Pertemuan [3-5] Handouts Mata Kuliah: Aljabar Linier I [Matriks] 1

Matriks, Operasi Matriks, dan Sifat-sifatnya Definisi 1 Matriks adalah susunan bilangan real yg berbentuk segi empat siku-siku. Entri matriks adalah bilangan yg menjadi unsur penyusun matriks. Mmxn menyatakan himpunan semua matriks atas bilangan real yg terdiri dari m baris dan n kolom. Ditentukan matriks A yg terdiri dari m baris dan n kolom. aij menyatakan entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Ai. menyatakan baris ke-i dari matriks A = [ai1 … ain]. A.j menyatakan kolom ke-j dari matriks A, yaitu . Definisi 2 Ditentukan matriks A yg berukuran m baris dan n kolom dan bilangan real r. rA menyatakan perkalian antara konstanta r dg matriks A yg didefinisikan sbb: rA := C dg cij = raij; 1<i<m; 1<j<n. Berdasarkan definisi 2 langsung dapat disimpulkan –A = -1A. 2

Definisi 3 Ditentukan matriks A, B yg berukuran m baris dan n kolom. A+B menyatakan penjumlahan dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: A+B := C dg cij = aij+bij; 1<i<m; 1<j<n. Ditentukan matriks A berukuran m baris dan p kolom dan matriks B berukuran p baris dan n kolom. AB menyatakan perkalian dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: AB := C dg cij = ai1b1j+…+ aipbpj = ; 1<k<p. Sifat 1 Ditentukan matriks A, B, dan C shg operasi matriks berikut ini terjadi dan bil real r, r1, dan r2. A+B = B+A. A+(B+C) = (A+B)+C. A(BC) = (AB)C. A(B+C) = AB+BC. (B+C)A= BA+CA. A(B-C) = AB-BC. (B-C)A= BA-CA. ----------> komutatif (+) r(A+B) = rB+rC. r(A-B)= rA-rB. (r1+r2)A = r1A+r2A. (r1-r2)A = r1A-r2A. (r1r2)A = r1(r2A). rAB = (rA)B = A(rB}. ----------> assosiatif (+) ----------> assosiatif (x) ----------> distributif kiri (x) ----------> distributif kanan (x) 3

Bukti Sifat 1.2) Bukti Sifat 1.8) Bukti Sifat 1.13) 4 Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik A+(B+C) dan (A+B)+C adalah uij dan vij. Akan ditunjukkan uij = vij. Sesuai dg definisi, uij = aij+(bij+cij) dan vij = (aij+bij)+cij. uij = aij+(bij+cij) = (aij+bij)+cij = vij. Bukti Sifat 1.8) Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik r(A+B) dan rA+rB adalah uij dan vij. Akan ditunjukkan uij = vij. Sesuai dg definisi, uij = r(aij+bij) dan vij = raij+rbij. uij = r(aij+bij) = raij+rbij = vij. Bukti Sifat 1.13) Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik r(AB), (rA)B, dan A(rB) adalah uij, vij dan wij. Akan ditunjukkan uij = vij = wij. Sesuai dg definisi, uij = r(ai1b1j+…+ aipbpj); vij = (rai1)b1j+…+ (raip)bpj; wij = ai1(rb1j)+…+ aip(rbpj). uij = r(ai1b1j+…+ aipbpj) = rai1b1j+…+ raipbpj = (rai1)b1j+…+ (raip)bpj = ai1(rbi1)+…+ aip(rbip)  uij = vij = wij. 4

Definisi 3 Ditentukan matriks A, B yg berukuran m baris dan n kolom. A+B menyatakan penjumlahan dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: A+B := C dg cij = aij+bij; 1<i<m; 1<j<n. Ditentukan matriks A berukuran m baris dan p kolom dan matriks B berukuran p baris dan n kolom. AB menyatakan perkalian dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: AB := C dg cij = ai1b1j+…+ aipbpj = ; 1<k<p. Sifat 2 Untuk sebarang matriks A berlaku persamaan berikut ini. A+0 = 0+A = A. A-A = 0. 0-A = -A. A0 = 0A = 0. 5

