Teguh Prasetyo A 410080065 Nadia Iswara A 410080070 Indah Dwi Pratiwi A 410080072 Unga Nastalifa CH A 410080080

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Standar kompetensi : memahami bentuk ajabar,persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel Kompetensi Dasar: Memahami dan menerapkan konsep, serta menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel untuk memecahkan masalah.

TUJUAN PEMBELAJARAN Siswa dapat memahami dan menerapkan konsep,serta menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel untuk memecahkan masalah

Kalimat tertutup dan kalimat terbuka A. kalimat tertutup ( pernyataan) Kalimat yang benar adalah kalimat yang sesuai dengan kenyataan/keadaan yang berlaku umum. Kaliamat yang salah adalah kalimat yang menyatakan hal-hal yang tidak sesuai dengan kenyataan/keadaan yang berlaku umum. Kalimat yang bernilai benar atau salah desebut kalimat tertutup atau sering disebut pernyataan B. kalimatTerbuka, variabel, dan Konstanta Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui kebenaranya (benar atau salah) Variabel adalah lambang atau simbol yang dapat diganti oleh sembarang anggota dari himpunan semesta. Konstanta adalah pengganti dari suatu variabel.

C. Himpunan Penyelesaian suatu Kalimat Terbuka Setiap kalimat terbuka yang memuat variabel harus diganti oleh satu atau beberapa anggota dari himpunan semsta yang didefinisikan. Penganti variabel yang membuat kalimat terbuka menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian(solusi). Himpunan dari semua penyelesaian sisebut himpunan penyelesaian. Contoh: X – 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 8. penyelesaiannya adalah x = 8 dan himpunan penyelesaiannya adalah {8}. T adalah bilangan genap, t ϵ { 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10 }. pengganti t yang benar adalah 2, 4, 8, dan 10, Himpunan penyelesaiannya adalah { 2, 4, 8, 10 } 3. 2r + 1 = 3 dengan r ϵ { 2, 3, 4, 5 }. penganti t yang benar tidak ada. Himpunan penyelesaiannya adalah Ø atau { } Keteranagan : Ø atau { } berarti himpunan kosong, ϵ berarti anggota.

Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuat kalimat tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat sebagai HP.

Latihan Manakah yang merupakan kalimat benar dan mana yang merupakan kalimat salah? Jakarta adalah ibukota negara Indonesia Hasil kali 6 dan 11 adalah 66 600 dibagi 25 sama dengan 16 16 lebih kecil dari 100 Dalam 1 jam ada 300 detik 2. Apabila lambang-lambang pada kalimat terbuka dibawah ini adalah anggota pada himpunan bilangan asli, tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka berikut. A adalah kelipatan 5 yang kurang dari 10 ∆ + 5 = 12 □ - 9 = 4 1 menit adalah t detik 3. Sebutkan variabel dan konstanta dari setiap kalimat terbuka berikut ini. Kemudian tentukan nilai dari setiap variabel yang membuat kalimat tebuka itu menjadi pernyataan yang benar. a + 2a + a = 16 c. Y + 3 = 6 x 3 K + 2 = 10 + 1 d. 5 + r = 25 - r

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV) Perhatikan kalimat-kalimat terbuka berikut: a + 1 = 6 c. 6 + 2y = 3y – 1 e. x – 2 = 6 d. x – 8 = 3x – 6 f. 3x – y Kalimat-kalimat terbuka tersebut mengandunga tanda sama dengan ( = ) dan beberapa variabel, maka dapat dicirikan sebagai berikut. Bentuk (a) sampai (d) disebut persamaan linear satu variabel (PLSV). Bentuk (e) disebut persamaan kuadrat dengan satu variabel. Bentuk (f) disebut persamaan linear dengan dua variabel. Dari uraian diatas dapat disimpulkan; Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan ( = ). Persamaan hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu disebut persamaan linear dengan satu variabel.

A. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Suatu Persamaan Ahmad ingin menjawab menjawab secara mencongak soal persamaan linear satu variabel 3x = 9 dengan x variabel bilangan asli. Dia mengganti x dengan 3 sehingga kalimat terbuka 3x = 9 menjadi benar. 3x = 9 → 3.3 = 9 (benar) x = 3 adalah penyelesaian/ jawaban akar PLSV 3x = 9 Jadi, himpunan penyelesaian dari 3x = 9 adalah { 3 }. Penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu variabel adalah bilangan pengganti dari variabel pada daerah definisi persamaan yang membuat persamaan menjadi pernyataan yang benar.

