MODUL VII BASIS DAN DIMENSI

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
General Vector Spaces.
Advertisements

Eigen value & Eigen vektor
RUANG VEKTOR II BUDI DARMA SETIAWAN.
Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)
RUANG VEKTOR UMUM.
Sistem Persamaan Linier
RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah..
SUB RUANG ..
InversRANK MATRIKS.
Ruang Vektor berdimensi - n
RUANG VEKTOR EUCLIDEAN
Ortogonal.
Matrik dan Ruang Vektor
Sistem Persamaan Linier
BAB VII RUANG VEKTOR UMUM.
BAB V (lanjutan) VEKTOR.
BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan).
TRANSFORMASI LINIER.
Inner Product Ortogonal dan Ortonormal Proses Gram Schmidt
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan).
RUANG PERKALIAN DALAM.
BAB 8 RUANG PERKALIAN DALAM.
VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3
2. VEKTOR 2.1 Vektor Perpindahan B
VEKTOR.
BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan).
Sistem Persamaan Linier Oleh : Sudaryatno Sudirham
RUANG VEKTOR Pertemuan 3
RUANG VEKTOR EUCLIDEAN
Standard Unit Vektor Kombinasi Linear Membangun Bebas Linear Basis
Ruang-n Euclides Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang Rn dikenal sebagai.
ALJABAR LINEAR RUANG EUCLID, RUANG VEKTOR, DAN SUB RUANG
(Tidak mempunyai arah)
P. X w A B B v v+w v+w w v v v+w w v -v v-w v v v-w -w w w
RUANG VEKTOR BUDI DARMA SETIAWAN.
RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi.
MODUL VIII NILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier dan Matriks Jilid 2
PENGANTAR VEKTOR.
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA
Aljabar Linier Pengantar vektor(geometris) Aljabar Linier Pengantar vektor(geometris) Perkalian titik vektor Proyeksi vektor Disusun oleh kelompok.
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Inner Product Ortogonal dan Ortonormal Proses Gram Schmidt
ALJABAR MATRIKS pertemuan 8 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
Lanjutan Ruang Hasil Kali Dalam
RUANG VEKTOR.
Ruang vektor real Kania Evita Dewi.
RUANG VEKTOR BUDI DARMA SETIAWAN.
RUANG VEKTOR BUDI DARMA SETIAWAN.
Definisi Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a1, a2, a3, ,
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
KANIA EVITA DEWI RUANG VEKTOR REAL.
SOAL RUANG VEKTOR BUDI DARMA SETIAWAN.
ALJABAR LINEAR Ruang Membangun (Merentang)
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
5.
Standard Unit Vektor Kombinasi Linear Membangun Bebas Linear Basis
Aljabar Linear Elementer
TRANSFORMASI LINIER Afri Yudamson, S.T., M.Eng..
RUANG VEKTOR bagian pertama
VEKTOR Dosen : ANDI MARIANI RAMLAN, S.Pd., M.Pd
PERTEMUAN 4 Vektor Dimensi 2 dan Dimensi 3.
PERTEMUAN 7 RUANG N EUCLEDIAN.
RUANG VEKTOR II BUDI DARMA SETIAWAN.
Standard Unit Vektor Kombinasi Linear Membangun Bebas Linear Basis
TRANSFORMASI LINIER BUDI DARMA SETIAWAN.
PENGANTAR VEKTOR.
Transcript presentasi:

MODUL VII BASIS DAN DIMENSI

RUANG –N EUCLIDES Ruang-n Euclides Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn. Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn. u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ] ku = [ku1, ku2,…, kun] u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn |u| = (u•u)1/2 =

Ruang Vektor Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V. u+v = v+u u+(v+w) = (u+v)+w Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0 Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0 Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V k(u+v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u 1u = u

Kombinasi Linier Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : x = k1u1+ k2u2 +… + knun dimana k1, k2,…,kn adalah skalar Contoh : Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v. Jawab Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v [8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2] Dari kesamaan vektor diperoleh 2k1 + k2 = 8 -k1 + 2k2 = 1 3k1 – 2k2 = 5 x = 3u + 2v k1 = 3 k2 = 2

