(t) y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) =sin 2t u(t) – sin2(t–π)u(t–π) Jawab : Persamaan Y(s), Solusi PD Mengingat,

SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikanlah persamaan diferensial berikut ini Tentukanlah f(t), jika : Selesaikanlah persamaan diferensial berikut ini (1). y + b2y = cos b(t - ) u(t - ), dengan syarat y(0) = a, dan y’(0) = b (2).y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 18, y′(0) = 0, dan r(t) = sin3(t - π)u(t – π) (3). y′′ – 5y′ + 6y = r(t), dengan syarat y(0) = 8, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 2) (4). y′′ + 4y = r(t), syarat y(0) = 8, y′ (0) = 0, dan r(t) = cos 2t – cos 2(t – 2π) u(t – 2π) (5). y′′ – 3y′ + 2y = r(t), dengan syarat y(0) = 10, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 1) (6). y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 4, y′(0) = 6, dan r(t) = cos 3t – cos 3(t – 3π) u(t – 3π)

TEOREMA KONVOLUSI Contoh Carilah h(t) jika Jawab : Mengingat, Andaikan f(t) dan g(t) terdefinisi untuk t ≥ a, memenuhi konsistensi transformasi transformasi Laplace sedemikian sehingga L{f(t)} = F(s), dan L{g(t)} = G(s), transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh, h(t) = (fοg)(t) diberikan oleh : H(s) = L(fοg)(t) = L(f) L(g) = F(s)G(s) Akibatnya bila, h(t) = L–1[H(s)] dengan H(s)= F(s)G(s), maka fungsi h(t) diberikan oleh,

Contoh Carilah solusi PD : y′′ + b2y = bt y(0)=0, dan y′(0)=0 Jawab : Persamaan Y(s),

Contoh Carilah solusi PD : y′′ + 4y = 8 cos 2t y(0)=3, dan y′(0)=6 Jawab : Persamaan Y(s),

PERSAMAAN INTEGRAL Persamaan integral biasanya diberikan oleh persamaaan, L{y(t)} =L{f(t)} + L{k(t)*y(t)} Y(s) = F(s) + K(s)Y(s) (1 – K(s))Y(s) = F(s) Jadi persamaan pembantunya adalah, Fungsi, k(u,t)=k(t – u) disebut Kernel. Dalam bentuk konvolusi ditulis y(t) = f(t) + k(t)*y(t) Dengan transformasi Laplace solusi persaman integral diberikan oleh,

Contoh Carilah solusi persaman integral, Jawab : Persamaan pembantu Y(s),

SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikanlah persamaan integral berikut ini Dengan Teorema Konvolusi, hitunglah f(t) Selesaikanlah persamaan integral berikut ini