Definisi 4 Sifat 3 Definisi 5 6 Matriks satuan adalah matriks bujur sangkar (berukuran nxn) yg diagonal utamanya bernilai 1 dan bernilai 0 utk yg lain, yaitu Sifat 3 Bila Im:= matriks identitas berukuran mxm dan In:= matriks identitas berukuran nxn maka utk sbr matriks A yg berukuran mxn berlaku ImA = AIn = A. Definisi 5 Matriks bujur sangkar A disebut matriks yg dapat dibalik (invertible), bila terdapat matriks bujur sangkar B shg AB = BA = I. Selanjutnya, B dapat disimbolkan dengan A-1. 6

Sifat 4 Bukti Sifat 5 Bukti 7 Jika matriks B dan C adalah matriks balikan dari A maka B=C. Bukti Karena B dan C adalah matriks balikan dari A maka AB = BA = I dan AC = CA = I. Akan ditunjukkan B = C. B = BI = B(AC) = (BA)C {assosiatif} = IC = C. Sifat 5 Jika matriks A dan B adalah matriks yg dapat dibalik maka AB juga adalah matrik yang dapat dibalik. Bukti Karena A dan B dapat dibalik maka terdapat A-1 dan B-1 dengan AA-1 = A-1A = I dan BB-1 = B-1B = I. Akan ditunjukkan AB(B-1A-1 ) = (B-1A-1)AB= I. AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = A(I)A-1 = AA-1 = I --------> (1) (B-1A-1)AB = B-1(A-1A)B = B-1(I)B = B-1B = I --------> (2) Berdasarkan (1) dan (2), disimpulkan bahwa AB(B-1A-1 ) = (B-1A-1)AB= I. Ditetapkan (AB)-1 := B-1A-1. Jadi, AB dapat dibalik. Dengan kata lain, AB mempunyai balikan, yaitu B-1A-1. 7

Sifat 6 Jika matriks A adalah matriks yg dapat dibalik maka A-1 juga merupakan matriks yg dapat dibalik dan (A-1)-1 = A. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, …. Untuk setiap skalar r  0 berlaku rA dapat dibalik dan (rA)-1 = r-1A-1. Bukti 6.1) Karena A matrik yg dapat dibalik maka AA-1 = A-1A = I shg A-1A = AA-1 = I. Ditetapkan (A-1 )-1 := A. Jadi, A-1 adalah matrik yg dapat dibalik. Bukti 6.3) Karena A matrik yg dapat dibalik maka AA-1 = A-1A = I shg A-1A = AA-1 = I. Karena r  0 maka r-1  0. Akan ditunjukkan rA(r-1A-1) = (r-1A-1)rA = I. rA(r-1A-1) = (rr-1)(AA-1) = 1(I) = I --------> (1) (r-1A-1)rA = (A-1A)(r1r ) = (I)1 = I --------> (2) Berdasarkan (1) dan (2), disimpulkan bahwa rA(r-1A-1) = (r-1A-1)rA = I. Jadi, rA adalah matrik yg dapat dibalik dg (rA)-1 := r-1A-1. 8

Penerapan Konsep Matriks pada SPL Sifat 7 Ditentukan SPL: Ax = b. SPL tsb hanya memiliki salah satu kondisi berikut ini. SPL tidak mpy penyelesaian. SPL hanya mempunyai penyelesaian tunggal. SPL mempunyai tak berhingga penyelesaian. Bukti Utk membuktikan sifat 7 cukup ditunjukkan bhw jika SPL mpy dua penyelesaian yg berbeda maka SPL mpy tak berhingga penyelesaian. Misalkan X1 dan X2 adalah penyelesaian SPL yg berbeda. Berdasarkan definisi berlaku AX1=b dan Ax2=b shg Ax1 = b = Ax2. Diperolah 0 = Ax1-Ax2 = A(x1-x2) = Ax0 dg x0 = x1-x2  0. Adib ( k  R)  AXk = b dg Xk = X1+kX0, yaitu Axk = A(X1+kX0) = AX1+kAX0 = AX1+kA(x1-x2) = b+k.0 = b + 0 = b. Karena anggota R banyaknya tak berhingga maka pilihan Xk pun tak berhingga banyak. Jadi, SPL mpy penyelesaian tak berhingga banyak. 9

