VII. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (IV) TEKNIK KOMPUTASI VII. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (IV)

Materi Menggunakan iterasi dengan algoritma Jacobi Menggunakan iterasi dengan algoritma Gauss Seidel Implementasi

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (1) Penyelesaian persamaan linear dengan metode Eliminasi Gauss atau Faktorisasi LU merupakan metode langsung untuk memperoleh jawabannya. Ada metode lain yang mendasarkan pada pendekatan untuk penyelesaian persamaan linear yang diperkenalkan oleh Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode ini dimulai dengan aproximasi awal untuk pemecahan dan kemudian membangun sebuah urutan aproximasi terbaik terhadap pemecahan eksaknya.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (2) Untuk memperoleh urutan aproximasi itu dilakukan secara iteratif ( berulang-ulang). Maka metode ini dikenal sebagai metode iteratif /metode pengulangan atau metode taklangsung.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (3) Apabila kita mempunyai persamaan linear dengan n persamaan dan n bilangan tak diketahui sebagai berikut: a11x1+a12x2+a13x3+......... a1nxn = b1 a21x1+a22x2+a23x3+......... a2nxn = b2 . . . . (A) . . . . an1x1+an2x2+an3x3+......... annxn = bn

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (4) Anggaplah sistem persamaan ini persis mempunyai satu pemecahan dan bahwa entri diagonal a11, a22, ......ann merupakan bilangan taknol. Untuk memulainya, tetapkan aproximasi awal x1, x2, x3, .......xn. Tuliskan persamaan di atas menggunakan pemecahan pertama untuk x1 dalam suku-suku bilangan takdiketahui selebihnya, kemudian dengan memecahkan persamaan kedua untuk x2 dalam suku-suku bilangan takdiketahui selebihnya, selanjutnya dengan memecahkan persamaan ketiga untuk x3 dalam suku-suku bilangan selebihnya, dan seterusnya.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (5) Ini menghasilkan seperti bentuk persamaan ini: x1 = (b1-a12x2-a13x3- ..........-a1nxn)/a11 x2 = (b2-a21x1-a23x3- ..........-a2nxn)/a22 x3 = (b3-a31x1-a32x2- ..........-a3nxn)/a33 (B) . xn = (bn-an1x1-an2x2- ..........-an(n-1)xn-1)/ann Apabila nilai awal telah diketahui dan nilai itu kita substitusikan pada ruas kanan persamaan B, pada kasus tertentu sering terjadi bahwa nilai x1, x2, x3, .......xn yang kita hasilkan pada ruas kiri akan membentuk aproximasi yang bahkan lebih baik untuk pemecahan tersebut.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (6) Ini merupakan kunci penting terhadap penerapan metode Jacobi. Selanjutnya hasil aproximasi yang baru ini dapat digunakan untuk menentukan aproximasi pada iterasi ( pengulangan ) berikutnya sampai diperoleh hasil aproximasi yang terbaik. Apabila kita kesulitan untuk menetapkan nilai awal, kita dapat memulai dengan nilai xi = 0. Jika ternyata hasil aproximasi pada iterasi berikutnya malah semakin jelek, kita dapat memilih aproximasi awal yang lain, sehingga bisa kita peroleh hasil aproximasi yang lebih baik.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (7) 6.5.2. Metode Gauss-Seidel Kita dapat mengadakan sebuah modifikasi dari metode Jacobi yang sering dapat kita pakai untuk mereduksi banyaknya iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan sebuah derajat ketelitian yang diinginkan. Metode tersebut dinamakan iterasi Gauss-Seidel. Dalam metode Gauss-Seidel, pada iterasi pertama aprpximasi baru akan kita hitung sebagai berikut. Substitusikan aproximasi awal xi , x2, x3 , ..........xn ke dalam persamaan B untuk mendapatkan x1 .

