Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012/2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dual Problem Transpose dari LP (Primal) Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan Masalah optimal bagi sumber daya Untuk mempelajari efek perubahan- perubahan koefisien dan ketersediaan sumber daya pada hasil optimal Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep “shadow price” Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Menentukan Dual Problem dari suatu LP (Primal) LP semula dinamakan Primal Problem Jika Primal kasus max → Dual kasus min Jika Primal kasus min → Dual kasus max Dibedakan dari tipe permasalahan Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≤ Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≥ DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Secara Umum Primal Normal Max Dual: Normal min Transpose dari Primal Dengan setiap peubah mewakili setiap kendala DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP Normal Dual: min w Primal: max z (x1≥0) (x2≥0) … (xn≥0)   x1 x2 xn a11 a12 a1n ≤b1 a21 a22 a2n ≤b2 am1 am2 amn ≤bm y1 y2 … ym   (y1≥0) (y2≥0) … (ym≥0) ≥c1 ≥c2 … ≥cn   Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP non normal Dual: min w Primal: max z (x1≥0) (x2≥0) … (xn≥0)   x1 x2 xn a11 a12 a1n ≤b1 a21 a22 a2n ≥b2 am1 am2 amn =bm y1 y2 … ym   (y1≥0) (y2≤0) … (ymurs) ≥c1 ≥c2 … ≥cn   Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP Non Normal Dual: min w Primal: max z (x1≥0) (x2≤0) … (xnurs)   x1 x2 xn a11 a12 a1n ≤b1 a21 a22 a2n ≥b2 am1 am2 amn =bm y1 y2 … ym   (y1≥0) (y2≤0) … (ymurs) ≥c1 ≤c2 … =cn   Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh LP Dakota sebagai Primal x1: jumlah bangku x2: jumlah meja x3: jumlah kursi DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah Dakota Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya (aset) nya, kepada pihak lain. Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya Kayu dengan harga y1 Jam finishing dengan harga y2 Jam carpentry dengan harga y3 Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus dikeluarkan oleh pihak pembeli aset Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y1) Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y2) Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y3) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah Dakota Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’, Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan bangku lebih besar daripada harga bangku Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan meja lebih besar daripada harga meja Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan kursi lebih besar daripada harga kursi DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Harga setiap aset/sumber daya adalah yi ,i=1, 2, 3 x1: jumlah bangku x2: jumlah meja x3: jumlah kursi Harga setiap aset/sumber daya adalah yi ,i=1, 2, 3 Produk Nilai Jual Aset Yang dipakai untuk produksi Harga produk Bangku Meja Kursi 60 30 20 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual Dakota Problem Dual: min w Primal: max z (x1≥0) (x2≥0) (x3≥0)   x1 x2 x3 8 6 1 ≤48 4 2 1.5 ≤20 0.5 ≤8 y1 y2 ym   (y1≥0) (y2≥0) (y3≥0) ≥60 ≥30 ≥20   Dual DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Primal Pada Diet Problem s.t. (Calorie constraint) (Chocolate constraint) (Sugar constraint) (Fat constraint) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Diet Problem Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus dibeli Memenuhi kebutuhan nutrisi Dengan biaya minimum Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi: Kalori, coklat, gula dan lemak Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan maksimum Kendala dari sudut pandang calon pembeli: Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus lebih murah daripada harga makanan masing-masing DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

(Chocolate constraint) (Calorie constraint) s.t. (Chocolate constraint) (Sugar constraint) (Fat constraint) x1: jumlah Brownie x2: jumlah Ice Cream x3: jumlah Soda x4: jumlah Cheesecake Makanan Nilai Jual Nutrisi Harga makanan Brownie Ice cream Soda Cheesecake 50 20 y1: harga per unit kalori y2: harga per unit coklat y3: harga per unit gula y4: harga per unit lemak 30 80 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tujuan penjualan nutrisi? Kendala dari sudut pandang pembeli koleksi nutrisi kita Tujuan penjualan nutrisi? Pendapatan maksimum: - Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali harga setiap unit nutrisi DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Dual vs Primal Diet Problem Dual: max w Primal: min z (x1≥0) (x2≥0) (x3≥0) (x4≥0)   X1 x2 x3 x4 400 200 150 500 ≥500 3 2 ≥6 4 ≥10 1 5 ≥8 y1 y2 ym   (y1≥0) (y2≥0) (y3≥0) ≤50 ≤20 ≤30 ≤80  