Distribusi Probabilitas, Normal dan Binomial Ir Tito Adi Dewanto

Jenis Distribusi 1. Distribusi Probabilitas 2. Distribusi Binomial (Bernaulli) 3. Distribusi Multinomial 4. Distribusi Normal (Gauss)

Pengantar Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

1. Distribusi Probabilitas Variabel Random : adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S. Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Misal S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} , dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”. Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3. X=0, artinya jumlah cacat adalah 0

X = 1, Artinya jumlah cacat adalah 1 X = 3, Artinya jumlah cacat adalah 3 dll Distribusi Probabilitas merupakan sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan yang disertai dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut. Mean x = E(x) = x.f(x) x.f(x) =x.P Varians = Contoh 1 : 3 Uang Logam dilemparkan ke udara, tentukan distribusi probabilitas dari percobaan tersebut? Dan tentukan peluang munculnya salah satu keluar mata angka?

Ruang Sampel 1 A 3 2 G 4 5 6 7 8 Percobaan Pertama Kedua Ketiga Jumlah mata angka (X=) 1 A 3 2 G 4 5 6 7 8

HASIL DISTRIBUSI PROBABILITAS JUMLAH MATA ANGKA X PROBABILITAS 1/8 = 0.125 1 3/8 = 0.375 2 3 TOTAL 8/8 = 1

Contoh 2: 1. Diketahui distribusi probabilitas sbb : Hitung : a) Mean x b) Variansi x

Jawab : a). Mean x = E(x) = x.f(x) = 3,30 b). Var (x) = = 12,8 – (3,3)2 = 12,8 – 10,89 = 1,91

Harapan Matematis /Expectasi /E(X) E(x) = x.f(x) =x.P Contoh Seseorang ingin membeli undian berhadiah dengan kondisi Peluang memenangkan hadiah I sebesar Rp 1.000.000 adalah 0,001 Peluang memenangkan hadiah II sebesar Rp 500.000 adalah 0,003 Peluang memenangkan hadiah III sebesar Rp 250.000 adalah 0,005 Berapakah harga yang pantas untuk harga undian tersebut ? Jawab : Harapan Matematis (Expectasi) = = (1.000.000)x(0,001)+(500.000) x(0,003)+(250.000)x(0,005) = Rp 3.750 Maka Harga yang Pantas adalah Rp 3.750 x.P

2. Distribusi Binomial Merupakan distribusi probabilitas deskrit yag paling banyak digunakan di segala bidang. Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses atau gagal, hasil pengobatan sembuh atau tidak, sehat atau sakit, dsb. Ditemukan oleh sahli matematika dari Inggris, Jacob Bernoulli, sehingga dikenal juga sebagai Distribusi Bernaulli.

Rumus : Dimana : P = probabilitas yg diinginkan p = peluang sukses, q = peluang gagal, q = 1 – p n = banyaknya peristiwa (trial) s = jumlah sukses yg diinginkan

Rata-Rata, Ragam dan Simpangan Baku Distribusi Binomial            Rata-rata = µ = n . p           Ragam = ð2 = n . p . q Simpangan Baku = ð= n : ukuran populasi p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam setiap ulangan

3 syarat yg harus dipenuhi untuk menggunakan distribusi binomial : 1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali. 2. Setiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses/gagal, laki/perempuan, sehat/sakit, setuju/tidaksetuju. 3. Peluang sukses sama setiap eksperimen. Contoh: Jika lemparan dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau yang ditanyakan adalah = kejadian SUKSES (S).

Contoh 1 Kita ingin mengetahui besarnya peluang kelahiran 2 bayi laki-laki dari 3 kelahiran. p = 0,5  q = 1-p = 0,5 n = 3 s = 2 Dengan menggunakan rumus di atas : P = n! pr qn-s s!(n-s)! p = 3x2x1 (0,5)2 0,5 2x1x1 P = 0,375

Contoh 2 distribusi binomial : Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas bahwa paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas !?

Jawab : s ≤ 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : P= 5cs psqn-s P=0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau P(s=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768 P(s=1) = 5C1 (0.20)1 (0.80)4 = 0.40960 P(s=2) = 5C2 (0.20)2 (0.80)3 = 0.20480 ---------------------------------------------------- + Maka hasil s < = 2 adalah = 0.94208

Contoh 3 Jawab Dari 100 kali lemparan sebuah koin, Tentukan a) Rata-rata jumlah burung yang muncul b) Standar Deviasi (Simpangan Baku) Jawab n = 100, p = ½ , q = ½ a) Rata-rata jumlah burung yang muncul = µ = n . p = 100. ½ = 50 b) Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Latihan : 1. Berapa probabilitas keluarnya angka 5, sebanyak 2 kali bila sebuah dadu dilambungkan 3 kali ? 2. Dari 10000 kali lemparan sebuah koin, Tentukan a) Rata-rata jumlah burung yang muncul b) Standar Deviasi (Simpangan Baku) 3. Tentukan distribusi probabilitas anak laki2 dan perempuan dalam sebuah keluarga yang punya 3 anak. 4.Peluang Ronaldo membuat Gol dalam sebuah finalti adalah 0,75, tentukan peluang Ronaldo gagal membuat 4 kali Gol dalam 5 kali kesempatan