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (8) Hasil x1 yang baru ini bersama-sama dengan x2, x3, ......xn segera disubstitusikan ke persamaan B untuk mendapatkan x2, lalu hasil x1 dan x2 yang baru ini bersama-sama dengan x3, x4, .........xn disubstitusikan ke persamaan B untuk mendapatkan x3 , kemudian x1, x2 , x3 yang baru ini bersama-sama dengan x4, x5 , .........xn disubstitusikan ke persamaan B untuk mendapatkan x4, dan seterusnya sampai pada iterasi pertama didapatkan harga aproximasi yang baru x1 ,x2, x3 , ..........xn . Demikian dilakukan hal yang serupa pada iterasi kedua, ketiga dan seterusnya sehingga diperoleh aproximasi yang terbaik.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (9) Dalam banyak kasus, aproximasi dengan metode Gauss-Seidel ini memberikan kinerja yang lebih sedikit ieterasinya dibandingkan dengan menggunakan metode Jacobi. Hal itu dapat ditunjukkan seperti pada contoh di berikut

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (10) Contoh Persoalan: 1) Dengan menggunakan metode Jacobi, selesaikan persamaan berikut: 20x1 + x2 - x3 = 17 x1 - 10x2 + x3 =13  -x1 + x2 + 10x3 =18 Menurut persamaan B , persamaan di atas dapat ditulis menjadi : x1 = 17/20 – 1/20 x2 + 1/20 x3 x2 = -13/10 + 1/10 x1 + 1/10 x3 x3 = 18/10 + 1/10 x1 – 1/10 x2

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (11) atau x1 (i)= 0,850 - 0,05x2(i-1) + 0,05x3(i-1) x2 (i)= -1,3 + 0,1x1(i-1) + 0,1x3(i-1) (C) x3 (i)= 1,8 + 0,1x1(i-1) - 0,1x2(i-1) Dengan memilih aproximasi awal xi(0) = 0, x2(0)= 0 , dan x3(0)= 0, maka aproximasi pertama diperoleh dengan mensubstitusikan x1,x2, dan x3 ke dalam ruas kanan persamaan C, dan didapatkan x1(1) = 0.850, x2(1) =-1.300, dan x3(1) = 1.800.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (12) Hasil aproximasi pertama (i=1) disubstitusikan lagi ke dalam ruas kanan persamaan C dan didapatkan hasil aproximasi kedua x1(2)= 1.005, x2 (2)=-1.0350, dan x3(2) = 2.015. Hasil aproximasi kedua disubstitusikan lagi ke dalam ruas kanan persamaan C dan didapatkan hasil aproximasi ketiga x1(3)= 1.0025, x2(3)=- 0.9980, dan x3(3) = 2.004 dan demikian seterusnya dilakukan berulang-ulang. Pada iterasi (pengulangan) yang ke enam ternyata telah diperoleh hasil pemecahan eksaknya , yaitu : xi (6) = 1, x2 (6) = -1, dan x3 (6) = 2.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (13) Hasil aproximasi disajikan dalam bentuk tabel seperti berikut : Tabel hasil aproximasi dengan metode Jacobi Aproksimasi Awal Aproksimasi Pertama Aproksimasi Kedua Aproksimasi Ketiga Aproksimasi Keempat Aproksimasi Kelima Aproksimasi Keenam X1 0.850 1.005 1.0025 1.0001 0.99997 1.0000 X2 -1.300 -1.035 -0.9980 -0.99935 -0.99999 -1.0000 X3 1.800 2.015 2.004 2.0000 1.9999

