DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-10

Proses Poisson Pada beberapa aplikasi, seringkali yang diminati adalah titik2 waktu dimana terjadi suatu event. Sbg. contoh: fungsi waktu pencatatan yg tergantung pada munculnya panggilan tilpon pada suatu kantor tilpon, dimana setiap saat ada panggilan, maka fungsi akan bertambah satu dan saat atau waktu terjadinya panggilan tersebut yang diminati. Pada beberapa kasus, yang diinginkan adalah; - X(t) dimana nilainya, yang merupakan variabel random integer, pada saat t adalah jumlah kejadian yang muncul pada selang waktu (0,t), X(0) = 0. Fungsi waktu ini merupakan contoh proses random.

Proses Poisson - X(t) dianggap sbg proses ‘counting’; setiap saat muncul satu kejadian pada waktu yg random maka proses akan bertambah satu. Berdasarkan beberapa asumsi tertentu, variabel random X(t), utk setiap saat t, akan merupakan variabel random Poisson. Proses Poisson memiliki beberapa asumsi; (i) X(0) = 0, adalah saat mulai observasi kejadian yaitu pada t = 0.

Proses Poisson (ii) Utk setiap waktu 0<t1<t2,t3<t4, var. random X(t2) – X(t1) dan X(t4) – X(t3) bersifat independen. (iii) Distribusi kemungkinan dari var. random X(t+s) – X(t) hanya tergantung pada s, yaitu panjang interval, bukan pada t. (iv) Selama ∆t  0, kemungkinan terjadi satu kejadian pada interval (t, t + ∆t) mendekati ג∆t, yaitu proporsional dengan panjang interval. Kemungkinan terjadi lebih dari satu kejadian pada interval yg sama adalah nol, atau kemungkinan muncul nol kejadian adalah 1 - ג∆t.

Distribusi Poisson Misalkan Pk(t)=besar kemungkinan dimana X(t)=k. Pada saat t + ∆t, dimana ∆t 0, maka ada 2 cara dimana X(t) memiliki nilai k, yaitu; X(t) = k dan tidak ada kejadian pada selang waktu (t + ∆t), atau X(t) = k – 1 dan terdapat 1 kejadian pada selang waktu (t + ∆t).

Distribusi Poisson Besar kemungkinan terjadinya (b) adalah ג∆t (berdasarkan asumsi (iv)) dan besar kemungkinan (a) adalah 1 - ג∆t Selama variabel-variabel random X(t+ ג∆t) – X(t) dalam X(t) bersifat independent, maka : Pk(t + ∆t) = Pk(t)(1 - ג∆t) + Pk-1(t) ג∆t ….. Pers. (1)

Distribusi Poisson ∆t 0, maka Pk(t + ∆t) - Pk(t) = - ג Pk(t) + ג Pk-1(t) ∆t Dengan k = 1,2,3,… ∆t 0, maka Lim Pk(t + ∆t) - Pk(t) = - ג Pk(t) + ג Pk-1(t) ∆t 0 ∆t Pk’ (t) = - ג Pk(t) + ג Pk-1(t) , k = 1,2,3,…

Distribusi Poisson Untuk k = 0, maka pers. (1) menjadi P0(t + ∆t) = P0(t)(1 - ג∆t) P0(t + ∆t) - P0(t) = - ג P0(t) ∆t Lim P0(t + ∆t) - P0(t) = - ג P0(t) ∆t 0 ∆t P0’(t) = - ג P0(t), dimana penyelesaian persamaan ini adalah; P0(t) = A e-גt, selama X(0)=0, P0(0) = 1, maka didapat: P0(t) = e-גt

Distribusi Poisson Untuk k = 1, P1’(t) = - ג P1(t) + ג e-ג.t, dengan menggunakan pembatas P1(0) = 0, didapat P1(t) = ג t e-גt Dari untuk k=0 dan k=1, didapat persamaan umumnya sbb.: Pk(t) = [(גt)ke-גt]/k! k = 0, 1, 2, 3, …

Contoh soal distribusi Poisson Rata-rata jumlah panggilan lewat telepon yang masuk bagian pelayanan Telkom per menit adalah 5 buah. Berapa probabilitas dalam satu menit tertentu tidak terdapat panggilan yang masuk dari pelanggan? Berapa probabilitas dalam satu menit lebih dari 5 panggilan masuk?

Rataan dan Variansi Poisson Mean dan variansi dari distribusi Poisson adalah p(x; t) keduanya memiliki nilai t

Pendekatan Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial Diberikan X adalah variabel random binomial dengan distribusi probabilitas b(x;n, p). Ketika n  , p  0, dan  = np tetap konstan, b(x; n, p)  p(x; ) Contoh: Probabilitas sebuah pesawat mengalami gangguan mesin dalam sebuah penerbangan adalah 0.001. Berapa probabilitas sebuah pesawat mengalami 5 kali gangguan mesin dalam 500 kali penerbangan berikutnya? Diketahui masing-masing gangguan adalah independen.