3. Distribusi Multinomial Dalam satu peristiwa kadang menghasilkan lebih dari dua event maka distribusi yg dihasilkan disebut distribusi multinomial. Contoh : Hasil dari pengobatan  sembuh, cacat, dan mati Rumus p = n! (P1) r1 (P2) r2 (P3) r3 r1!r2!r3! Dimana : r1 + r2 + r3…rk = n p1 + p2 + p3…pk = 1

Contoh 1: Seorang dokter melakukan pengobatan sebanyak 6 kali terhadap 6 orang penderita gagal jantung dengan hasil sembuh sempurna, sembuh dengan gejala sisa, dan meninggal. Berapa besar probabilitas dari 6 kali pengobatan tersebut menghasilkan 2 orang sembuh sempurna, 2 orang sembuh dengan gejala sisa, dan 2 orang meninggal. p = n! (P1r1) (P1r1) (P1r1) r1!r2r3! p = 6! (1/3)2 (1/3)2(1/3)2 2! 2! 2! P = 0,123 = 12,3%

4. Distribusi Normal Merupakan distribusi probabilitas dengan variabel kontinu atau numerik Pertama kali diuraikan oleh Abraham de Moivre dan dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss dengan percobaannya  Distribusi Gauss.  Bila percobaan dilakukan berulang2 yg paling sering muncul adalah nilai rata2  Penyimpangan dari nilai rata2 (error) makin sedikit  terbentuk distribusi yg simetris  distribusi normal.

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

TAHAPAN PERHITUNGAN DISTRIBUSI NORMAL TRANSFORMASI NILAI X MENJADI NILAI Z-SCORE Z = X -  /  GAMBAR DISTRIBUSI NORMAL TENTUKAN NILAI Z BERADA CARI NILAI P DARI TABEL DISTRIBUSI NORMAL PAHAMI KONTEKS PERTANYAAN DALAM SOAL.

Diketahui suatu distribusi normal dengan dan CONTOH SOAL 1 Diketahui suatu distribusi normal dengan dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai antara 45 dan 62 Jawab: Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah dan Jadi: Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1 26

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh: P(45<x<62)=P(-0,5 < Z < 1,2) P(z<1,2) + P(z<0,5) = 0,5764 Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09 : 0.5 0.1915 1.2 0.3849

Contoh 2 PT Hari Jaya memproduksi barang pecah belah seperti gelas, piring, dan lain-lain. Perusahaan memberikan kesempatan kepada konsumen untuk menukar barang yang telah dibeli dalam hari itu apabila ditemui barang cacat. Selama pelaksanaan program ini, ada 10 orang rata-rata yang menukarkan barang karena cacat dengan standar deviasi 4 orang per hari. Berapa peluang ada lebih dari 20 orang (X>20) yang melakukan penukaran barang pada suatu hari?

Jawab: Nilai Z = (20-10)/4 = 2,50 P(X>20) = P(Z>2,50) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062 Jadi peluang lebih dari 20 orang yang menukarkan barang dalam 1 hari adalah 0,0062 atau 0,62%.

Contoh 3 BrainTest dari 600 capeg PDAM Jambi berdistribusi mendekati normal dengan rata-rata 115 dan simpangan baku 12. bila PDAM hanya menerima BT paling rendah 95, berapa banyak pelamar yang akn ditolak jk berdasarkan kententuan tersebut, tanpa melihat ability lainnya?

Jawab Z=-1,67 µ= 115, σ=12, n= 600, Z= x-µ / σ = 95 – 115 / 12 = -1.67 (lihat Tabel =0,4525)..... Z= 0,5 – 0,4525 = 0.0475 P (x<95) = P (z < -1.67) = 0.0475 or 4.75% Jadi banyaknya pelamar yang akan ditolak: =4.75% x 600 = 28,5 atau 29 orang.

Contoh 4: Hitung Luas Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah : Di sebelah kanan z=1.84 Antara z=-1.97 s/d z=0.86 Jawab. Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0). P(z>1.84) = 0,5 – P(z≤1.84) = 0,5 -0.4671 = 0.0329 P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) + P(z<1.97) = 0.3051 + 0.4765 = 0.7807

Contoh 5 Penerapan Distribusi Normal Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan Berumur antara 778 jam dan 834 jam Jawab. μ= 800 σ=40. P(778<x<834) x1=778  z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55 x2=834  z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85 P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85) = 0.2088 + 0.3023 = 0.5111 z1 μ z2

Soal Distribusi Normal 1. Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? 2. PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

MENGGUNAKAN MS EXCEL Contoh 9-1 Buka program MS Excel dari Start, pilih MS Excel Letakkan kursor pada cell yang ada di sheet MS Excel, dan klik icon fx, atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada function nama, Anda tekan OK.

MENGGUNAKAN MS EXCEL Anda akan menemui kotak dialog seperti berikut: NORMDIST   X ………….. (isilah nilai x, misal 600) Mean ………….. (isilah nilai mean, misal 490) Standard_dev ………….. (isilah nilai , misal 144,7 Cumulative ………….. (ketik True untuk kumulatif, dan False untuk nilai tunggal) Hasil nilai p = 0,76 akan muncul pada formula result atau tanda “=“

MENGGUNAKAN MS EXCEL Hasil nilai p = 0,7764 akan muncul pada formula result atau tanda “=“ Catatan: Bila menggunakan tabel Z pada lampiran 3, probabilitas adalah luas daerah yang diarsir, yaitu dari Z=0 ke kanan kurva (infiniti positif). Sedangkan dengan MS Excel, probabilitas adalah luas daerah dari kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud).

Thank You