Selain cara mencongak, kita juga dapat menyelesaian persamaan linear dengan satu variabel dengan cara subsitusi satu persatu variabel yang terdefinisi sehingga persamaan itu benar. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian y + 1 = 2, y anggota pada himpunan bilangan asli. Jawab: Untuk menyelesaikan persamaan diatas, kita menggunakan cara substitusi, yaitu mengganti y dengan setiap anggota bilangan asli dengan setiap anggota bilangan asli sehingga kalimat itu menjadi benar. Untuk y = 1, maka 1 + 1 = 2 ( merupakan kalimat benar) Untuk y = 2, tidak perlu dilakukan lagi karena kita telah mendapatkan kalimat benar untuk y = 1. Penyelesaian dari y + 1 = 2 adalah y = 1 dan himpunan penyelesaian atau HP = { 1 }

B. Kalimat Matematika ( Model Model ) Suwarno akan menterjemahkan kalimat cerita: “ x dikurangkan dengan 6 menghasilkan 10” ke dalam kalimat matematika. Ia membuat persoalan diatas menjadi sangat mudah, yaitu: x – 6 = 10 ( kalimat matematika) Kalimat matematika adalah kalimat yang ditulis dengan lambang-lambang matematika yang dapat membuat kalimat itu menjadi benar ataupun salah. Istilah Penulisan Jumlah x dan y Hasil bagi x dan y Selisih x dan y Selisih kuadrat x dan y Kebalikan x Kuadrat selisih x dan y Kuadrat x Kuadrat jumlah x dan y Hasil kali x dan y Jumlah kuadrat x dan y

C. Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka yang Berbetuk Cerita Untuk menyelesaikan kaliamat terbuka yang brbentuk cerita, dapat ditempuh langkah-langkah sebagai berikut: Terjemahkan kalimat cerita dalam kalimat matematika yang berbentuk persamaan. Jika perlu, gunakan gambar (sketsa diagram). Selesaikanlah persamaan itu dengan cara substitusi. Perhatikan cara penyelesaian kalimat matematika berikut P dan ( q + 35 ) menyatakan dua bilangan yang sama. Jika q = 15 dan p ϵ himpunan bilangan asli, berapakah p ? Kalimat cerita P = q + 35 dan q = 15, p = ? Kalimat matematika

Himpunan Penyelesaian (50 ϵ himpunan bilangan asli) penyelesaian HP = { 50 } Himpunan Penyelesaian Dalam perlombaan lari estafet beregu, setiap regu terdiri atas 4 orang, regu desa lembang sari terdiri atas Gun, Budi, Tigor, dan Ateng melaksanakan lari estafet yang ditempuh sejauh 100 km. Mula-mula Gun menempuh jarak 30 km, Budi menempuh 25 km, Tigor menempuh jarak x km, serta Ateng 20 km. Berapakah jarak yang ditempuh Tigor? Contoh

Mula-mula kalimat cerita diatas kita terjemahkan ke dalamkalimat matematika sebagai berikut. Diketahui jarak yang harus ditempuh = 100 km. Jarak yang ditempuh regu Desa Lambangsari adalah: (30 + 25 + x + 20) km = ( 75 + x ) Kalimat/ model matematikanya: 100 = 75 + x Penyelesaian: X = 25 ( ktrena 100 = 75 + 25 merupakan kalimat yang benar). Jadi, jarak yang ditempuh Tigor adalah 25 km. Jawab

Carilah himpunan penyelesaian persamaan berikut Carilah himpunan penyelesaian persamaan berikut. Diketahui variabel adalah anggota himpunan bilangan asli. a. 3x + 7 = 25 c. 32 = 200 – 7u b. 51 – 2t = 15 2. Sebuah buku cerita setebal 238 halaman sedanga dibaca oleh Kevin dalam beberapa hari. Dalam 6 hari ia telah membaca sebanyak 103 halaman. Berapakah halaman yang harus dibaca pleh Kevin untuk mengetahui akhir cerita buku tersebut? Latihan

