KALKULUS I

PENDAHULUAN

Materi dan Buku Rujukan • Bab I. Pendahuluan • Bab II. Fungsi dan Limit • Bab III. Turunan • Bab IV. Penggunaan Turunan • BabV. Integral (Pendahuluan) Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Calculus With Analysis Geometry 8th- Prentice Hall, 2000

Mengapa Belajar Kalkulus? Secar Teknis Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah2 finite. Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental: - problems of change (e.g. motion) - problems of content (e.g. area, volume)

Bilangan Real dan Notasi Selang Pengenalan Awal

Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan real meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan 2) dan irasional (seperti √2 dan π). Bilangan rasional meliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan negatif) dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R.

Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =, dan >), dan sifat kelengkapan. Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.

Garis Bilangan Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.

Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai: (a,b) = { x є R | a < x < b } [a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b } [a,b) = { x є R | a ≤ x < b } (a,b] = { x є R | a < x ≤ b } (-∞,b)= { x є R | x < b } (-∞,b]= { x є R | x ≤ b } (a,∞) = { x є R | x > a } [a,∞) = { x є R | x ≥ a }

Kerja Kelompok Di Kelas Buat macam – macam selang dan Gambarkan Presentasikan sesuai urutan kelompok Siapkan Pertanyaan untuk kelompok lainnya Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

Pendahuluan (Lanjutan) Pertemuan 2

Sistem bilangan (review) 1,2,3,…. Z : …,-2,-1,0,1,2,.. N : bilangan asli Q : Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional Contoh Bil Irasional R : bilangan real 12

Bilangan 2; -2; 1,1 Nyata Khayal Irrasional Rasional 0,1236 0,126827684340------ Bulat Pecahan 1; 8 ;4 ½; 2/7 13

Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan bulat Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional. Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol.  A = {1,2,3,4,5,6,…..} Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol.  A = {0,1,2,3,4,5,6,…..} Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P = {2,3,5,7,11…..} 14

Sifat–sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz 15

Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) -3 1 Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang 16

Selang { } { } { } { } { } { } { } ( ) ] ( ) [ ] [ ) ( ) ( ( ) Jenis-jenis selang Grafik Himpunan selang { } a x < ( ) a , ¥ - a { } a x £ ( ] a , ¥ - a { } b x a < ( ) b a , a b { } b x a £ [ ] b a , a b { } b x > ( ) ¥ , b b { } b x ³ [ ) ¥ , b b { } Â Î x ( ) ¥ , 17

Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 18

Pertidaksamaan Cara menentukan HP : , dengan cara : Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) Cara menentukan HP : Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : , dengan cara : 19

Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 20

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 4 8 Hp = 21

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2 Hp 2 22

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 3 Titik Pemecah (TP) : dan ++ -- ++ 3 Hp = 23

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 dan dan dan dan dan 24

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 25

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5. -- ++ -- ++ -1 3 Hp = TP : -1, , 3 26

Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : 27

Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1 2 3 atau 4 5 6. Ketaksamaan segitiga dan 28

Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 2 3 4 5 6 29

Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan PERTEMUAN 3

Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).

Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang. Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r pada bidang Adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang dimaksud (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah Ax + By + C = 0 dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai y = mx + c dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah y – y0 = m(x – x0)

Contoh Grafik Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y =x2 menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris terhadap sb-y. (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai ordinat, setelah menetapkan titik x sebagai absis)

Gambar yang dimaksud

x2 + (y – 7)2 = 12. 6x – 5y = 8. x = y2. Latihan Gambarkan Garfik Persamaan Berikut : x2 + (y – 7)2 = 12. 6x – 5y = 8. x = y2.

Tugas Diskusi Kelompok Selesaikan soal di Buku Purcell Tiap sub Bab berikut : 1.2 no. 14,15, 17. 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25 1.5 no. 7, 10, 12. 1.6 no. 9, 13, 17, 23 1.7 no. 1, 11, 17, 19.