Dualitas dan Analisa Sensivitas Riset Operasi Dualitas dan Analisa Sensivitas

Dualitas Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual. Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal.

Peran Teori Dualitas Pada Analisa Sensitivitas Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model. Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya. Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problem dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.

Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut: Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal) Koefisien fungsi tujuan ………………...... Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) …………….…... Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………………………………... Variabel yi (atau xi) Bentuk …………………………………….….. yi 0 Bentuk = …………………………………..….. yi dihilangkan Variabel Xj …………………………………….. Batasan j Xj 0 …………………………………………..... Bentuk Xj 0 dihilangkan ……………………..……... Bentuk =

Konsep Dualitas Setiap persoalan linear programing mempunyai suatu linear program yang berkaitan, yang disebut “dual”. Solusi dari persoalan asli LP (Primal), juga memberikan solusi pada dualnya

Primal Dual Batasan i Variabel i Fungsi Tujuan Nilai Kanan

(masalah primal) Tabel primal-dual Merek Mesin I1 I2 Kapasitas Maksimum 1 3 9 2 4 16 7 6 30 Sumbangan laba Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 3 ≤ 9 Y2 4 ≤ 16 Y3 7 6 ≤ 30 ≥ 4 ≥ 6

Tabel primal-dual Fungsi primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 3 ≤ 9 Y2 4 ≤ 9 Y2 4 ≤ 16 Y3 7 6 ≤ 30 ≥ 4 ≥ 6 Fungsi primal-dual Tujuan : Maks Z = 4X1 + 6X2 Batasan : 3X1  9 4X2  16 7X1 + 6X2  30 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Tujuan : Min Y = 9Y1 + 16Y2 + 30Y3 Batasan : 3Y1 + 7 Y3 ≥ 4 4Y2 + 6 Y3 ≥ 6 dan Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0, Y3 ≥ 0

Fungsi primal Xj = Tingkat aktivitas ke j Cj = Laba persatuan aktivitas j Z = Laba total dari seluruh aktivitas bi = Jumlah sumber i yang tersedia aij = jumlah sumber i yang “dipakai” oleh setiap satuan aktivitas j Dengan menggantikan Zj, metode simpleks dapat diartikan mencari nilai Ym Fungsi dual Yi = kontribusi persatuan sumber i terhadap laba

Primal Minimumkan Z = 6x1 + 2x2 + x3 Fungsi batasan: Dual Maksimumkan Y= 40 y1 + 50 y2 + 60 y3 1) 2y1 + 7y2 + 7y3 ≤ 6 2) 3y1 + 8y2 + y3 ≤ 2 3) y1 + 5y2 + 3y3 ≤ 1 y1, y2, y3 ≥ 0 batasani  variabeli fungsi tujuan  nilai kanan

Tugas 1 : Primal Minimumkan Z = 3x1 + x2 Fungsi batasan: 1) x1 + 5x2 ≤11 2) x1 + 3x2 ≤ 16 3) 2x1 + 2x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0 Tugas 2 : Maksimumkan Z = x1 + 3x2 – 3x3 1) 6x1 + 8x2 + 6x3 = 20 2) 7x1 + 5x2 + 7x3 = 30 x1, x2, x3 ≥ 0

Penyelesaian Tugas 1: Primal Minimumkan Z = 3x1 + x2 Fungsi batasan: 1) x1 + 5x2 ≤11 2) x1 + 3x2 ≤ 16 3) 2x1 + 2x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0 Dual Maksimumkan Y = 11 y1 + 16y2 + 9y3 Fungsi batasan : 1) y1 + y2 + 2y3 ≥ 3 2) 5y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 1 y1, y2 ≥ 0

Penyelesaian Tugas 2 : Primal Maksimumkan Z = x1 + 3x2 – 3x3 Fungsi batasan: 1) 6x1 + 8x2 + 6x3 = 20 2) 7x1 + 5x2 + 7x3 = 30 x1, x2, x3 ≥ 0 Dual Minimumkan Y=20y1+30y2 1) 6y1+7y2 = 1 2) 8y1+5y2 = 3 3) 6y1+7y2 =-3

Tugas: 1.Primal Maksimumkan Z = 7x1 + 7x2 Fungsi batasan: 1) 2x1+ x2 ≤ 15 2) x1+ 3x2 ≤ 7 3) 7x1+ 7x2 ≤ 42 x1, x2, x3 ≥ 0 2.Primal Maksimumkan Z = 3x1 + 3x2 – 3x3 1) 4x1 + 5x2 + 6x3 = 25 2) 7x1 + 8x2 + 9x3 = 25 x1, x2, x3 ≥ 0

3. Primal Minimumkan Z = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 Fungsi batasan: 1) x1 + 5x2 + 4 x4 + x5 ≥ 6 2) 4x2 – 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 5 3) x1 – 6x2 + 3x3 + 7x4 + 5x5 ≥ 7 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 4. Primal Minimumkan Z = x1 + 2x2 + x3 1) x2 + x3 = 2 2) x1 + 3x2 + 3x3 = 6 x1, x2, x3 ≥ 0

End of Day