Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi MATEMATIKA ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP Materi Pokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Pertama Operasi Biner 2. Jenis Operasi 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi Ke Materi Kedua

Defenisi Umum Misalkan Q adalah himpunan bilangan Rasional Untuk setiap a, b ∈ Q, berlaku : (a + b) ∈ Q dan (b + a) ∈ Q (a x b) ∈ Q dan (b x a) ∈ Q (a – b) ∈ Q dan (b – a) ∈ Q Penjumlahan, perkalian, dan pengurangan merupakan contoh dari operasi biner pada Q

Definisi 1 Jika S adalah suatu himpunan yang tidak kosong maka operasi biner o (dibaca “bundaran”) pada S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasangan (a, b) ∈ S x S dengan tepat satu elemen (a o b) ∈ S.

Contoh 1 A = {2, 4, 6, 8, …} yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka + merupakan operasi biner A, sebab jumlah setiap dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A

Contoh 2 A = {1, 3, 5, 7, …} yaitu himpunan bilangan asli ganjil dan dipandang operasi -, yaitu operasi pengurangan seperti yang telah kita kenal. Perhatikan bahwa 1 – 7 = -6 dan -6 ∉ B, maka – bukan merupakan operasi biner pada B, sebab ada hasil pengurangan dua anggota B yang bukan merupakan anggota B.

Contoh 3 Perhatikan S = {0, 1, 2, 3, 4} dan pandang operasi-operasi penjumlahan dan pengurangan, maka baik penjumlahan maupun pengurangan bukan merupakan operasi biner pada S. Coba Anda Jelaskan !

Operasi pada suatu himpunan tidak hanya operasi-operasi hitung yang sudah kita kenal, seperti : +, -, x, dan :, tetapi dapat berupa apa saja asal didefinisikan dengan jelas. Misalnya : operasi o Perhatikan contoh berikut

Contoh 4 Perhatikan S = {a, b, c, d, e} dan operasi o pada C didefinisikan seperti tabel berikut : d yang dilingkari adalah hasil dari b o c, dan dapat ditulis b o c = d o a b c d e

Apa yang dapat Anda simpulkan dari contoh di atas Apa yang dapat Anda simpulkan dari contoh di atas ? Kesimpulannya Bahwa setiap x, y ∈ C , maka (x o y) ∈ C. Sehingga operasi o pada C adalah suatu operasi biner. Dan operasi biner o pada S dinyatakan sebagai “Himpunan tertutup terhadap operasi o”. Coba Anda simpulkan contoh 1, 2, 3, dan 4 diatas

Jenis-jenis Operasi Biner Perhatikan N = {1, 2, 3, 4, …} yaitu bilangan asli. Maka, 3 + 4 = 4 + 3; 5 + 10 = 10 + 5 dsb. Secara umum : Untuk setiap a, b ∈ N, maka a + b = b + a. Dengan perkataan lain bahwa operasi biner penjumlahan pada bilangan-bilangan asli bersifat komutatif

Definisi 2 Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S dikatakan komutatif bila dan hanya bila untuk setiap x, y ∈ S, maka x o y = y o x. Dalam simbol logika ditulis : Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya bila ∀ x, y ∈ S, x o y = y o x

Contoh 5 1. Apabila Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif, maka penjumlahan dan perkalian masing-masing merupakan operasi-operasi biner yang komutatif pada Q+. Tetapi pembagian pada Q+ bukan merupakan operasi biner yang komutatif. Coba Anda periksa kebenaran pernyataan-pernyataan tersebut ?

2. Pada masalah matriks P adalah himpunan semua matriks bujursangkar berordo 2. Apakah perkalian matriks pada P merupakan operasi yang komutatif ? Misal : Maka …. ?!!

Jenis-jenis Operasi Biner Perhatikan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} yaitu bilangan bulat. Maka, (3 + 5) + (-2) = 3 + (5 + (-2)) (7 + (-2)) + (-4) = 7 + ((-2) + (-4)) dsb. Secara umum : Untuk setiap x, y, z ∈ B, berlaku : (x + y) + z = x + (y + x) Hal ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat B bersifat assosiatif

Definisi 3 Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S bersifat asosiatif bila dan hanya bila untuk setiap x, y, z ∈ S, berlaku (x o y) o z = x o (y o z). Dengan simbol logika dituliskan : Operasi biner o pada S bersifat asosiatif bila dan hanya bila ∀ x, y, z ∈ S, (x o y) o z = x o (y o x)

Contoh 6 Pada himpunan bilangan asli, baik perkalian maupun penjumlahan bersifat asosiatif. Periksalah kebenarannya ! Perhatikan tabel contoh 4 ! (b o c) o d = d o d = b b o (c o d) = b o a = b, dst. sehingga operasi biner o pada S = {a, b, c, d, e} yang didefinisikan seperti pada tabel bersifat asosiatif.

Perhatikan C = {0, 1, 2, 3, …} yaitu himpunan bilangan cacah Perhatikan C = {0, 1, 2, 3, …} yaitu himpunan bilangan cacah. Misal : 2 + 0 = 0 + 2 = 2 7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst. Secara umum Untuk setiap x ∈ C berlaku x + 0 = 0 + x = x. Dalam hal ini 0 disebut elemen identitas (elemen netral) dari C terhadap penjumlahan.

Definisi 4 Suatu himpunan S dikatakan mempunyai elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada elemen u ∈ S sedemikian hingga untuk setiap x ∈ S berlaku : x o u = u o x = x.

