Teori Bayes dan Distribusi binomial Designed by : Zulfahmi, SE, M. Si Teori Bayes dan Distribusi binomial Topik Pembahasan: Teorema Bayes (Bayes Theorema) Harapan matematis (mathematical expectation) Distribusi probabilitas binomial Distribusi probabilitas normal Hubungan antara distribusi probabilitas normal dn tabel normal

Teorema Bayes (Bayes Theorema) Teorema Bayes (kaidah Bayes) digunakan terutama dalam probabilitas bersyarat. Teori ini dikembangkan oleh Thomas Bayes tahun 1763 Rumus umum Teoriema Bayes Jika ada dua kejadian misalkan A1 dan A2 yang tidak terikat satu sama lain, maka teorema Bayes dirumuskan sebagai berikut:

Teorema Bayes (Bayes Theorema) Contoh: 5 persen penduduk negara berkembang “X” menderita pengakit aneh yang dimisalkan A1, sedangkan A2 adalah kejadian seseorang tidak menderita penyakit aneh tersebut. Misalkan B adalah diagnosis yang menunjukkan adanya penyakit (positif). Probabilitas bersyarat diagnosis mengindikasikan keberadaan penyakit adalah 0,90 dan probabilitas seorang tidak menderita penyakit adalah 0,15. Berapa probabilitas seorang menderita penyakit dan diagnosisnya positif jika diambil salah seorang penduduk secara acak Dari soal diketahui: P(A1) = 0,05 P(A2) = 1- P(A1) = 1- 0,05 = 0,95 P(B/A1) =0,90 P(B/A2) = 0,15 Jadi probabilitas salah satu penduduk negara tersebut yang menderita penyakit dan diagnosisnya positif jika seorang penduduk diambil secara acak adalah

Teorema Bayes (Bayes Theorema) Peti A1 berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah, sedang peti A2 berisi 2 bola hijau, 1 bola merah, dan 2 bola kuning. Apabila peti dipilih secara random dan dipilih bola secara random juga, berapakah probabilitas terpilihnya bola hijau Jawab: P(A1) = P(A2) = ½ → terpilihnya peti A1 dan peti A2 P (A/A1) = 3/8 → terpilihnya bola hijau dari peti A1 P(A/A2) = 2/5 → terpilihnya bola hijau dari peti A2

Harapan Matematis (Mathematical Expectation) Apabila P1, P2, ..Pn merupakan probabilitas terjadi peristiwa A1, A2 …An yang merupakan peristiwa yang independen dan lengkap terbatas maka jumlah seluruh harapan matematis adalah: A = A1P1 + A2P2 + …. AnPn Jika seseorang memenangkan undian sebesar X1 bila terjadi A1 dan memenangkan undian X2 jika terjadi A2, maka harapan untuk memenangkan undian A(X) adalah: A(X) = X1P1 + X2P2

Harapan Matematis (Mathematical Expectation) Dari tabel mortalitas (mortality table) diketahui bahwa probabilitas seseorang yang berusia 35 tahun dapat hidup selama setahun = 0,992, sehingga probabilita mortalitanya (meninggal) = 1 – 0,992 = 0,008. Apabila perusahaan asuransi akan menjual polis asuransi senilai Rp1.000.000,00 pada seseorang yang berusia 35 tahun untuk jangka waktu 1 tahun dengan premi sebesar Rp10.000,00 berapa harapan keuntungan secara matematis dari perusahaan asuransi tersebut Peristiwa meninggal dalam setahun: X1 = – (1.000.000 – 10.000) dengan P1 = 0,008 Peristiwa tetap hidup dalam setahun: X2 = + 10.000 Dengan P2 = 0,992 Selama harapan matematis positif maka perusahaan asuransi dapat melanjutkan usahanya Maka harapan matematisnya adalah: A(X) = X1 . P1 + X2 . P2 = –990.000(0,008) + 10.000(0,992) = –7.920 + 9.920 = 2.000