Membangun Ruang Vektor Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V Contoh : Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3. Jawab Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier, x = k1u + k2v + k3w [x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier, k1 – 2k2 + k3 = x1 u, v, w membangun R3. 2k1 + 3k2 + k3 = x2 –k1 + 3k2 + 2k3 = x3

Kebebasan Linier Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier : k1u1 + k2u2 + … + knun = 0 penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. Contoh : Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15] adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3 Contoh : Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1], u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen, k1 – 2k2 + 2k3 = 0 u1, u2, u3 bebas linier –k1 + 3k2 + k3 = 0 2k1 + k2 + 3k3 = 0

Basis Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika : S bebas linier S membangun V Dimensi Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V. Contoh : Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

Contoh Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3. Jawab Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier : k1u1 + k2u2 + k3u3 = x k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier k1 + 2k2 + k3 = x1 2k1 + k2 + 3k3 = x2 2k1 + 2k2 + 3k3 = x3 Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

Tugas Khusus Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini bebas linier ? Jika tidak bebas linier tentukan nilai konstantanya. u1=(a-1,a,b) u2=(a,a+1,b-1), u3=(a-3,a-2,b+2) u1=(a+1,a-1,b,b-1), u2=(a,a+2,b-2,b), u3=(b+2,b-1,a,a+2), u4=(b+3,b-4,a+2,a-1) Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis u1=(a,a+1,b), u2=(a-1,a,b-1) u3=(b,b-1,a+3) u1=(a-1,a,b+1,b), u2=(a,a+1,b-2,b+2), u3=(b-2,b+1,a,a+2), u4=(b+2,b,a+2,a-2)

Ruang Hasil Kali Dalam Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini : [u,v] = [v,u] (aksioma simetri) [u+v,w] = [u,w] + [v,w] (aksioma penambahan) [ku,v] = k[u,v] (aksioma kehomogenan) [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0  u=0 (aksioma kepositifan) Contoh : Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka : [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal. Contoh : S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0 Catatan : Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka : x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana : v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un

Proses Gram-Schmidt Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal. Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah : Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1| Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus : Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus : Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

Contoh : Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3} untuk R3. Jawab Langkah 1. Ambil : Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1 Jadi, x2 = u2 , [u2,v1]=[1,1,-1]• Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2 [u3,v1]=[-2,1,2]• dan [u3,v2]=[-2,1,2]• = [–1,2,1] Jadi,

Koordinat dan Perubahan Basis Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk kombinasi linier, yakni x = k1u1 + k2u2 + … + knvn Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S. Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S didefinisikan, (x)S =[k1,k2,…,kn] Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh : P(5,6) B={i,j} maka x = 5i + 6j maka : (x)B = (5,6), v=[1,4] r j=[0,1] u=[2,1] S={u,v} maka x = 2u + v maka : (x)S = (2,1) i=[1,0]

Contoh : B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika (x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa [x]B. Jawab : Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x, atau : k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : 2k1 + 3k2 + k3 = x1 k1 + 2k2 + 2k3 = x2 2k1 + 2k2 – k3 = x3 Jika, (x)B = [2,1,-3], maka : Jika, x = [2,1,-3], maka :

Perubahan Basis Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan oleh persamaan : dan atau P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu : Contoh : S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3, dimana u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidak langsung.

Jawab Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x, atau : k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1, yaitu : Dengan demikian,

SOAL TUGAS KHUSUS Diketahui pula bahwa S = {u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}adalah basis-basis untuk R3, diimana : u1 = [b-4,b-5,a–2], u2 = [b-5,b-6,a-3], u3 = [a-4,a-3,b-5] v1 = [a-5,a-4,b–5], v2 = [a-4,a-3,b-4], v3 = [b-4,b-5,a-5] (1) Tentukan basis ortonormal untuk basis S dan basis B dengan proses Gram-Schmidt (2) Carilah matrik koordinat x relatif terhadap basis S [x]S dan basis B [x]B secara langsung (3) Carilah matrik koordinat [x]S dan [x]B secara tidak langsung