Matriks Elementer dan OBE Definisi 6 Matrik bujur sangkar E dinamakan matriks elementer jika matriks E tsb diperoleh dari matriks identitas I yg hanya dikenai satu jenis OBE. Contoh 2 a. Pada matriks identitas I4 dikenai OBE1, yaitu baris ke-3 dikalikan dg r1, diperoleh E1 b. Pada matriks identitas I4 dikenai OBE2, yaitu baris ke-1 ditukar dg baris ke-4, diperoleh E2 10

E3 Sifat 8 Ilustrasi OBE1 Im E1 = OBE1(Im) Amxn E1A = OBE1(A) OBE1 c. Pada I4 dikenai OBE3, yaitu pada baris ke-2 ditambah r2 kali baris ke-1, diperoleh E3 Sifat 8 Jika E adalah matriks elementer yg dihasilkan dg mengenakan OBE pada Im dan A adalah matriks berukuran mxn maka EA = A yg dikenai OBE secara langsung. Ilustrasi OBE1 Im E1 = OBE1(Im) Amxn E1A = OBE1(A) OBE1 Amxn 11

Sifat 9 Bukti Sifat 10 OBE pada I yg menghasilkan E OBE pada E yg menghasilkan I Kalikan baris ke-i dg r  0 Kalikan baris ke-i dg 1/r  0 Pertukarkan baris ke-i dg baris ke-j Tambahkan r kali baris ke-i ke baris ke-j Tambahkan -r kali baris ke-i ke baris ke-j Sifat 9 Setiap matriks elementer mpy balikan dan balikannya adalah matriks elementer juga. Bukti Misalkan, E adalah matriks elementer. Artinya, E berasal dari OBE yg dikenakan pada I. Misalkan, E0 adalah balikan dari OBE yg dikenakan pada I juga. Berdasarkan sifat 8 dan berdasarkan kenyataan bahwa OBE balikan akan saling meniadakan maka diperoleh: EE0 = I dan E0E = I. Jadi, matriks elementer E0 adalah matriks balikan dari E. Sifat 10 Jika A adalah matriks nxn maka ketiga pernyataan berikut ini ekuivalen. A dapat dibalik. SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial, yaitu x = 0. A ekuivalen baris terhadap In. Catatan: Matriks A dikatakan ekuivalen baris thd matriks B, bila B = Ep…E1A dg Ek matriks elementer; k = 1, …, p; p  N. 12

Bukti Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi: 1)  2)  3)  1). 1)  2) Andaikan, X0 adl solusi dari SPLH: AX = 0. Artinya, AX0 = 0. Akan ditunjukkan bhw X0 = 0. Krn A dapat dibalik maka A-1 ada shg A-1(AX0) = 0  (A-1A)X0 = 0  InX0 = 0  X0 = 0. 2)  3) Dibentuk SPLH dari persamaan matriks Ax = 0, yaitu dan anggaplah SPLH tsb hanya mpy penyelesaian trivial maka dg proses eliminasi Gauss-Jordan, matriks yg diperluas dari SPLH tsb dapat direduksi menjadi Bila kolom terakhir (kolom 0) diabaikan maka dapat dikatakan bhw matriks A dapat direduksi menjadi matriks identitas In melalui serangkaian OBE yg berhingga. Dengan kata lain, A ekuivalen baris terhadap In. 13

