Pertemuan 9 : SISTEM 2D & REVIEW MATRIKS Andriyan B. Suksmono John Adler KK-Komputasi dan Kecerdasan Buatan Sistem Komputer Universitas Komputer Indonesia-UNIKOM Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Notasi dan definisi Sinyal kontinyu dimensi-satu (1-D) dinyatakan sebagai fungsi satu variabel: f(x), u(x), s(t) dst. Sinyal tercuplik dimensi-dua (2-D) dinyatakan sebagai deretan ber-indeks satu: un, u(n), … dst Citra kontinyu dinyatakan sebagai fungsi dua variabel bebas: u(x,y), v(x,y), f(x,y) … dst Citra tercuplik dinyatakan sebagai deretan dua-(atau lebih) bilangan riil: umn, v(m,n), … dst Simbol j menyatakan bilangan khayal (-1). Konjugasi kompleks dari suatu variabel kompleks z dinyatakan sbg z* Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Fungsi-fungsi khusus Delta Dirac: Delta Kronecker TK 37404 Pengolahan Citra Departemen Sistem Komputer

Fungsi-fungsi khusus Persegiempat (rectangle) Fungsi sinc 2-D Sisir (comb) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Sistem linier 2-D H [.] y(m,n) x(m,n) Dari gbr diatas y(m,n) = H [x(m,n)]. Suatu sistem H disebut linier jika untuk sebarang skalar a1 dan a2 berlaku: H [a1x1(m,n) + a2x2(m,n)] = a1H [x1(m,n)] + a2H [x2(m,n)] = a1 y1(m,n) + a2 y2(m,n) Jika masukan fungsi delta Kronecker di (m’,n’), maka keluarannya disebut respon impuls dari sistem h(m,n; m’,n’)  H [(m - m’, n - n’)] PSF (point spread function) adalah respons impuls yang masukan dan keluarannya berupa kuantitas bernilai positif (mis. intensitas). Impuls respon bisa bernilai positif, negatif maupun kompleks. Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Sistem linier 2-D Masukan dan keluaran sebarang sistem linier dpt dinyatakan sbg: y(m,n) =m’ n’ x(m’,n’)h(m,n; m’,n’) Suatu sistem disebut invarian spasial atau invarian geser jika translasi masukan mengakibatkan translasi pada keluaran. Untuk sistem yang demikian, berlaku H [(m, n)] = h(m,n;0,0) sehingga h(m,n; m’, n’)  H [(m - m’, n - n’)] = h(m - m’, n - n’; 0,0) Maka h(m,n; m’, n’) = h(m - m’, n - n’) Hubungan masukan-keluaran sistem menjadi: Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Sistem linier 2-D Persm. terakhir menyatakan bahwa keluaran sistem merupakan konvolusi antara masukan dengan respon impuls: y(m,n) = h(m,n)x(m,n). Berikut ini ilustrasinya: n’ n’ x(m’,n’) x(m’,n’) n A h(m-m’,n-n’) Putar 180o dan geser sejauh (m,n) h(m’,n’) m’ m’ B C m Keluaran pada (m,n) adalah luas daerah overlap Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Transformasi Fourier 2-D Transformasi Fourier 2-D dan inverse-nya dinyatakan sbg f(x,y) F(1, 2) (x,y) 1 (x  x0, y  y0) exp(j2x01). exp(j2y02) exp(j2x01). exp(j2y0 2) (1 -+ 1, 2 -+ 2) exp[-(x2 + y2 )] exp[-(12 + 22 )] rect(x, y) sinc(1, 2) tri(x, y) sinc2(1, 2) comb(x, y) comb(1, 2) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Sifat-sifat transformasi Fourier Frekuensi spasial. Jika f(x,y) menyatakan nilai piksel pada koordinat ruang (x,y), maka 1 dan 2 adalah frekuensi spasial yang menyatakan perubahan intensitas terhadap jarak. Keunikan (uniqueness). Fungsi kontinyu f(x,y) dan F(1,2) bersifat unik satu sama lain. Tak ada rugi-rugi informasi akibat transformasi. Keterpisahan (separability). Perdefinisi, kernel transformasi Fourier adalah separable. Trans. Fourier 2-D dapat dinyatakan sebagai trans. Fourier 1-D berturut-turut sepanjang koordinat ruangnya. Respon frekuensi dan fungsi eigen. Fungsi eigen dari sistem yang invarian geser linier adalah eksponensial kompleks =exp[j2(1x+2y) )]. Maka keluaran sistem h(x,y) adalah: g(x,y) = H(1,2) exp[j2(1x+2y) )]. Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Sifat-sifat transformasi Fourier Teorema konvolusi. Transform Fourier dari konvolusi dua fungsi adalah perkalian transform Fourier masing-masing: g(x,y) = h(x,y)f(x,y)  G(1,2) = H(1,2)F(1,2) Korelasi dpt dinyatakan sbg: C(1,2) = H(-1,-2)F(1,2) Formula Parseval. Energi (perkalian skalar) dalam domain ruang sama dengan energi dalam domain transform.  |f(x,y)|2dxdy =  |F(1,2)|2 d1d2 Transformasi Hankel . Transform Fourier dari fungsi simetri sirkuler adalah juga sirkuler simetrik. Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Transformasi Fourier 2-D Untuk fungsi diskrit, maka pasangan transformasi Fourier 2-D (deret Fourier) adalah Transform Fourier dari respons impuls yang inavarian geser, H(1,2), disebut sebagai respons frekuensi. Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Teori Matriks Deretan 1-D dapat dinyatakan dalam vektor, sedangkan deretan 2-D dapat dinyatakan dalam matriks. Transposisi: AT = {a(m,n)}T = {a(n,m)} Aturan transposisi dan konjugasi A*T = [AT]* [AB] = BTAT [A-1]T = [AT]-1 [AB]* = A*B* Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Matriks Toeplitz dan Circulant Matriks Toeplitz T adalah matriks yang memiliki elemen konstan sepanjang diagonal utama dan sub-diagonalnya Matriks circulant C adalah matriks yang baris (atau kolomnya) merupakan pergeseran sirkular dari baris (atau kolom sebelumnya) Matriks circulant C memenuhi hubungan: c(m,n) = c((m,n) modulo N) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Contoh pemakaian Suatu sistem LSI (linear shift invariant) h(n)=n, -1n1 diberi masukan x(n) yg bernilai nol diluar 0n4. Keluarannya dinyatakan sbg konvolusi: y(n) = h(n)x(n)= 0~4h(n-k)x(k). Ini dapat dihitung dengan matriks Toeplitz Konvolusi dua deretan periodik menghasilkan deretan yang periodik juga dan dpt dituliskan y(n) = 0~(N-1) h(n-k)x(k), 0 nN-1 dimana h(-n) = h(N-4) dng N periodenya. Untuk N=4 dan h(n)=n+3 (modulo 4) dpt dinyatakan sbg Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Matriks ortogonal dan matriks uniter Suatu matriks A disebut ortogonal jika inverse-nya sama dengan transpose dari matriks tsb: A-1 = AT atau ATA = AAT = I Matriks A disebut uniter jika inverse-nya sama dengan konjugasi transpose matriks tsb: A-1 = A*T atau AA*T = A*TA = I Sifat ortogonal maupun uniter matriks sangat penting dalam transformasi citra karena mencerminkan sifat konservasi energi dari transformasi tsb. Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Medan acak diskrit Menurut representasi statistik, setiap pixel dalam citra dapat dianggap sebagai variabel acak (r.v.). Citra merupakan cuplikan dari ensemble yg dapat digambarkan sbg rapat peluang bersama dengan r.v. 262.144 buah untuk citra berukuran 512512, tentu bukan hal yang mudah. Untuk itu, ensemble cukup dinyatakan dalam momen statistik orde-satu dan orde dua. Definisi: Cuplikan deretan 2-D yang berupa r.v. disebut medan acak diskrit. Jika medan tsb representasi dari citra, maka disebut citra acak. Mean dan kovariansi medan acak kompleks u(m,n) didefinisikan: Mean: E[u(m,n)] = (m,n) Kovariansi: Cov[u(m,n), u(m’,n’)]  E[(u(m,n)-(m,n)). (u*(m,n)-*(m,n))] = ru(m,n;m’,n’) (atau = r(m,n;m’,n’) jika konteks jelas) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Medan acak diskrit Jika medan bersifat stasioner, maka berlaku: (m,n) =  = konstan ru(m,n;m’,n’) = ru(m-m’,n-n’)= r (m-m’,n-n’) Medan acak yg demikian disebut sbg medan yang invarian geser, invarian translasi spasial, homogen, atau stasioner ‘wide sense’ Jika untuk semua x(m,n) dan x(m’,n’) yang berlainan tidak berkorelasi, maka medan ini disebut medan derau putih rx(m,n;m’,n’) = x2(m,n) (m-m’,n-n’) Medan acak disebut Gaussian jika dalam setiap grid terbatas dari medan acak tsb bersifat Gaussian. Fungsi autokorelasi dan kovariansi medan acak 2-D bersifat Simetrik: r(m,n;m’,n’) = r*(m’,n’;m,n) Nonnegativ: mnm’n’x(m,n)r(m,n;m’,n’)x*(m’,n’)0, x(m,n) 0, (m,n) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Medan acak diskrit Kovariansi dari medan acak disebut separable jika fungsi tsb dapat dinyatakan sebagai perkalian fungsi kovariansi 1-D: r(m,n;m’,n’) = r1(m,m’) r2(n,n’) medan tak-stasioner r(m;n) = r1(m)r2(n) medan stasioner Fungsi rapat spektral (spectral density function/SDF) atau fungsi rapat rapat spektral daya Su(1, 2) adalah transformasi Fourier dari ru(m,n) Su(1, 2) = mn ru(m,n) exp [-j(1m + 2n) ] SDF bersifat: 1. Bernilai riil: S*(1, 2) = S*(1, 2) 2. Non-negatif S(1, 2)0, 1,2 Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Medan acak diskrit, contoh (m,n,i) 2,  1/(A(z1,z2,z3) u(m,n,i) MRF 3-D (x,y;t) diambil pd t tertentu u(m,n,i) = 1.u(m-1,n,i)+2.u(m,n-1,i) +3. u(m,n,i-1) - 1. 2. u(m-1,n-1,i)-1.3u(m-1,n,i-1) - 23u(m,n-1,i-1)+123u(m-1,n-1,i-1) + (m,n,i) Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

Minggu Depan..... Pertemuan ke-10 : transformasi citra Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra

TERIMA KASIH Departemen Sistem Komputer TK 37404 Pengolahan Citra