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (14) 2) Dengan menggunakan metode Gauss –Seidel penyelesaian contoh persoalan 1) di atas adalah sebagai berikut : Dengan aproximasi awal x1(0)= 0, x2 (0) = 0, dan x3 (0) = 0 disubstitusikan ke ruas kanan persamaan pertama dari C, diperoleh aproximasi baru x1 (1) = 0.850. Gunakan x1 yang baru ini segera dengan disubstitusikan x1 (1) = 0.850, x2 (0) = 0, dan x3 (0) = 0 ke dalam ruas kanan persamaan kedua pada C. Ini menghasilkan aproximasi baru x2 (1) = -1.215.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (15) Gunakan nilai x2 yang baru ini dengan segera dengan disubstitusikan x1 (1) = 0.850, x2 (1) = - 1.215, dan x3 (0) = 0 ke dalam ruas kanan persamaan ketiga pada C. Ini menghasilkan aproximasi baru x3 (1) = 2.0065. Jadi pada akhir iterasi pertama dari metode Gauss-Seidel aproximasi baru adalah : x1 (1) = 0.850, x2 (1) = -1.215, dan x3 (1) = 2.0065.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (16) Perhitungan pada iterasi kedua akan kita lakukan sebagai berikut : Dengan hasil aproximasi pada iterasi pertama x1 (1) = 0.850. x2 (1) = -1.215, dan x3 (1) = 2.0065 disubstitusikan kedalam ruas kanan persamaan pertama pada C, diperoleh aproximasi baru x1 (2) = 1.0111. Kemudian dengan segera x1 (2) = 1.0111, x2 (1) = - 1.215, dan x3 (1) = 2.0065 disubstitusikan kedalam ruas kanan persamaan kedua pada C, diperoleh aproximasi baru x2 (2) = -0.99824.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (17) Selanjutnya dengan segera x1 (2) = 1.0111, x2 (2) = -0.99824, dan x3 (1) = 2.0065 disubstitusikan kedalam ruas kanan persamaan ketiga pada C, diperoleh aproximasi baru x3 (2) = 2.0009. Jadi pada akhir iterasi kedua dari metode Gauss- Seidel , aproximasi baru adalah : x1 (2) =1.0111, x2 (2) =-0.99824, dan x3 (2) = 2.0009. Demikian dilakukan hal yang serupa pada iterasi ketiga , keempat , dan seterusnya sehingga diperoleh hasil aproximasi yang diinginkan.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (18) Hasil aproximasi dengan metode Gauss-Seidel itu tersaji pada tabel berikut. Ternyata dengan iterasi yang ke empat sudah diperoleh hasil eksaknya, yaitu : xi (4) = 1, x2 (4) = -1, dan x3 (4) = 2. Aproksimasi Awal Aproksimasi Pertama Aproksimasi Kedua Aproksimasi Ketiga Aproksimasi Keempat X1 0.850 1.0111 0.99995 1.0000 -1.215 -0.99824 -0.99992 -1.0000 2.0065 2.0009 2.0000

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (19) Dengan membandingkan tabel hasil aproximasi dengan metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel tersebut dapat dilihat bahwa aproximasi dengan metode Gauss-Seidel merupakan pilihan yang lebih baik. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel tersebut tidak selalu dapat kita gunakan. Dalam beberapa kasus, satu atau kedua metode ini bisa mengalami kegagalan untuk menghasilkan sebuah aproximasi yang baik terhadap pemecahan persoalan tersebut, takpeduli berapapun banyaknya iterasi yang telah dilakukan.

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (20) Pada kasus seperti ini aproximasi ini kita namakan berdivergensi. Akan tetapi jika dengan melakukan iterasi yang jumlahnya memadai , pemecahan dapat diperoleh sehingga sehigga mencapai derajat ketelitian yang kita inginkan,maka aproximasi tersebut kita namakan berkonvergensi. Kondisi yang menjamin konvergensi adalah : apabila persamaan Ax = b , dengan matrix A dominan diagonal secara tepat .

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (21) Matrix A dikatakan dominan diagonal secara tepat, apabila matrix A adalah matrix bujursangkar yang memiliki nilai mutlak masing-masing elemen diagonal lebih besar dari jumlah nilai mutlak elemen-elemen yang selebihnya pada baris yang sama. Hal ini dapat dinyatakan dengan penjelasan berikut : Jika A adalah matrix bujursangkar : A Є Rnxn , maka :

6.5. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel (22) Matrix A memenuhi syarat sebagai matrix dominan diagonal secara tepat bila : .

TUGAS (diganti dengan soal yang ditulis di papan tulis) 1. 2. Buatlah algoritma untuk metode Jacobi dan Gauss Seidel dengan batas galat (= eror) yang masih bisa ditoleransi = 10-6 Selesaikanlah dengan faktorisasi LU dengan penukaran baris bila perlu, dengan baris pertama diisi 4 digit terakhir NIM Anda.