Program Linier : Penyelesaian Grafik Riset Operasi Program Linier : Penyelesaian Grafik

Model Matematika Kasus 1 : Perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 5 m2 kayu jati dan 2 m2 kayu pinus, dan membutuhkan waktu pembuatan selama 4 jam. Untuk membuat sebuah kursi dibutuhkan 2 m2 kayu jati, 3 m2 kayu pinus dan 2 jam kerja. Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp. 12.000,- dan keuntungan sebuah kursi Rp. 8.000,- Mebel itu ingin dibuat sebanyak-banyaknya, tapi terbatas bahan baku dan tenaga kerja. Dalam satu minggu ia hanya mampu mendapatkan 150 m2 kayu jati, 100 m2 kayu pinus serta hanya memiliki 80 jam kerja. Masalah : Berapa buah meja dan kursi yg harus ia buat melihat kendala yg ada, agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya?

Penyelesaian : Keuntungan ditentukan oleh seberapa banyak meja dan kursi yang dibuat, maka variabel keputusan sbb: x1=Jumlah meja yang harus dibuat x2=Jumlah kursi yang harus dibuat Tujuan : Memaksimumkan keuntungan, sebuah meja Rp.12000,- dan sebuah kursi Rp.8000,-, karena membuat x1 meja dan x2 kursi maka total keuntungan yang diperoleh sebesar : f(x1,x2)=12000x1+8000x2

Kendala : Dengan membuat x1 buah meja dan x2 buah kursi, maka kendala yang harus dipenuhi : 5x1+2x2≤150 2x1+3x2≤100 4x1+2x2 ≤80 x1,x2≥0 Sumber Daya Meja Kursi Persediaan Kayu Jati 5 2 150 Kayu Pinus 3 100 Jam Kerja 4 80

Kasus 2: Pada waktu menyelesaikan perbaikan rumahnya, Bp. Siang menemukan 100m2 plywood dan 80 m2 tripleks sisa yang bisa ia manfaatkan utk membuat meja dan rak buku. Untuk membuat sebuah meja diperlukan 16m2 plywood dan 8m2 tripleks, sedangkan utk membuat rak buku dibutuhkan 12m2 plywood dan 16m2 tripleks. Dengan menjual hasil pembuatannya tsb, Bp. Siang mampu memperoleh keuntungan sebesar 5 (ribu) utk setiap meja dan 4 (ribu) utk setiap rak buku. Buatlah model yang optimal bagi Bp. Siang dalam memanfaatkan plywood dan tripleks yang tersisa tsb.

Penyelesaian : Hasil diperoleh dari plywood dan tripleks yang tersisa, maka variabel keputusan sbb: x1=Jumlah meja yang harus dibuat x2=Jumlah rak buku yang harus dibuat Tujuan : Memaksimalkan hasil, sebuah meja Rp.5000,- dan sebuah rak buku Rp.4000,- maka keuntungan yang diperoleh sebesar : f(x1,x2)=5000x1+4000x2

Kendala : 16x1+12x2≤100 8x1+16x2≤80 x1,x2≥0 Sumber Daya Meja Rak Buku Persediaan Plywood 16 12 100 Tripleks 8 80

Program Linier : Penyelesaian Grafik Model Program Linier, Masalah yang dapat diselesaikan dengan program linier memiliki ciri-ciri sbb: Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif. Fungsi Objektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya. Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier.

Bentuk Standar model program linier Mencari X=(x1,x2,…,xn)≥0 yang memaksimumkan/meminimumkan f(X)=f(x1,x2,…,xn)=c1x1+c2x2+…+cnxn Dengan kendala : a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Kasus 3 : Seorang Pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C1) dan jenis standar (C2), kedua jenis cairan dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu A dan B dengan komposisi yang berbeda. Setiap liter cairan jenis superior dibuat dari campuran 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standar dibuat dari campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan 20 Unit bahan B. Untuk setiap liter cairan jenis superior yang ia buat, akan memperoleh keuntungan sebesar 30.000. Untuk setiap liter cairan jenis standar, ia akan memperoleh keuntungan 20.000. Jika diasumsikan bahwa semua cairan yang dibuat laku terjual, berapa literkah cairan masing-masing jenis harus ia buat tiap hari agar keuntungan yang didapat maksimum?

Penyelesaian : Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah jumlah (liter) cairan kedua jenis yang harus dibuat (dengan keterbatasan bahan) agar keuntungan maksimum. Karena ada 2 cairan penentu keuntungan, maka ada 2 variabel keputusan. Misalkan; x1=jumlah cairan jenis superior x2=jumlah cairan jenis standar x1 dan x2 ≥0 Harga x1 dan x2 dicari agar keuntungan maksimum

Fungsi sasaran yang akan dimaksimumkan adalah keuntungan. Untuk tiap liter cairan C1, keuntungan yang didapat adalah 30.000, maka jika dibuat x1 liter C1, keuntungan yang didapat adalah 30.000 C1. Cairan C2, keuntungan yang diperoleh 20.000, jika dibuat x2 liter C2, dan keuntungan yang didapat 20.000x2. Dengan demikian, keuntungan yang didapat jika dibuat dibuat x1 liter C1 dan x2 liter C2 adalah sebesar 30.000x1+20.000x2. Fungsi sasaran : maksimumkan f(x1,x2)=30.000x1+20.000x2

