INDUKSI MATEMATIKA.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM
Advertisements

Induksi Matematika.
Induksi Matematik TIN2204 Struktur Diskrit.
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama?
INDUKSI MATEMATIKA Septi Fajarwati, S.Pd..
Induksi Matematika Materi Matematika Diskrit.
Induksi Matematis Mohammad Fal Sadikin.
7. INDUKSI MATEMATIKA.
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
Pertemuan ke 9.
Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
Definisi Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek.
Outline Definisi Prinsip Induksi Sederhana
OLEH: JEAN KEVIN LOUPATTY
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
BAB IV INDUKSI MATEMATIKA
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT
Definisi Induksi matematika adalah :
BAB 1. LOGIKA MATEMATIK 1.1 PROPOSISI Definisi: [Proposisi]
Induksi Matematika.
Induksi Matematika Nelly Indriani Widiastuti Teknik Informatika UNIKOM.
Induksi Matematik.
Induksi Matematika E-learning kelas 22 – 29 Desember 2015
Pertemuan ke 9.
Fungsi, induksi matematika dan teori bilangan bulat
Fungsi Oleh: Sri Supatmi,S.Kom Rinaldi Munir, Matematika Diskrit
FTI Universitas Mercu Buana Yogya Matematika Diskrit Rev 2014
Definisi Induksi matematika adalah :
BAB 4 INDUKSI MATEMATIKA.
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit
Induksi Matematika.
BAB 5 Induksi Matematika
Induksi Matematika Sesi
induksi matematika Oleh: Sri Supatmi,S.Kom
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
FTI Universitas Mercu Buana Yogya Matematika Diskrit Rev 2013
INDUKSI MATEMATIKA Citra N., S.Si, MT.
Matematika Diskrit.
Induksi Matematik  .
JENIS - JENIS BILANGAN BULAT
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
Logika Matematika Bab 5: Induksi Matematika
Aplikasi Induksi Matematik untuk membuktikan kebenaran program
QUANTIFIER (KUANTOR) dan Induksi matematika
Aplikasi Induksi Matematik untuk membuktikan kebenaran program
Pertemuan ke 9.
Kebijaksanaan Hanya dapat ditemukan dalam kebenaran
Induksi matematika Oleh : Luddy B. Sasongko.
Induksi Matematika.
Mata Kuliah :Teori Bilangan
Induksi Matematik.
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
2. Dengan garis bilangan Ketentuan : Ketentuan : –Operasi Penjumlahan dan Pengurangan adalah operasi 2 atau lebih bilangan yang di operasikan dengan tanda.
TEORI BILANGAN INDUKSI MATEMATIKA
Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama?
Pertemuan 4 Induksi Matematik.
Induksi Matematik Pertemuan 7 Induksi Matematik.
Induksi Matematika Sesi
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit
Pertemuan ke 9.
Matematika Diskrit Oleh: Taufik Hidayat
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit
ASSALAMU’ALAIKUM WR.WB
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit
BAB 5 Induksi Matematika
Quantifier (Kuantor) dan Induksi matematika
QUANTIFIER (KUANTOR) dan Induksi matematika
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit1 Induksi Matematik IF2151 Matematika Diskrit.
Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit1 Induksi Matematik IF2151 Matematika Diskrit.
Transcript presentasi:

INDUKSI MATEMATIKA

Isilah : 1,…,5,10,20,40,80. Berapakah jumlah 2 bilangan bulat positif dimulai dari 1 ? Berapakah jumlah 3 bilangan bulat positif dimulai dari 1 ? Berapakah jumlah 4 bilangan bualt positif dimulai dari 1 ? Berapakah jumlah n bilangan bulat positif dimulai dari 1 ?

INDUKSI MATEMATIKA Cara / Teknik membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat Contoh: p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”. Buktikan p(n) benar!

INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.   Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Prinsip Kerja Induksi Misalkan p(n) adalah pernyataan mengenai bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1.    p(n0) benar, dan 2.  jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk setiap n  1,

Prinsip Kerja Induksi Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.   Langkah basis induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Hipotesis induksi digunakan untuk mendukung langkah induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh (1) Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2” !

Solusi Contoh (1) Langkah I : Buktikan bahwa P(1) benar P(1) = 1 P(1) = 1(1 + 1)/2 = 1 ………. Terbukti Langkah II : Buktikan bahwa jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar P(n+1) = 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) ((n+1)((n+1) +1))/2 = P(n) + (n+1) ((n+1)(n+2))/2 = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 ((n+1)(n+2))/2 = (n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti

Contoh (2) Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2!

Solusi Contoh (2) Langkah 1 (Basis induksi): Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 = 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama memang 1.

Solusi Contoh (2) Langkah 2 (Induksi): Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2  adalah benar (hipotesis induksi) catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ……………..Terbukti

Contoh (3) Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen (n  8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.

Solusi Contoh (3) Langkah 1 (Basis induksi): Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar. Hipotesis induksi

Solusi Contoh (3) Langkah 2 (induksi): Andaikan p(n) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n (n  8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (sesuai hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. 

Solusi Contoh (3) Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa: Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n  8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.

LATIHAN Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 Buktikan P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 untuk n > 1

Question?

TERIMA KASIH