ATURAN PENENTUAN KESIMPULAN (Rule of Inference) Modul Matematika Diskrit ATURAN PENENTUAN KESIMPULAN (Rule of Inference) Pertemuan Ke-3 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tujuan Instruksional Khusus Memahami tentang konsep aturan penentuan kesimpulan dan penggunaannya Memahami tentang konsep aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements dan penggunaannya

Beberapa istilah dalam pembuktian : Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya Ex : Bumi adalah bulat Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya

Beberapa istilah dalam pembuktian : 6. Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain 7. Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudut yang sama 8. Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui

Aturan Penentuan Kesimpulan (Rules of Inference) Addition : (p)  (p v q) Simplification : (p ^ q)  (p) Conjunction : ((p) ^ (q))  (p ^ q) Modus ponens : (p ^ (p  q))  (q) Modus tollens : (~q ^ (p  q ))  (~p) Hypothetical syllogism : ((p  q) ^ (q  r ))  (p  r) Disjunctive syllogism : ((p v q) ^ (~p))  (q) Resolution : ((p v q) ^ (~p v r))  (q v r)

Contoh Aturan Penentuan Kesimpulan Addition : (p)  (p v q) Hari ini Jumat Hari ini Jumat atau kita sedang belajar Simplification : (p ^ q)  (p) Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon Conjunction : ((p) ^ (q))  (p ^ q) Tadi pagi Ayah menelepon

Contoh Aturan Penentuan Kesimpulan Modus ponens : (p ^ (p  q))  (q) Saya haus Jika saya haus, maka saya minum air Saya minum air Modus tollens : (~q ^ (p  q ))  (~p) Saya tidak minum air Saya tidak haus

Contoh Aturan Penentuan Kesimpulan Hypothetical syllogism: ((p  q)^(q  r))  (p  r) Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q) ^ (~p))  (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin

Contoh 1 Gunakan aturan penentuan kesimpulan untuk menunjukkan bahwa statement dibawah ini Randy works hard If Randy works hard, then he is a dull boy If Randy is a dull boy, then he will not get the job Mempunyai kesimpulan Randy will not get the job Jawaban: Randy works hard : p If Randy works hard, then he is a dull boy : p  q If Randy is a dull boy, then he will not get the job : q   r Kesimpulan : Modus Ponens : (p  (p  q))  (q) Modus Ponens : (q  (q   r))  ( r) Kesimpulan :  r atau Randy will not get the job

Contoh 2

Resolusi (Resolution) Resolusi : ((p v q) ^ (~p v r))  (q v r) q v r disebut resolvent Contoh: Tunjukkan bahwa ((p ^ q) v r) dan (r → s) mempunyai kesimpulan (p v s) Jawaban : (p ^ q) v r ekivalen dengan p v r dan q v r r → s ekivalen dengan ~r v s Dari dua statement (p v r) dan (~r v s) maka kesimpulannya : p v s

Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies) Fallacy of confirming the conclusion: Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Saya akan pergi Hari ini cerah Fallacy of denying the hypothesis: Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang Besok hari Kamis Saya tidak jadi pulang Alasan : karena tidak ada dalam aturan

Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements Rules of Inference Name x P(x)  P(c) Universal instantiation P(c) an arbitrary c  x P(x) Universal generalization x P(x)  P(c) for some element c Existential instantiation P(c) for some element c  x P(x) Existential generalization

Contoh 1 Tunjukkan bahwa premise : “Everyone in this discrete mathematics class has taken a course in computer science” dan “Marla is a student in this class” mempunyai kesimpulan “Marla has taken a course in computer science” Jawaban : Asumsi : D(x) adalah “x in this discrete mathematics class” dan C(x) adalah “x has taken a a course in computer science” No Tahapan Alasan 1 x (D(x)  C(x)) Premise 2 D(Marla)  C(Marla) Universal instantiation from (1) 3 D(Marla) 4 C(Marla) Modus ponens from (2) and (3)

Contoh 2 Tunjukkan bahwa premise : “A student in this class has not read the book” dan “Everyone in this class passed the first exam” mempunyai kesimpulan “Someone who passed the first exam has not read the book” Jawaban : Asumsi : C(x) adalah “x in the class” dan B(x) adalah “x has read the book” dan P(x) adalah “x passed the first exam”.

Contoh 2 No Tahapan Alasan 1 x (C(x)  B(x)) Premise 2 C(a)   B(a) Existential instantiation from (1) 3 C(a) Simplification from (2) 4 x (C(x)  P(x)) 5 C(a)  P(a) Universal instantiation from (4) 6 P(a) Modus ponens from (3) and (5) 7  B(a) 8 P(a)   B(a) Conjunction from (6) and (7) 9 x (P(x)  B(x)) Existential generalization from (8)

Latihan Apakah aturan penentuan kesimpulan yang digunakan pada argumen dibawah ini: If I work all night on this homework, then I can answer all exercises. If I answer all the exercises, I will understand the material. Therefore, if I work all night on this homework, then I will understand the material. Jelaskan aturan penentuan kesimpulan yang digunakan setiap tahap pada argumen dibawah ini: There is someone in this class who has been to France. Everyone who goes to France visits the Louvre. Therefore, someone in this class has visited the Louvre.