PERSAMAAN DIFERENSIAL BLACK SCHOLES PD NUMERIK

KELOMPOK 3 Hariyani (1212 100 007) Yunita Indriana Sari (1212 100 017) Shaffiani Nurul Fajar (1212 100 059) Dyah Ayu Kartika (1212 100 087)

ISTILAH dalam BLACK SCHOLES OPSI suatu kontrak dimana hak diberikan kepada individu untuk membeli atau menjual sejumlah aktiva tertentu, bukan kewajiban membayar seperti halnya hutang, pada harga khusus dan waktu tertentu. OPSI JENIS TANGGAL PELAKSANAAN Call Option : terjadi apabila pemilik menerima hak untuk membeli sejumlah saham tertentu.   Put Option : terjadi apabila pemilik kontrak diberikan hak untuk menjual sejumlah saham tertentu. Opsi tipe Eropa, hak pembelian atau penjualan kontrak hanya dapat dilaksanakan pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan dalam kontrak.   Opsi tipe Amerika, pemilik kontrak dapat melaksanakan haknya kapan saja selama tanggal pelaksanaan

ISTILAH dalam BLACK SCHOLES Persamaan Black-Scholes merupakan persamaan yang dikembangkan oleh ahli ekonomi Fischer Black dan Myron Scholes yang berguna dalam menentukan harga option. Model Black-Scholes merupakan sebuah model yang berguna dalam menentukan harga opsi.

ISTILAH dalam BLACK SCHOLES GREEKS : Teknik pengendalian resiko sebagai sensivitas nilai opsi : 1. Delta : ∆= 𝜕𝑉 𝜕𝑆 Tingkat perubahan rata rata nilai opsi terhadap harga saham. 2. Gamma : Γ= 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑆 2 Tingkat Perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham 3. Theta : Θ= 𝜕𝑉 𝜕𝑡 Tingkat Perubahan rata rata nilai opsi terhadap waktu 4. Vega : 𝑉𝑒𝑔𝑎= 𝜕𝑉 𝜕𝜎 Tingkat perubahan rata rata niai terhadap volatilitas 5. Rho : 𝜌= 𝜕𝑉 𝜕𝑟 Tingkat Perubahan rata rata nilai opsi terhadap suku bunga

TUJUAN dan MANFAAT Persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial orde dua untuk menilai harga beli atau harga jual yang menggunakan harga saham, suku bunga bebas resiko, waktu tanggal jatuh tempo, deviasi standar imbal hasil saham sebagai patokan nilainya. Model Black-Scholes sangat berguna bagi investor, untuk menilai apakah harga opsi yang terjadi di pasar sudah merupakan harga yang dianggap fair bagi opsi tersebut. Fair disini berarti nilai opsi yang diperdagangkan (baik opsi jual maupun opsi beli) akan memiliki nilai, sebesar harga saham pada saat jatuh tempo.

Persamaan BLACK SCHOLES Option value dilambangkan dengan V dapat ditulis sebagai berikut : 𝑽 𝑺,𝒕;𝝈,𝝁;𝑬,𝑻;𝒓 =𝑽(𝑺,𝒕) Dimana : 𝑉 = option value 𝑆 = harga saham 𝜎 = tingkat variansi perubahan harga saham S 𝜇 = tingkat rata-rata perubahan harga saham S 𝑟 = tingkat bunga bebas resiko 𝐸 = Harga dasar yang diserahkan 𝑇 = tanggal jatuh tempo (expiration date)

Bentuk persamaan diferensial BLACK SCHOLES ini adalah :

Bagian yang berwarna merah disebut kontributor difusi dasar yang mana jika ada pembayaran yang terputus maka akan menghilang dengan seketika. Bagian ungu merepresentasikan masa adveksi perpindahan V. Bagian peach disebut masa reaksi yang menyeimbangkan turunan terhadap waktu.

Asumsi BLACK SCHOLES Tidak ada biaya transaksi awal Tingkat bunga bebas resiko r konstan Delta-hedging akan selalu berjalan Tidak ada kesempatan untuk arbitrase resiko bebas

Turunan BLACK SCHOLES 1. Mengubah “present value” menjadi “future value” Substitusi

3. Membentuk persamaan log. Substitusi Pergeseran sistem koordinat Solusi khusus dari persamaan ini adalah

Maka persamaan awal menjadi Dengan menggunakan limit maka persamaan tersebut menjadi : Sehingga Maka persamaan awal menjadi

Untuk Call Option : Untuk Put Option : Dimana :

Contoh Soal Misalkan seorang investor, Mr. W membeli 100 lembar opsi pada suatu perusahaan yang bergerak di bidang tambang emas, PT. V. Pada saat itu, Mr. W membeli opsi dengan harga pelaksanaan bernilai $60 per lembar dengan tingkat bunga adalah 15% per tahun. Perjanjian dilaksanakan selama 3 bulan dan harga 7 saham pada saat ini adalah $57.8 per lembar. Mr. W menerapkan opsi bertipe Eropa yang mana berlaku di Indonesia. Tentukan berapa harga opsi tersebut, bila volalitas harga sekuritas senilai 10% per tahun. Apa bila Mr. W melaksanakan haknya, akan ditentukan besar profit yang diterima Mr. W.?

Pembahasan Soal Diketahui : S = $57.8, E = $60, σ = 0.1, T = 0.25, r = 0.15, t = 0

Put Option 𝑑 1 =0,4476 𝑑 2 = 0,3967 N( 𝑑 1 )=0.488846292 N( 𝑑 2 )=0.508846292 V (S, t) = (60) 𝑒 −0.15(0.25−0) (0.508846292)-(57.8)(0.488846292)= 29.40707448-28.25532568 V (S, t) = $1.1517488. Harga opsi jual saham V (S, t) adalah sebesar $1.15 per lembar atau $115.18 dalam 100 lembar. Jika Mr. W melaksanakan haknya, yaitu menjual opsi saham tersebut. Maka Mr. W akan memperoleh profit sebesar : E – S - V (S, t) = 6, 000 - 5, 780 - 115.17488 = $104.82512. Jika Mr. W tidak menjalankan haknya, maka dia akan kehilangan kesempatan dan membayar 100 lembar saham yang telah dibelinya, yaitu sebesar $115.18.

Beberapa Contoh Perluasan Persamaan BLACK SCHOLES D : pembagian keuntungan Rf : foreign rate of interest q : biaya angkut Biaya mendatang Fungsi terhadap waktu

TERIMA KASIH