3)  1) Andaikan, A adalah matriks yg kuivalen baris terhadap In maka terdapat serangkaian matriks elementer Ek sehingga Ep …. E1A = In dg k = 1, …, p. Menurut sifat 9, (k)  Ek dapat dibalik (Ek-1 ada) shg A = E1-1E2-1…. Ep-1In dg Ek-1 := balikan dari Ek. Karena A dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks yg dapat dibalik secara berhingga maka A juga dapat dibalik (sifat 5). Catatan: Karena A = E1-1E2-1…. Ep-1In = E1-1E2-1…. Ep-1 maka A-1 = EpEp-1…. E1 (sifat 5). Sifat 11 Jika A adalah matriks nxn yg dapat dibalik maka utk setiap matriks b yg berukuran nx1, SPL: Ax=b hanya mempunyai satu solusi, yaitu x = A-1b. Bukti Misalkan, x0 adalah sebarang solusi SPL. Akan dibuktikan bahwa x0 = A-1b. Karena x0 adalah solusi SPL maka Ax0 = b. Karena A dapat dibalik maka A mpy matriks balikan (A-1 nyata ada). Ax0 = b  A-1(Ax0) = A-1b  (A-1A)x0 = A-1b  (In)x0 = A-1b  x0 = A-1b. 14

Sifat 12 Jika A adalah matriks nxn maka berlaku Jika B sebuah matriks kuadrat yg memenuhi BA = I maka B = A-1. Jika B sebuah matriks kuadrat yg memenuhi AB = I maka B = A-1. Bukti 12.1 (bukti utk 12.2, silahkan buktikan sendiri!) Akan dibuktikan terlebih dulu bahwa A mpy balikan dg menunjukkan SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai solusi trivial. Perhatikan SPL: Ax = 0. Misalkan, x0 adalah sebarang solusi SPLH: Ax = 0. Karena BA = I maka BAx0 = B0  Ix0 = 0  x0 = 0. Karena SPLH hanya mempunyai solusi trivial {0} maka A dapat dibalik {sifat 10}. Krn A dapat dibalik dan BA=I maka (BA)A-1=A-1B(AA-1)= A-1I  B(I)= A-1B = A-1. Sifat 13 Jika A adalah matriks nxn maka keempat pernyataan berikut ini ekuivalen. A dapat dibalik. SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial, yaitu x = 0. A ekuivalen baris terhadap In. APL: Ax = b adalah SPL yg konsisten untuk setiap matriks b yg berukuran nx1. Bukti . Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi 1)  2)  3)  1)  4). Karena rangkaian implikasi 1)  2)  3)  1) sudah dibuktikan oleh sifat 10 maka tinggal dibuktikan biimplikasi 1)  4) 15

Bukti . Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi 1)  2)  3)  1)  4). Karena rangkaian implikasi 1)  2)  3)  1) sudah dibuktikan oleh sifat 10 maka tinggal dibuktikan biimplikasi 1)  4) 1)  4) Berdasarkan sifat 11, x0 = A-1b adalah solusi SPL: Ax=b. Jadi, SPL tsb konsisten. 4)  1) Karena SPL konsisten b berukuran nx1 maka terdapat x1, x2, …, xn yg masing-masing berukuran nx1 dg Ax1 = Ax2 = Ax… = Axn = Jika dibentuk matriks C = [x1 | x2 | … |xn] maka AC = [Ax1 | Ax2 | … |Axn] = In. 16

17

18

19

20

Tugas 2 Buktikan: (B+C)A =BA+CA! Bukti. Misalkan matriks A, B, dan C berukuran nxp, mxn, dan mxn . Misalkan U:=(B+C)A dan V := (BA+CA). Ukuran matriks U dan V adalah mxp. Entri baris ke-i dan kolom ke-j dari U dan V adalah uij dan vij. Akan dibuktikan uij = vij. Baris ke-i matriks B+C = (B+C)i. = [(b11+c11) … (b1n+c1n)] dan kolom ke-j dari matriks A adalah 21

--- > (1) --- >(2) Berdasarkan 1 dan 2 terlihat bahwa uij = vij. 21