D. Persamaan yang Ekuivalen Perhatikan persamaan berikut ini. x + 6 = 18, maka himpunan penyelesaian adalah {12} x – 2 = 10, maka himpunan penyelesaian adalah {12} 3x – 6 = 30, maka himpunan penyelesaian adalah {12} Ketiga persamaan tersebut memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Persamaan –persamaan tersebut disebut persamaan yang ekuivalen. Persamaan yang ekuivalen adalah suatu persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, apabila pada persamaan itu dikenakan suatu operasi tertentu. Notasi ekuivalen

1. Menyelesaikan persamaan dengan sifat-sifat operasi suatu persamaan yang ekuivalen a. Sifat penambahan Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambah dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen. Misal: Persamaan berikut ini, akan kita selesaikan dengan sifat penambahan. x – 3 = 10 dengan x ϵ {bilangan asli} x – 3 + 3 = 10 + 3 (kedua ruas ditambah 3) x + 0 = 13 x = 13 Jadi, penyelesaian dari x – 3 = 10 adalah x = 13

b. Sifat pengurangan Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambah dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen. Misal: Persamaan berikut ini, akan kita selesaikan dengan sifat pengurangan. p + 2 = 9 dengan p ϵ {bilangan cacah} p + 2 – 2 = 9 – 2 (kedua ruas dikurangi 2) p + 0 = 7 p = 7 Jadi, penyelesaian dari p + 2 = 9 adalah p = 7 c. Sifat perkalian kedua ruas suatu persamaan boleh dikalikan dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen. Misal: persamaan berikut ini, akan kita selesaikan dengan sifat perkalian. T = 9 dengan t ϵ {bilangan rasional} t x = 9 x (kedua ruas dikali ) t = 3 x 4 t = 12 jadi, penyelesaian dari t = 9 adalah t = 12

d. Sifat pembagian Kedua ruas suatu persamaan boleh dibagi dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen. Misal: Persamaan berikut ini, akan kita selesaikan dengan sifat pembagian. 5k = 20 dengan t ϵ {bilangan cacah} 5k : 5 = 20 : 5 (kedua ruas dibagi 5 ) k = 4 Jadi, penyelesaian dari 5k = 20 adalah k = 4

Berikut ini diberikan beberapa contoh yang melibatkan beberapa opersai tersebut. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini dengan variabel x merupakan anggota bilangan asli. 4x – 8 = 6x – 12 Jawab: 4x – 8 = 6x – 12 (persamaan awal) 4x – 8 + 12 = 6x – 12 + 12 (kedua ruas ditambah 12) 4x + 4 = 6x + 0 4x + 4 = 6x 4x + 4 – 4 = 6x – 4 (kedua ruas dikurangi 4) 0 + 4 = 2x 4 = 2x 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 (kedua ruas dibagi 2) x = 2 Jadi, HP = {2} Garis bilangan

Latihan 4.3 1. Selesaikan masing – masing persamaan berikut ini. Jika diketahui variabelnya adalah anggota himpunan bilangan real. a. x + 6 = -11 b. – 3x + 4 = 19 c. 2x – 6 = - 14 2. Seorang sekretaris dapat mengetik 20 halaman selama jam. Dalam berapa jam ia dapat mengetik 50 halaman? 3. Santoso membayangkan sebuah bilangan asli. Jika bilangan itu dikalikan dua, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan 15, maka diperoleh 35. bilangan berapa yang dibayangkan santoso?

2. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan A. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakaan lawan Hal yang perlu diingat sebelum kita menyelesaikan persamaan dengan menggunakan lawan adalah definisi tentang lawan tersebut. Lawan dari +a adalah –a, lawan dari –a adalah +a Ruas kiri dan ruas kanan suatu peramaan dipisahkan oleh tanda “=” Misalnya persamaan x – a = b Ruas kiri ruas kanan Jika suatu element berpindah ruas maka elemen tersebut juga berubah tanda manjadi “lawannya”.

Agar lebih jelas, perhatikan bentuk-bentuk berikut ini Bentuk : x – a = b x – a = b x = b + a pindah ruas berubah tanda Bentuk : x – a = b x – a = b x = b + a Usahakan x positif

Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kebalikan bilangan Hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kebalikan bilangan.   Apabila dalam persoalan kita jumpai bentuk-bentuk berikut ini, gunakanlah perkalian dengan kebalikanya.

