METODE NUMERIK PRESENTED by DRS. MARZUKI SILALAHI

METODE NUMERIK Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian, sehingga dapat diselesaikan melalui operasi aritmatika.

Tujuan : Mencari solusi pendekatan (aproksimasi) dari masalah matematika tersebut. Kenapa : karena solusi eksaknya sulit atau bahkan tidak dapat dicari.

Iteration (repetition) Ide : Iteration (repetition) Aproksimasi dari sebuah fungsi rumit dengan sebuah fungsilinier Pengulangan pola tindakan atau proses Pemecahan persaman : x = f(x) Pemecahan persamaan bentuk : f(x) = 0 Aproksimasi kurva dengan TANGENTnya pada titik (xo, f(xo)) Iterasi akan semakin KONVERGEN menuju solusi masalah yang bersangkutan.

Mengandung kesalahan Ada sejumlah besar iterasi. Keuntungan Dapat mencari solusi praktis (aproksimasi) dari masalah yang sulit atau bahkan tidakdapat dicari solusi eksaknya kerugian Mengandung kesalahan Ada sejumlah besar iterasi.

Peranan komputer : Kesalahan dapat diperkecil dan sejumlah besar iterasi dapat diatasi Menggunakan sistem binary digit (bit) sedangkan sehari-hari menggunakan sistem desimal

Kesalahan Harga sebenarnya dikurangi dengan harga pendekatan Kesalahan absolut (mutlak) eabs = x – x’=nilai sebenarnya-nilai pendekatan 2. Kesalahan relatif ercl= eabs/x’ Untuk bilangan yang mendekati 1, kesalahan relatif mendekati kesalahan Absolut Untuk bilangan yang tidak mendekati 1, kesalahan relatif tidak mendekati kesalahan absolut

Contoh : x = 0,00005 dengan pendekatan 0,00006 kes.absolut = - 0,00001 kes.relatif = - 1667 b. x = 1,0000 dengan pendekatan 1,0002 kes.absolut = - 0,0002 kes.relatif = - 0,0002 c. Mis: perhitungan menghasilkan : -3,60016<x<-3,60013 maka titik tengahnya = -3,600145 sehingga x dapat dituliskan : x = -3,6001450,000015. Harga mutlak kesalahan absolut = 0,000015 Harga mutlak kesalahan relatif = 0,000417%.

Jenis kesalahan : INHEREN (bawaan) disebabkan : data yang diperoleh adalah * data aproksimasi * keterbatasan alat komputasi * kalkulator atau komputer (akibat pembulatan karena jumlah digit terbatas) * pengukuran yang tidak pasti akibat salah baca * salah memasukkan data * kurang mengerti hukum fisis Pemotongan (truncation) disebabkan : pemotongan proses matematis yang tidak berhingga atau karena tidak semua bit digunakan

Chopping penghapusan digit setelah n angka signifikan Pembulatan (rounding) Untuk membulatkan sampai ke n angka signifikan, perhatikan sampai dengan (n+1) angka signifikan. Gunakan aturan sebagai berikut : Untuk bilangan yang kurang dari 5, angka n tidak berubah. Untuk bilangan yang lebih dari 5, angka n bertambah satu satuan Untuk bilangan yang tepat = 5, angka ke n bertambah satu satuan Bilangan hasil pembulatan tersebut disebut : teliti sampai n angka signifikan” Chopping penghapusan digit setelah n angka signifikan Contoh :  = 3,141592654… pembulatan 4 desimalnya : 3,1416 chopping sampai 4 desimal : 3,1415

Normalisasi : Proses penulisan bilangan dengan mengggunakan mantissa dan eksponen, dengan syarat digit terdepan mantissa (setelah tanda koma desimal)  0. Contoh : 0,0002354  ditulis : 0,2354.10-3 (4 desimal). mantissa = 0,2354 ; eksponen = -3 165,2  ditulis : 0,1652.103 (4 desimal). mantissa = 0,1652 ; eksponen = 3

Penjumlahan Dua Bilangan riil dalam komputer dilakukan dengan menyamakan eksponennya menurut pangkat yang terbesar Contoh : x =165,2 ; y = 21,00, maka : x  y = 0,1652.103  0,0210.103 = 0,1862.103. Carilah kesalahan chopping dan rounding untuk : x = 0,7324.103  0,8261.10-1 Kesalahan relatif akibat Chopping = 0,1128.10-3 Kesalahan relatif akibat rounding = -0,2374.10-4.  Kesalahan akibat rounding lebih kecil daripada kesalahan akibat chopping

Study kasus: Prosedurnya: F(x) = x4 – 9x3 – 2x2  120x – 130 untuk harga x = -10, -9, …,9,10 Mencari harga x untuk polinomial sehingga nilainya nol. Prosedurnya: Membagi dua interval (metode membagi dua interval) Mencari pendekatan akar Metode pendekatan beruntun Modifikasi metode pendekatan beruntun Metode Newton – raptoson Akar yang hampir sama besar dsb

Analisis kesalahan dalam hasil numerik dasar perhitungan yang baik Secara manual Dengan komputer Karena : harga masukan jarang mempunyai nilai eksak (pasti). didasarkan pada percobaan atau taksiran & proses numerik itu sendiri mempunyai berbagai macam kesalahan). Contoh : Pers: x2  0,4002x  0,00008 = 0 dengan menggunakan empat digit “floating point aritmatic” salah satu akarnya : x = -0,00015 (tanpa ketelitian) muncul kesalahan yang disebabkan oleh empat digit “floating point” aritmatic sebesar 25%. dengan dealapan digit = x = -0,0002 Deret Taylor : sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + … hanya berlaku untuk sudut terbatas. Kesalahan pemendekan deret yang terjadi karena menghentikan penjumlahan.