Contoh 7 B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Elemen identitas dari B terhadap penjumlahan adalah 0, sedangkan elemen identitas dari B terhadap perkalian adalah 1. Coba Anda periksa kebenaran tersebut ! Misalkan P adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berordo 2. Kita ketahui bahwa Maka kesimpulannya dari contoh di atas !

Teorema Teorema 1 Jika himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas maka elemen identitas itu tunggal Teorema 2 Misalkan o adalah suatu operasi biner pada himpunan S. Jika x ∈ S mempunyai invers terhadap operasi o, maka invers dari x tersebut tunggal

Dari Teorema 1 Bukti Perhatikan himpunan bilangan bulat B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0; (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0 dsb. Kita telah mengetahui bahwa o adalah elemen identitas dari B terhadap penjumlahan. Jika diambil sembarang a ∈ B, maka ada b ∈ B sehingga a + b = b + a = 0, yaitu b = -a. Maka dikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan dari a pada B.

Definisi 5 Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas u. Suatu elemen y ∈ S terhadap operasi biner o bila dan hanya bila x o y = y o x = u. Invers dari x terhadap suatu operasi biner ditulis x-1 (dibaca “invers x”)

Contoh 8 Q adalah himpunan bilangan rasional. Invers penjumlahan dari ½ adalah - ½. Sebab ½ + (- ½) = (- ½) + ½ = 0, dan 0 adalah elemen identitas Q terhadap penjumlahan. Sedang invers perkalian dari ½ adalah 2, sebab 2 x ½ = ½ x 2 = 1 dan 1 adalah elemen identitas Q terhadap perkalian. Perhatikan kembali contoh 4, yaitu operasi biner o pada S yang didefinisikan menurut tabel. S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas a. Buktikan !

Dari Teorema 2 Bukti Misalkan invers dari x ∈ S terhadap operasi biner o adalah x1 dan x2 dengan x1 , x2 ∈ S, dan misalkan elemen identitas S terhadap operasi biner o adalah u. Karena x1 adalah invers dari x maka x o x1 = x1 o x = u. Demikian pula, karena x2 adalah invers x maka x o x2 = x2 o x = u. Maka x1 = x2. Ini berarti bahwa invers dari x terhadap operasi biner o adalah tunggal.

Definisi 6 Misalkan operasi-operasi biner ∆ dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S. 1. Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku x ∆ (y o z) = (x ∆ y) o (x ∆ z), maka pada S berlaku sifat distributif kiri ∆ terhadap o 2. Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku (y o z) ∆ = (y ∆ x) o (z ∆ x), maka pada S berlaku sifat distributif kanan ∆ terhadap o.

Contoh 9 Misalkan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dan dipandang operasi penjumlahan seperti yang sudah kita kenal, sedang operasi ∆ pada B didefinisikan jika a, b ∈ B maka a ∆ b = a2 b. Ambil sembarang a, b, c ∈ B maka a ∆(b + c) = a2 (b + c) = a2 b + a2 c dan (a ∆ b) + (a ∆ c) = a2 b + a2 c Jadi a ∆(b + c) = (a ∆ b) + (a ∆ c). Maka pada B berlaku sifat distributif kiri ∆ terhadap penjumlahan.

Sedangkan (a + b) ∆ c = (a + b)2 c = a2 c + 2abc + b2 c dan (a ∆ c) + (b ∆ c) = a2 c + b2 c. Maka (a + b) ∆ c ≠ (a ∆ c) + (b ∆ a). Ini berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat distributif kanan operasi ∆ terhadap penjumlahan.

2. Misalkan M adalah himpunan semua matriks bujursangkar berordo 2, dan dipandang operasi perkalian dan penjumlahan matriks. Tunjukkan dengan contoh Bahwa A (B + C) = AB + AC yaitu sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan matriks dan (A + B) C = AC + BC, yaitu sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan matriks pada M.

Latihan Soal 1 Tunjukkan dengan tabel bahwa perkalian merupakan operasi biner pada himpunan S = {1, -1, i, -i} dengan i = √-1 Tunjukkan bahwa S terhadap perkalian (a) bersifat komutatif (b) bersifat asosiatif (c) mempunyai elemen identitas, dan (d) setiap elemennya mempunyai invers.

Latihan Soal 2 Perhatikan tabel berikut yang merupakan definisi dari operasi o pada himpunan S = {a, b, c, d} Apakah o merupakan operasi biner pada S? Jelaskan ! Apakah o pada S bersifat komutatif ? Jelaskan ! Apakah o pada S bersifat asosiatif ? Jelaskan ! Apakah S terhadap operasi o mempunyai elemen identitas ? Apakah juga mempunyai invers ! o a b c d

Latihan Soal 3 Perhatikan tabel berikut yang merupakan definisi dari operasi ∆ pada himpunan S = {a, b, c, d} Apakah ∆ merupakan operasi biner pada S? Jelaskan ! Apakah ∆ pada S bersifat komutatif ? Jelaskan ! Apakah ∆ pada S bersifat asosiatif ? Jelaskan ! Apakah S terhadap operasi ∆ mempunyai elemen identitas ? Apakah juga mempunyai invers ! ∆ a b c d

Latihan Soal 4 Perhatikan tabel soal no. 2 dan tabel soal no. 3, benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ! (a) a o (d ∆ c) = (a o d) ∆ (a o c) (b) (d ∆ c) o a = (d o a) ∆ (c o a) (c) d ∆ (c o b) = (d ∆ c) o (d ∆ b), dan (d) (c o b) ∆ d = (c ∆ d) o (b ∆ d)

Thank You ! Selamat Belajar