Variabel kendala: Bahan A : Setiap liter C1, membutuhkan 1 unit bahan A, maka untuk membuat x1 liter C1 dibutuhkan 1x1=x1 unit bahan A. Untuk membuat seliter C2 dibutuhkan 2 unit bahan A, karena yang dibuat adalah x2 liter C2, maka dibutuhkan 2x2 unit bahan A. Bahan Cairan Superior (C1) Cairan Standar (C2) Pasokan Maksimum A 1 2 20 B 3 Untung 30.000 20.000

Secara keseluruhan, untuk membuat x1 liter C1 dan x2 liter C2 dibutuhkan bahan A sejumlah x1+2x2 unit. Karena persediaan bahan A sejumlah 20 unit, maka jumlah bahan A yang digunakan utk membuat C1 dan C2 tidak boleh lebih dari 20 unit. Didapat kendala : x1+2x2≤20.

Bahan B: Untuk membuat x1 liter C1 dan x2 liter C2 dibutuhkan bahan B sejumlah 3x1+x2. Karena terbatasnya persediaan, hanya tersedia 20 unit, maka kendala yang harus dipenuhi adl : 3x1+x2≤20

Model untuk masalah pengusaha kimia tsb adl sbb: Maksimumkan f(x1,x2)=30.000x1+20.000x2 Kendala : x1+2x2≤20 3x1+x2≤20 x1,x2≥0

Penyelesaian grafik Kendala x1+2x2≤20 (pertidaksamaan), ubah kebentuk persamaan x1+2x2=20. Untuk menggambar garis x1+2x2=20, cari 2 titik berbeda yg memenuhi persamaan. Misal, isikan variabel = 0, utk x1=0, maka 0+2x2=20 x2=20/2 x2=10 Didapat titik A(0,10)

Variabel=0, utk x2=0, Maka x1+2(0)=20 x1=20 Didapat titik B(20,0)

x2 x1 A(0,10) B(20,0) x1+2x2=20 Garis x1+2x2=20 membagi kuadran I menjadi 2 bagian, segitiga AOB dan bidang tak terbatas.

x2 A(0,10) B(20,0) x1 Karena, x1+2x2≤20 maka x1+2x2 tidak boleh lebih dari 20, AOB (garis arsir)

Penggambaran bidang kendala 3x1+x2≤20, dibuat persamaan 3x1+x2=20 Diujikan, misal variabel=0 utk x1=0 Maka 3(0)+x2=20 x2=20 Didapat titik C(0,20) Variabel=0 utk x2=0 Maka 3x1+(0)=20 3x1=20 x1=20/3 Didapat titik D(20/3,0)

x2 x1 A(0,10) B(20,0) x1+2x2=20 C(0,20) D(20/3,0) 3x1+x2=20 Garis 3x1+x2=20 membagi kuadran I menjadi 2 bagian, yaitu segitiga COD dan bidang tak hingga.

Jika kembali diambil titik (0,0) sebagai titik uji utk memenuhi bidang pertidaksamaan 3x1+x2≤20 maka didapat 3(0)+0 ≤20 yang merupakan pertidaksamaan yang benar. Jadi penyelesaian pertidaksamaan 3x1+x2≤20 adalah segitiga COD.

x2 x1 A(0,10) B(20,0) x1+2x2=20 C(0,20) D(20/3,0) 3x1+x2=20 E Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel (perpotongan AOB dan COD), yaitu segiempat AEDO.

Kemudian mencari koordinat daerah fisibel, titik E Kemudian mencari koordinat daerah fisibel, titik E. Karena E merupakan perpotongan x1+2x2=20 dan 3x1+x2=20, maka koordinat dengan menyelesaikan kedua persamaan tsb: x1+2x2=20 (1x) x1+2x2=20 3x1+x2=20 (2x) 6x1+2x2=40 -5x1=-20 x1=4 Dengan men-substitusikan x1=4 ke persamaan x1+2x2=20 didapat x2=8 Jadi E=(4,8)

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai fungsi dititik-titik sudut daerah fisible. Nilai fungsi maksimum terjadi pada titik E(4,8) dengan nilai fungsi 28. Maka supaya keuntungan maksimum, pengusaha kimia tsb harus membuat 4 liter cairan C1 dan 8 liter C2. Keuntungan maksimum yang didapat adalah 280.000 Titik Sudut Daerah Fisibel Nilai Fungsi = f(x1,x2) = 3x1+2x2 O (0,0) 3(0)+2(0)=0 A (0,10) 3(0)+2(10)=20 E (4,8) 3(4)+2(8)=28 D (20/3,0) 3(20/3)+2(0)=20

Kasus 4 : Seorang wirausaha membuat produk shampo mobil, yaitu Washcar Extra (W1) dan Washcar Standar (W2), keduanya dibuat dengan bahan yang sama Natrium Karbonat (NK) dan Natrium Bikarbonat (NB) dengan komposisi yang berbeda. Setiap liter Washcar Extra dibuat dari 2 unit bahan NK dan 4 unit bahan NB sedangkan setiap liter Washcar Standar dibuat dari campuran 4 unit NK dan 1 unit NB. Dan setiap hari hanya mendapat 20 unit NK dan 20 unit NB dari suplier. Keuntungan yang diperoleh produk Washcar Extra sebesar Rp.150.000 dan Washcar standar Rp.100.000 Berapa liter yang harus dibuat tiap hari agar keuntungan maksimum?

End of Day