Distribusi Probabilitas Binomial Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari hasil percobaan dan probabilitas dari setiap hasil yang bersangkutan Distribusi probabilitas binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang sering terjadi Ciri-ciri lain distribusi probabilitas binomial adalah: Hasil setiap percobaan dikategorikan menjadi salah satu kategori yang tidak terikat satu sama lain- sukses atau gagal Variabel acak menghitung jumlah sukses yang muncul dalam setiap percobaan Probabilitas untuk sukses dan gagal sama untuk setiap percobaan Percobaan-percobaan ini saling bebas, yang artinya hasil dari setiap percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lain

Distribusi Probabilitas Binomial Rumus umum distribusi probabilitas binomial adalah dimana : P(S) =kejadian sukses, C= kombinasi, n = jumlah percobaan, π = kejadian sukses dan (1-π) = kejadian gagal Contoh: Probabilitas memperoleh sekurang-kurangnya dua gambar burung dalam 6 kali percobaan pelemparan sebuah mata uang adalah:

Distribusi Probabilitas Binomial Terdapat lima penerbangan dari Jakarta ke Yogyakarta menggunakan pesawat Garuda. Misalkan probabilitas penerbangan terlambat 0,20. Berapa besar (a) peluang tidak ada penerbangan terlambat hari ini, dan (b) berapa besar peluang hanya satu penerbangan terlambat hari ini a. Probabilitas penerbangan yang datang tidak terlambat adalah a. Probabilitas penerbangan hanya satu dari lima penerbangan yang datang terlambat adalah

Distribusi Probabilitas Binomial Hal-hal yang berkaitan dengan distribusi probabilitas binomial Rata-rata (mean) : π = Np Variance: σ2 = Npq dimana q dalah 1 – p atau q= 1 - p Standar deviasi (simpangan baku): Koefisien momen pada kemencengan: Koefisien momen pada kurtosis:

Distribusi Probabilitas Binomial Kembali ke contoh soal penerbangan, ingat bahwa π = 0,20 dan n = 5, maka: a. rata-rata dari distribusi binomial : µ = Np = 5.(0,20) = 1 b. Variance adalah σ2= Npq = 5. (0,20).(1- 0.20) = 0,80 c. Standar devisi adalah

Jumlah Penerbangan Terlambat Distribusi Probabilitas Binomial Distribusi binomial dengan menggunakan excell secara terperinci diperoleh sebagai berikut: Jumlah Penerbangan Terlambat P(x) x.P(x) x-µ (x-µ)2 (x-µ)2..P(x) 0.3277 0.0000 -1 1 0.4096 2 0.2048 3 0.0512 0.1536 4 0.0064 0.0256 9 0.0576 5 0.0003 0.0015 16 0.0048   µ = 1.0000 σ2 =0.7997 Rata-rata (mean) : µ = 1 dan variance : σ2 = 0,7997 atau 0,80 (dibulatkan )

Distribusi Probabilitas Normal Distribusi normal umum (distribusi gauss) e adalah bilangan 2,72 Π adalah bilangan 3,14 Distribusi normal baku

Hubungan Distribusi Normal dan Tabel normal Kurva normal yang dibatasi oleh z = 0,00 dan z = 0,21 dapat digambarkan sebagai berikut Pada tabel normal , lihat kolom z (paling kiri) nilai 0,2 dan tarik garis ke kanan hingga sampai kolom 1, sehingga didapat angka 0,0832. Sehingga luas kurva dibawah kurva normal Pr(0 ≤ x ≤ 0,21) adalah 8,32 %

Tabel Distribusi Normal Cara membaca daerah dibawah kurva normal yang dibatasi oleh z = 0,00 dan z = 0,21

Luas Daerah di bawah Kurva Normal Hitunglah propbabilitas terjadinya x bila : (0 ≤ x ≤ 1,42) (-1,37 ≤ x ≤ 2,01) 1) Pr (0 ≤ x ≤ 1,42) adalah sama dengan kurva normal baku antara z = 0 dan z = 1,42 Jadi, Pr (0 ≤ x ≤ 1,42) = 0,4222

Luas Daerah di bawah Kurva Normal 2) Pr (-1,37 ≤ x ≤ 2,01) jika digambarkan grafiknya adalah sebagai berikut Pr (-1,37 ≤ x ≤ 2,01) = Pr (-1,37 ≤ x ≤ 0) + Pr (0 ≤ x ≤ 2,01) = 0,4147 + 0,4778 = 0,8925

Sekian dan … Terima Kasih