TURUNAN http://www.mercubuana.ac.id

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri TURUNAN ( DERIVATIVE ) 1. Rumus Dasar Turunan Rumus Dasar Turunan  y1 = n Xn-1 y = X n Rumus Turunan Biasa (1) y = u v y1 = u v1 + u1 v  y1 = u1 v - u v1 v2 (2) y = u v Rumus Turunan Fungsi Trigonometri  y1 = Cos x (1) y = Sin x (2) y = Cos x y1 = - Sin x http://www.mercubuana.ac.id

Rumus Turunan Fungsi Logaritma (1) y = a Log x y1 = 1 / x Ln a  y1 = Sec2 x (3) y = Tg x (4) y = Ctg x y1 = - Csc2 x (5) y = Sec x y1 = Sec x Tg x  y1 = - Csc x Tg x (6) y = Csc x Rumus Turunan Fungsi Logaritma (1) y = a Log x y1 = 1 / x Ln a  y1 = 1/x (2) y = Ln x Rumus Turunan Fungsi Eksponensial  (1) y = ax (2) y = ex y1 = ax ln a y1 = ex http://www.mercubuana.ac.id

Rumus Turunan Fungsi Siklometri  (1) y = arc sin x y1 = 1 .  1 – x2  (2) y = arc cos x y1 = -1 .  1 – x2  (3) y = arc tg x y1 = 1 . 1 + x2  (4) y = arc ctg x y1 = -1 . 1 + x2  (5) y = arc sec x y1 = 1 . x x2 - 1  (6) y = arc csc x y1 = -1 . x x2 – 1 http://www.mercubuana.ac.id

Contoh Soal : 1. y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6 Jawab : y1 = 5x4 + 20x3 - 20x 2. y = 3x - x3/2 + 2 /x Jawab : y1 = 3 / 2x - ( 3/2 )x - 1 / x3/2 3. = 3r + 2 2r + 3 Jawab : d = dr 5 ( 2r + 3 )2 . 4. y = Cos ( 1 – x2 ) Jawab : y1 = 2x Sin ( 1 – x2 ) 5. y = Cos ( 1 – x )2 Jawab : y1 = 2 ( 1 – x ) Sin ( 1 – x2 ) http://www.mercubuana.ac.id

6. y = Sin2 ( 3x – 2 ) Jawab : y1 = 3 Sin ( 6x – 4 ) 7. y = ln ( 4x – 5 ) Jawab : y1 = 4 / ( 4x – 5 ) 8. y = ln 3x5 Jawab : y1 = 5/x 9. y = XX Jawab : y1 = xx ( ln x + 1 ) 10. y = X1/X Jawab : y1 = x ( 1 – ln x ) x 11. y = x1/ln x Jawab : y1 = 0 http://www.mercubuana.ac.id

2. Turunan Fungsi Invers Jika y = f (x) kontinu dan monoton naik atau turun pada interval a x b , maka terdapat suatu fungsi invers x = f-1 (y) yang kontinu juga . Berlaku : dx / dy = 1 / ( dx/dy) Contoh : 1. y = x3 , inversnya x = y1/3 , dx/dy = 1 / ( dy/dx) = 1 / ( 3x2 ) = 1 / ( 3 y2/3 ) = ( y-2/3 ) / 3 Terlihat bahwa dy/dx = 3x2 = 0 , pada x = 0 , pada titik dimana y = 0 ; dx/dy pada titik tersebut tidak ada . http://www.mercubuana.ac.id

3. Turunan Fungsi Implisit Untuk menghitung turunan pertama dy/dx dari fungsi implisit f (x,y) = 0 , kita memandang tiap- tiap suku sebagai suatu fungsi dari x , kemudian menurunkan suku demi suku. Contoh : 1. x2 + xy + y3 = 0 , di turunkan menjadi 2x + y + xy1 + 3y2y1 = 0 y1 ( x + 3y2 ) = 2x + y y1 = - 2x - y x + 3y2 2. x + cos y - ey + xy2 = 0 , di turunkan menjadi 1 - sin x - ey y1 + y2 + 2xyy1 = 0 y1 ( - ey + 2xy ) = - 1 + sin x + y2 y1 = 1 - sin x - y2 ey - 2xy http://www.mercubuana.ac.id

4. Turunan Fungsi Dalam Persamaan Parameter Suatu fungsi dalam persamaan parameter x = f (t) kita ubah menjadi y = g (t) , t = f -1 (x) y = g (t) Maka menurut aturan rantai : dy/dx = dy/dt . dt/dx , sedangkan dt/dx = 1 / ( dx/dt ) maka dy/dx = ( dy/dt ) / ( dx/dt ) Contoh : 1. x = et y = e3t Jawab : y = e3t = (et)3 = x3 y1 = 3x2 2. x = t + et y = t cos t Jawab : dy/dt = cos t - t sin t dx/dt = 1 + et y1 = ( cos t – t sin t ) ( 1 + et ) http://www.mercubuana.ac.id

5. Turunan Kedua dan Turunan yang Lebih Tinggi Kalau y = f (x) mempunyai turunan pada suatu interval, maka turunan tersebut y1 = f0 (x) merupakan suatu fungsi baru pada interval tersebut. Kalau fungsi yang baru tadi kita turunkan, maka turunannya, kita tulis y11 = f11 (x) , disebut Turunan Kedua dari y = f (x) terhadap x. Demikian seterusnya pengertian yang serupa untuk turunan ketiga kelima, dan seterusnya. Contoh : y111 = f111 (x) , turunan keempat, y = 2x5 , maka turunannya y1 = 10 x4 y11 = 40 x3 y111 = 120 x2 y1V = 240 x Turunan yang lebih tingi untuk fungsi berbentuk u v adalah : (uv)1 = u1v + uv1 (uv)11 = u11v + 2 u1v1 + uv11 (uv)111 = u111v + 3 u11v1 + 3 u1v11 + uv111http://www.mercubuana.ac.id