Sebaran Penarikan Contoh

Sebaran Nilai Statistik Statistik: karakteristik numerik yang diperoleh dari data contoh Dari sebuah populasi dapat diperoleh banyak contoh acak. Dari setiap contoh acak, dapat dihitung sebuah nilai statistik. Nilai statistik tersebut dapat berbeda-beda antar contohnya. Statistik adalah peubah acak, dan memiliki sebaran.

Z = skor normal sesuai dengan confidence level, misal kalau 95% gunakan z = 1.96 e = margin of error yang diinginkan, terkait dengan akurasi hasil dugaan p = dugaan awal proporsi yang akan dihasilkan setelah survei, jika tidak ada informasi awal gunakan p = 0.5

 populasi contoh     rata-rata 0.5 2.5 1.5 1.5

Rata-rata Contoh Misalkan terdapat populasi berupa sebaran seragam diskret sebagai berikut x 1 2 3 P(X=x) 1/4

Andaikan dari populasi ini diambil contoh (dengan pengembalian) dengan n=2. Semua kemungkinan statistik :

sebaran peluang bagi :

Rata-rata Contoh Misalkan terdapat suatu populasi dengan banyaknya anggota sebesar N, rata-rata sebesar  dan ragam sebesar 2, ditarik contoh berukuran n. Maka memiliki rata-rata sebesar  memiliki ragam sebesar Dengan Pemulihan Tanpa Pemulihan untuk N -> ∞,

Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran N(µ, 2), maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran N(, 2/n) Dengan demikian memiliki sebaran N(0, 1) atau sebaran Z

Ilustrasi Andaikan sebuah contoh acak berukuran 8 diambil dari populasi dengan sebaran N(5, 16). Maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran N(5, 2). Peluang mendapatkan contoh dengan rata-rata kurang dari 4 adalah P(xbar < 4) = P(Z < (4-5)/2) = P(Z < -0.71) = 0.23885

Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata 1 -  Lower Limit Upper Limit

Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata 1 - 

Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata 1 -  /2 Z/2 99% 0.005 2.57 95% 0.025 1.96 90% 0.050 1.645

Ilustrasi Andaikan sebuah contoh acak berukuran 25 diambil dari populasi yang menyebar normal dengan ragam 16. Jika rata-rata data contoh adalah 10, maka selang kepercayaan 95% bagi rata-rata adalah

Ilustrasi Dengan tingkat keyakinan/kepercayaan 95%, kita yakin bahwa rata-rata populasi antara 8.432 dan 11.568

Pada banyak (semua) kasus, ragam populasi atau 2 tidak diketahui Problem Pada banyak (semua) kasus, ragam populasi atau 2 tidak diketahui

Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran normal, maka memiliki sebaran t-student dengan derajat bebas (n-1)

Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata: ragam populasi tidak diketahui 1 - 

Ilustrasi Andaikan sebuah contoh acak berukuran 25 diambil dari populasi yang menyebar normal. Jika rata-rata dan ragam dari data contoh masing-masing adalah 10 dan 20, maka selang kepercayaan 95% bagi rata-rata adalah

Teorema Limit Pusat (central limit theorem) Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n dari populasi dengan sebaran tertentu yang memiliki rata-rata dan ragam masing-masing  dan 2, untuk n (n sangat besar) maka memiliki sebaran N(0, 1)

Selang Kepercayaan bagi Proporsi Proporsi (p) adalah rata-rata dari peubah biner yang nilai datanya diganti 1 untuk kejadian yang diinginkan dan 0 untuk selainnya. Untuk contoh dengan ukuran yang besar, sebaran proporsi (p) mendekati sebaran normal. Ragam dari peubah biner adalah np(1-p), sehingga ragam proporsi adalah p(1-p)

Selang Kepercayaan bagi Proporsi 1 -  /2 Z/2 99% 0.005 2.57 95% 0.025 1.96 90% 0.050 1.645

Ilustrasi Pemeriksaan terhadap 1000 bayi berusia antara 2 hingga 6 bulan di Kota Bogor mendeteksi adanya 300 bayi yang mendapat makanan dengan gizi kurang. Dengan demikian, selang kepercayaan 95% bagi proporsi bayi dengan gizi kurang adalah:

Latihan (3) Dari pemeriksaan terhadap 200 lembar papan yang dihasilkan dari sebuah pabrik pemotongan kayu, diperoleh 8 lembar papan yang cacat. Buat selang kepercayaan 90% bagi proporsi papan cacat produksi pabrik tersebut. Wawancara terhadap 400 penumpang KRL Commuter Line menghasilkan sebanyak 285 orang yang tidak setuju kenaikan harga tiket awal bulan ini. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi penumpang yang tidak setuju kenaikan harga.

n = 400 p = 285 / 400 = 71.25%  penduga titik (point estimate) 1 -  = 95%  z/2 = 1.96 Penduga selang (interval estimate)

No    Lembaga Survei Prabowo- Hatta Jokowi-JK Sumber   1 Populi Center 49,05 50,95 Suara.com 2 CSIS 48,1 51,9 Liputan6.com 3 Litbang Kompas 47,66  52,33  Kompas.com 4 Indikator Politik Indonesia 47,05 52,95 Metrotvnews.com 5 Lingkaran Survei Indonesia 46,43 53,37 Konferensi pers 6 Radio Republik Indonesia 47,32 52,68 Detik.com 7 Saiful Mujani Research Center 47,09 52,91 8 Puskaptis 52,05 47,95 Viva.co.id 9 Indonesia Research Center 51,11 48,89 okezone.com 10 Lembaga Survei Nasional 50,56 49,94 11 Jaringan Suara Indonesia 50,13 49,87