s.t. DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Weak Duality) Solusi feasibel dari dual: Solusi feasibel dari primal: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Weak Duality pada Dakota Problem Solusi feasibel dari primal. Dengan nilai z: Tidak ada solusi dual feasibel dengan w<110 Semua solusi dual feasibel mempunyai w≥110 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Solusi feasibel dari Dual. Dengan nilai w: Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680 Tidak ada solusi primal feasibel dengan z>680 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Strong Duality) Solusi optimal dari dual: Solusi optimal dari primal: Maka akan berlaku: Jika BV adalah basis optimal bagi primal maka solusi optimal dari dual adalah: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Solusi Dual Dakota Problem berdasarkan Teorema Dual: Basis optimal bagi primal Solusi optimal bagi dual: Harga setiap aset/sumber daya adalah: Kayu (y1) seharga $0 Jam finishing (y2) seharga $10 Jam carpentry (y3) seharga $10 Dengan harga jual aset: $280 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Membaca Solusi Dual dari Optimal Tableau Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal (Primal) Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min Karena peubah dual mewakili kendala dual: Tergantung pula dari tanda pada kendala (≤, ≥, =) PRIMAL kasus MAX PRIMAL kasus MIN Tanda pada kendala Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal ≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai - M Tanda pada kendala Solusi Dual dari baris nol tableau optimal ≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai + M DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Dakota’s Problem Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah koefisien si, i=1, 2, 3 Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Harga setiap aset/sumber daya adalah: Kayu (y1) seharga $0 Jam finishing (y2) seharga $10 Jam carpentry (y3) seharga $10 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Diet’s Problem Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-) koefisien ei, i=1, 2, 3, 4 z x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 a4 rhs 1 -2,75 -50 -2,5 -7,5 2,5-M 7,5-M 90 Baris 1 -0,25 0,25 Baris 2 3,75 -4 -1,75 1,75 -1 5 Baris 3 -495,6 -126,2 -46,6 36,4 126,2 46,6 -36,4 432 Baris 4 1,5 -0,5 0,5 3 BV z=90 x3=1 e4=5 e1=432 x2=3 Harga setiap aset nutrisi adalah: Kalori (y1) seharga $0 Coklat (y2) seharga $2.5 Gula (y3) seharga $7.5 Lemak (y4) seharga $0 Dengan harga jual maksimum $90 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Shadow Prices (Harga Bayangan) Shadow Price kendala ke-i suatu LP: Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai optimal z jika jumlah sumber daya (koefisien rhs) bertambah satu unit Dapat dianalisis dari konsep dual DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Shadow Price dari Dakota’s Problem Nilai optimal keuntungan Diperoleh pada ketersediaan: 48 unit kayu 20 jam finishing 8 jam carpentry Dari dual: Setiap unit kayu berharga $0 Setiap jam finishing berharga $10 Setiap jam carpentry berharga $10 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Nilai optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual: Harga bayangan finishing hour adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan finishing hour bertambah 1 jam Perbaikan z sebesar y2 = $10: Shadow Price DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Harga bayangan kayu adalah: Solusi optimal peubah dual ke-i adalah shadow price dari kendala ke-i masalah Primal Harga bayangan kayu adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan kayu bertambah 1 unit Harga bayangan carpentry hour adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan carpentry hour bertambah 1 jam DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Complementary Slackness Dengan logika: Sumber daya yang habis terpakai (si atau ei =0), pasti sangat berharga Penambahan satu unit dari sumber daya tsb akan menaikkan nilai z (harga bayangan yi>0) Sumber daya yang tidak habis terpakai (si atau ei >0), dianggap tidak berharga (harga bayangan yi=0) Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan nilai z DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Complementary Slackness Peubah primal Peubah Dual x akan primal optimal dan y akan dual optimal jika dan hanya jika: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dari Dakota’s Problem si yi Kayu bersisa 24 unit Finishing hour habis terpakai → penambahan akan meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi si Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price Tambahan kayu, $0 Tambahan finishing hour $10 Tambahan carpentry hour $10 yi DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc