LOGIKA STRUKTUR DISKRIT K-2 Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Struktur Diskrit

Pendahuluan Studi tentang penalaran yang benar. Penggunaan Logika Pada Matematika: Untuk membuktikan teorema Pada computer science: Untuk membuktikan bahwa suatu program bekerja sesuai dengan apa yang semestinya dikerjakan Struktur Diskrit

Aminah memandang ali dengan riang. Ali menghampiri aminah dan… Aminah memandang ali dengan riang. Ali menghampiri aminah dan…. Memegang tangannya yang lembut. Dengan langkah perlahan mereka berdua berjalan menuju danau. Apa yang erjadi di antara mereka ? Struktur Diskrit

Pendahuluan Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning)  Penting untuk bernalar matematis Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Struktur Diskrit

Pendahuluan Logika: sistem yg didasarkan atas proposisi. Proposisi: pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tapi tidak kedua-duanya. Bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah benar (T) atau salah (F). Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital. Struktur Diskrit

“Gajah lebih besar daripada ayam.” Permainan “Gajah lebih besar daripada ayam.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR Struktur Diskrit

Permainan Apakah ini sebuah pernyataan? YA “650 < 200” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Struktur Diskrit

“x > 5” Permainan Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada x, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. Struktur Diskrit

“Sekarang bulan Februari dan 24 < 20.” Permainan “Sekarang bulan Februari dan 24 < 20.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Struktur Diskrit

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Permainan “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi. Struktur Diskrit

“x < y jika dan hanya jika y > x.” Permainan “x < y jika dan hanya jika y > x.” Apakah ini pernyataan ? YA Apakah ini proposisi ? YA … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR Struktur Diskrit

Contoh 1 : Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi: (a) 13 adalah bilangan ganjil (b) Depok ibukota negara RI. (c) 1 + 1 = 2 (d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f)  Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil Struktur Diskrit

Contoh 2 : Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi (a) Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Bandung? (b) Isilah gelas tersebut dengan air! (c) x + 3 = 8 (d) x > 3 Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita Struktur Diskrit

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Depok ibukota Provinsi Jawa Barat. r : 2 + 2 = 4 Struktur Diskrit

Mengkombinasikan Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q Notasi p  q, 2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p  q 3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: p   p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition) Struktur Diskrit

Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Siswa diliburkan dari sekolah p  q : Hari ini hujan dan siswa diliburkan dari sekolah p  q : Hari ini hujan atau siswa diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)   Struktur Diskrit

Contoh 4: Diketahui proposisi sebagai berikut : p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik dari : Pemuda itu tinggi dan tampan. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan. Pemuda itu tinggi atau pendek dan tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan Struktur Diskrit

 p  q  p  q  p  q   (p  q)  p  (p  q)   (p  q) Penyelesaiannya :  p  q Pemuda itu tinggi dan tampan Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan Pemuda itu tinggi atau pendek dan tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan  p  q  p  q   (p  q)  p  (p  q)   (p  q) Struktur Diskrit

Operator Logika Negasi (NOT) Konjungsi - Conjunction (AND) Disjungsi - Disjunction (OR) Eksklusif Or (XOR) Implikasi (JIKA – MAKA) Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA) Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb menggabungkan proposisi-proposisi.

Operator Uner, Simbol:  Negasi (NOT) Operator Uner, Simbol:  p p true false

Operator Biner, Simbol:  Conjunction (AND) Operator Biner, Simbol:  p q p  q true false

Operator Biner, Simbol:  Disjunction (OR) Operator Biner, Simbol:  p q p  q true false

Implikasi (JIKA - MAKA) Implikasi p  q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya. false true pq q p

a. Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah Contoh 5. a.  Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah b.  Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan berbunyi c.  Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri Struktur Diskrit

Implikasi p  q Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q p hanya jika q p cukup untuk q Syarat perlu untuk p adalah q q jika p q ketika p q diakibatkan p q setiap kali p q perlu untuk p Syarat cukup untuk q adalah p

Hipotesis dan Konklusi Pada proposisi bersyarat p  q, p dikatakan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi q dikatakan consequent or konklusi “jika p maka q" secara logika sama dengan "p hanya jika q" Struktur Diskrit

Kondisi Perlu dan Cukup Sebuah kondisi perlu/necessary condition dinyatakan oleh konklusi. Sebuah kondisi cukup/sufficient condition dinyatakan oleh hipotesis. Contoh: “Jika Amir seorang dokter maka Mary seorang perawat" Kondisi perlu: “Mary seorang perawat” Kondisi cukup: “Amir seorang dokter” Struktur Diskrit

Contoh 6. Proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk: Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Struktur Diskrit. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

Contoh 7 Ubahlah proposisi ke-3 s/d ke-8 pada Contoh 6 ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q” Struktur Diskrit

Jawaban Contoh 7 Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak” atau “Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak” Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi. Struktur Diskrit

Ingat: p  q dapat dibaca p hanya jika q Penjelasan Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Ingat: p  q dapat dibaca p hanya jika q p : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal q : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Notasi standard: Jika p, maka q Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Struktur Diskrit

Penjelasan Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. Ingat: p  q dapat dibaca q syarat perlu untuk p Susun sesuai format: Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia q: Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan p: Indonesia ikut Piala Dunia Notasi standard: Jika p, maka q Jika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesia mengontrak pemain asing kenaman. Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

“Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis” Perhatikan bahwa dalam implikasi yang dipentingkan nilai kebenaran premis dan konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun secara bahasa tidak mempunyai makna: “Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis” “Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan” Struktur Diskrit

Logical equivalence Dua proposisi dikatakan logically equivalent jika tebel kebenarannya identik. Contoh 9 : ~p  q logically equivalent dengan p  q p q ~p  q p  q T F Struktur Diskrit

Dua proposisi ini tidak logically equivalent Converse Converse dari p  q adalah q  p Dua proposisi ini tidak logically equivalent p q p  q q  p T F Struktur Diskrit

Keduanya logically equivalent. Kontrapositif Kontrapositif dari proposisi p  q adalah ~q  ~p. Keduanya logically equivalent. p q p  q ~q  ~p T F Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Operator proposisi di dalam Google Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus Contoh 13 : p  p v q p q p  p v q T F Struktur Diskrit

Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Struktur Diskrit

Hukum Logika Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Varian Proposisi Bersyarat Struktur Diskrit

Contoh 15. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Penyelesaian: Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil Struktur Diskrit

p  q logically equivalent dengan(p  q)^(q  p) Implikasi Berganda Implication berganda “p jika dan hanya jika q” dinyatakan dengan simbol p  q p  q logically equivalent dengan(p  q)^(q  p) p q p  q (p  q) ^ (q  p) T F Struktur Diskrit

Bikondisional (Bi-implikasi) Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Bila dua proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah tautologi.   Teorema: Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p, q, …)  Q(p, q, …), jika P  Q adalah tautologi. Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Disjungsi Eksklusif Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara: 1. Inclusive or “atau” berarti “p atau q atau keduanya” Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai Bahasa C++ atau Java”. 2. Exclusive or “atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”. Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”. Struktur Diskrit

Operator Biner, Simbol:  Exclusive Or (XOR) Operator Biner, Simbol:  p q p  q true false

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Struktur Diskrit

Matematika Diskrit Kuliah-1 Proposisi dan Fungsi Fungsi proposisi (kalimat terbuka) : Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih. Contoh : x - 3 > 5. Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dengan P adalah predikat dan x adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? Salah Salah Apakah nilai kebenaran dari P(8) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari P(9) ? Matematika Diskrit Kuliah-1

Matematika Diskrit Kuliah-1 Fungsi Proposisi Perhatikan fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: x + y = z. Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ? Salah Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ? Benar Matematika Diskrit Kuliah-1

Kuantifikasi Universal Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Kalimat yg dikuantifikasi secara universal : Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar. Dengan kuantifier universal : x P(x) “untuk semua x P(x)” atau “untuk setiap x P(x)” (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi.) Matematika Diskrit Kuliah-1

Kuantifikasi Universal Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti dari x (S(x)  G(x)) ? “Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai” atau “Semua mahasiswa IT pandai.” Matematika Diskrit Kuliah-1

Kuantifikasi Eksistensial Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial: Ada x di dalam semesta pembicaraan dengan P(x) benar. Dengan peng-kuantifikasi eksistensial : x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).” “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).” (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.) Matematika Diskrit Kuliah-1

Kuantifikasi Eksistensial Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti x (P(x)  G(x)) ? “Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.” atau “Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.” Matematika Diskrit Kuliah-1

Matematika Diskrit Kuliah-1 Kuantifikasi Contoh lain : Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil. Apakah arti dari x y (x + y = 320) ? “Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.” Apakah pernyataan ini benar ? Ya Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Tidak Matematika Diskrit Kuliah-1

Disproof dengan counter-example Counter-example dari x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. Pernyataan seperti x (P(x)  Q(x)) dapat di-disproof secara sederhana dengan memberikan counter-example-nya. Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.” Disproved dengan counterexample: Penguin. Matematika Diskrit Kuliah-1

Generalisasi hukum De Morgan’s (Negasi) jika P(x) fungsi proposional, maka setiap pasang proposisi dalam a) dan b) dibawah mempunyai nilai kebenaran yang sama: a). ~(x P(x)) dan x: ~P(x) “tidak benar bahwa untuk setiap x, P(x)" equivalen dengan “Ada x untuk mana P(x) tidak benar“ Matematika Diskrit Kuliah-1

Generalisasi hukum De Morgan’s (Negasi) jika P(x) fungsi proposional, maka setiap pasang proposisi dalam a) dan b) dibawah mempunyai nilai kebenaran yang sama: b) ~(x P(x)) dan x: ~P(x) “Tidak benar bahwa ada x untuk mana P(x) benar" equivalen dengan “Untuk semua x, P(x) tidak benar" Matematika Diskrit Kuliah-1