PERTEMUAN KE-2 VEKTOR 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

VECTOR QUANTITY %

VECTOR QUANTITY QUANTITY Scalar: only number/value/magnitude Ex: mass, time, temperature Vector: both of number and direction Ex: velocity, force, acceleration, displacement

Simple questions… What is 3 kg + 4 kg ? 1 kg 5 kg 6 kg 7 kg What is 3 N + 4 N ? 1 N 5 N 6 N 7 N

Trigonometri Teorema Phytagoras c2 = a2 + b2

Skalar dan Vektor Kuantitas skalar dijelaskan hanya oleh besar saja (temperatur, panjang,…) Kuantitas vektor perlu besar dan arah untuk menjelaskannya (gaya, kecepatan,…) - direpresentasikan oleh sebuah panah, panjang panah berkaitan dengan besar vektor - kepala panah menunjukkan arah vektor

Notasi Vektor Sifat Vektor Tulis tangan, gunakan tanda panah Cetak (print), gunakan cetak tebal A Sifat Vektor Dua vektor dikatakan sama apabila besar dan arahnya sama Dua vektor adalah negatif apabila besarnya sama dan arahnya berlawanan Vektor resultan adalah jumlah dari beberapa vektor

Penjumlahan Vektor Ketika menjumlahkan vektor, arah vektor dimasukan dalam perhitungan Satuan harus sama Metode grafik Metode aljabar

Metoda Grafik

Apa beda jarak & perpindahan? 200 m 150 m 250 m Jarak = 450 m C Perpindahan = 150 m

CONTOH SOAL Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 60 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 30 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! 40 km S 30 km 60 km U B 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

JAWABAN Jawab : 40 km B 30 km C A 60 km D = A + B + C 30 km 40 km 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

Putu berlari di sekeliling taman berbentuk persegi dengan sisi 10 meter dari titik A ke titik B. Berapakah jarak yang ditempuh Putu? Berapakah perpindahan Putu? A 10 meter 10 meter B

Metode Aljabar Pilih sebuah sistem koordinat dan gambarkan vektor-vektornya Cari komponen x dan komponen y masing-masing vektor Jumlahkan semua vektor komponen x = Rx Jumlahkan semua vektor komponen y = Ry Besar vektor resultan dan arahnya:

Perkalian atau Pembagian Vektor oleh Skalar Hasil perkalian atau pembagian vektor oleh skalar adalah sebuah vektor Besar vektor hanya dapat dikali atau dibagi oleh skalar Jika skalar positif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian searah dengan vektor awal Jika skalar negatif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian berlawanan arah dengan vektor awal

Komponen dari Sebuah Vektor Komponen x dari sebuah vektor adalah proyeksi vektor terhadap sumbu x Ax= cos  Komponen y dari sebuah terhadap sumbu y Ay= sin 

Perkalian antar Vektor Perkalian titik (dot product) didefinisikan sebagai Perkalian silang (cross product) didefinisikan sebagai

Sistem Koordinat Digunakan untuk menjelaskan posisi suatu titik dalam ruang Sistem koordinat (kerangka) terdiri dari - Titik acuan tetap yang dinamakan titik pusat - Sumbu-sumbu dengan skala dan keterangan Jenis Sistem Koordinat (dalam kuliah ini) - Kartesian - Polar

Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Polar sumbu x dan sumbu y (2D) Sebuah titik ditulis (x,y) Sebuah titik adalah berjarak r dari titik pusat dan bersudut  dari garis acuan ( = 0) Sebuah titik ditulis (r, ) Posisi sembarang titik : Posisi titik P :

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz R Ry Rx Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah : Vektor dalam 2 Dimensi Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vektor y Jawab : (-2,5) ujung Ry  (2,2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

CONTOH b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan y (-2,5) Ry (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  Rx Ry b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3) yA + yB yB B A + B yA B A xB xA A xA + xB 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i  4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A  B dan A  B -B A  B A Jawab : B a. A + B = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j A + B = A + B b. A  B = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j A  B = 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

KUIS 2 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut 3. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : f(x) (1.9) f(c+h) Garis singgung P f(c) x c c+h 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) Dxy Berlaku untuk turunan : Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) Dx(xn) = nXn-1 (1.11e) 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : Fungsi arus sebagai waktu Besar arus saat t = 0 Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : qA I(t) t c. b. Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qA 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. x0 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8. 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak Fluks = Medan  luas 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a. Usaha yang dilakukan : W =½kx2 W x b. 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOAL 1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : Grafik F terhadap x Perubahan Gaya F terhadap jarak Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : Fungsi potensial V sebagai fungsi x Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) Gambarkan grafik E terhadap x x (m) 10 8 4 V (volt) 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOAL 3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : Gambarkan grafik v(t) Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) Gambarkan grafik a(t) Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Posisi saat kecepatan v = 0 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOLUSI 1. a. 1. b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh x (cm) F (N) 1. b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A – 2Bx = 103 – 104x 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan : W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule 2. a. 10 8 4 V (volt) x (m) Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOLUSI 2. b. Medan listrik E(x) = = 2,5 Dengan demikian nilai E(x) konstan. x (m) E (V/m) 2,5 2. c. x (m) v (m/s) 3. a. 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = = 10 – 4t a (m/s2) 3. d. x (m) 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

SOLUSI 3. e. Fungsi posisi x(t) = Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : 3. f. x(5) = Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203

PEKERJAAN RUMAH KERJAKAN SOAL-SOAL DARI BUKU Serway And Jewett, Physics For Scientists AndEngineers 8th edition, University of California, Halaman 70 – 76 silahkan tiap kelompok mengerjakan 2 soal pilih asal tidak sama tiap kelompok ( no soal sesuai yang di buku) UTS akan diambil soalnya dari buku tsb terutama yang ditandai kotak no soalnya 11/7/2017 Fisika Dasar FR 203