Latihan 4.4 1. Selesaikan masing-masing persamaan berikut ini dengan konsep lawan bilangan dan kebalikan bilangan 2. Sisi ketiga dari suatu segitiga sama kaki adalah 5cm kurangnya dari dua kalimpanjang sisi yang sama. Hitunglah panjang sisi masing – masing sisi segitiga jika kelilingnya 35cm.

Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) Pengertian ketidaksamaan dan notasinya Ketidaksamaan adalah pernyataan yang memuat notasi <,>, ≤,≥ atau ≠. Untuk setiap bilangan a dan b,hanya berlaku satu hubungan ketidaksamaan,antara lain: a lebih dari b,ditulis a>b a kurang dari b,ditulis a<b a tidak sama dengan b,ditulis a ≠b a lebih dari atau sama dengan b,ditulis a≥b a kurang dari atau sama dengan b,ditulis a ≤b Dua ketidaksamaan dapat dipadukan menjadi sebuah ketidaksamaan dengan menggunakan kata penghubung “dan” serta “atau” b>a dan b<c dipadukan menjadi a<b<c,dibaca: b lebih dari a dan b kurang dari c b<a atau b>c dipadukan menjadi c<b<a.dibaca: b kurang dari a tau b lebih dari c

B. sifat-sifat ketidaksamaan Tanda ketidaksamaan tidak berubah ,jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama Jika a<b maka a± c<b±c Jika a>b maka a±c>b±c Jika a≤b maka a±c≤b±c Jika a≥b maka a±c≥b±c

2. Tanda sebuah katidaksamaan tidak berubah,jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama jika a<b dan c>0 maka ac<bc dan a/c<b/c jika a>b dan c>0 maka ac>bc dan a/c>b/c jika a≤b dan c>0 maka ac≤bc dan a/c ≤b/c jika a≥b dan c>0 maka ac≥bc dan a/c ≥b/c

3. Tanda sebuah ketidaksamaan harus berubah,jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama jika a<b dan c>0 maka ac>bc dan a/c>b/c jika a>b dan c<0 maka ac<bc dan a/c<b/c jika a≤b dan c<0 maka ac ≥ bc dan a/c ≥ b/c jika a≥b dan c<0 maka ac ≤ bc dan a/c ≤ b/c Contoh… 6 < 7 (benar),maka 6 + 2 < 7 + 2 (benar),tetapi 6 – 2 > 7 – 2 (salah) -2 < 3 (benar),maka (-2) x 5 < 3 x 5 (benar),tetapi (-2) x (-3) < 3 x (-3) (salah),seharusnya (-2) x (-3) > 3 x(-3),karena 6 > -9

Latihan soal Tulislah bilngan-bilangan asli pada ketidaksamaan berikut Lebih dari 0 dan kurang dari 6 Terletak antara 3 dan 7 Susunlah masing-masing pasangan tiga-tiga dibawah ini secara berurutan dari kecil ke besar dengan menggunakan lambang < saja kemudian lambang > saja 0;6;-1 10 cm;3m;2dm 10 kg;200 ons;100 gram 3. Tulislah dalam bentuk ketidaksamaan bilangan-bilangan berikut ini 5 diantara 2 dan 7 10 diantara -1 dan 15 5 lebih dari 4 dan 5 kurang dari 10

C. Pertidaksamaan linear dengan satu variabel (PtLSV) Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan. Pertidaksamaan linear dengan satu variabel adalah pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan variabel itu berpangkat satu. Contoh: t + 2 < 10 disebut pertidaksamaan linear dengan satu variabel t k – l ≥ 10 disebut pertidaksamaan linear dengan dua variabel k dan l

D.Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel Cara subtitusi Mengganti dengan suatu bilangan pertidaksamaan agar diperoleh kalimat yang benar.jika diperoleh kalimat yang salah maka tidak ada penyelesaiannya dan himpunan penyelesaiannya kosong . Contoh: Apabila x adalah variabel pada {1,2,3,4,5},tentukan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x -2 < 3 Jawab : Cara subtitusi dapat lebh mudah dengan menggunakan tabel X - 2 < 3 Jadi,HP = {1,2,3,4} Cara subtitusi ini dilakukan jika banyaknya nilai pengganti variabel terbatas Variabel(x) 1 2 3 4 5 X - 2 -1 < 3 ? ya Ya tidak

2. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan cara mencari penyelesaian persamaan Cara ini dilakukan untuk mencari daerah definisi variabel yang tidak terbatas Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 + p ≤ 9 p anggota bilangan asli. Jawab: Persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan 4 + p ≤ 9 adalah 4 + p =9 Penyelesaian persamaan : 4 + p = 9 P=9-4 P=5 Jadi, 4 + p ≤ 9 p ≤ 5 (kembalikan ketanda pertidaksamaan ) Himpunan penyelesaiannya adalah {1,2,3,4,5}

3. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan sifat-sifat ketidaksamaan Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan: 15 – 8x > 40 – 13x dengan x anggota bilangan bulat Jawab: (tanda variabel x positif) 15 – 8x >40 – 13x 15 - 8x + 13x > 40 - 13x + 13x (kedua ruas ditambah 13x) 15 + 5x > 40 15 + 5x – 15 > 40 – 15 (kedua ruas dikurangi 15) 5x > 25 X > 25/5 X > 5 Himpunan penyelesaian: HP:{6,7,8,…} atau HP: { x|x>5,x anggota Bilangan bulat}

4. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan lawan dan kebalikan variabel atau bilangan Perhatikan contoh sebelumnya yang diselesaikan dengan cara menggunakan lawan dan kebalikan variabel atau bilangan sebagai berikut. 15 – 8x >40 – 13x 15-40>-13x+8x -25>-5x -25/-5<x X>5(penyelesaian) Contoh: Selesaikan pertidaksamaan : 6 < 2 – 4t < 10 dengan t variabel pada bilangan bulat Jawab: 6 < 2 – 4t < 10 6 – 2<2-4t-2<10-2 4<-4t<8 4/-4>-4t/-4>/-4 (tanda dibalik) -1>t>-2 -2<t<-1 (penyelesaian) Hp={t|-2<t<-1,t anggota bilangan bulat) Karena t anggota bilangan bulat,maka HP={}.

Latihan soal… Jika t adalah variabel pada himpunan K={1,2,3,4,5},tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan berikut ini dan lukiskan penyelesaiannya pada sebuah garis bilangan t < 6 2t – 1 < 10 2 - t > 4 2. Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan berikut ini dengan variabel x pada himpunan bilangan real. 3x +17 < 5x + 3 -(2x + 6) + 8 < 2(2x – 5) -3(2x – 1) + 6 + 2x < 7 – (2x – 1) 3. Sederhanakan masing-masing pertidaksamaan berikut ini. 2 < x + 2 < 6 -2 ≤5(x-2)+6 ≤2

Penerapan PtLSV dalam soal cerita Dari suatu persegi panjang diketahui lebarnya (2x – 3)cm dan panjangnya 8 cm.luasnya tidak lebih dari 40 Cm2 Tulislah pertidaksamaan tentang al tersebut Tentukan himpunan penyelesaiannya,jika x adalah variabel pada himpunan bilangan rasional.

penyelesaian: 8 cm (2x-3)cm Luas = panjang x lebar luas = 8(2x-3)=16x-24 Luas tidak lebih dari 40 Cm2 Berarti L ≤ 40,maka diperoleh pertidaksamaan : 1. 6x – 24 ≤ 40 2. 16x-24 ≤ 40 (pertidaksamaan awal) 16x ≤40+24 16x ≤64 x ≤4 (penyelesaian) Jadi,himpunan penyelesaianya={x|x ≤4,x anggota Q}

Latihan soal.. Suatu persegi panjang mempunyai panjang 10cm dan lebar (2x – 6)cm.luasnya tidak lebih dari 60 Cm2 Tuliskan pertidaksamaan yang berlaku pada persegi panjang Tentukan lebar dan keliling persegi panjang tersebut. Perusahaan penyewaan mobil menyewakan sebuah mobil Rp280.000/hari dan Rp1000/km.apabila gino menyewa sebuah mobil dalam dua hari dan ia membayar uang sewa tidak lebih dari Rp740.000,berapakah jarak maksimum yang ditempuhnya? Dalam teori perambatan cahaya,waktu rambatan pancaran cahaya t ditentukan oleh pertidaksamaan -9 < 4t – 9 < 9.tentukan interval t pada pertidaksamaan tersebut.