Tentang Operator, Fungsi Eigen, dan Nilai Eigen,
Operator  Fungsi f  f(x) d/dx f f´ 3 3f cos ( ) x cos x √ √x Definisi umum operator:  f(x) = g(x) Yakni, operator adalah suatu aturan yang mentransformasikan suatu fungsi f menjadi fungsi yang lain. Kita tuliskan sebuah operator dengan notasi ‘topi’ atau circumflex ^. Contoh: Operator  Fungsi f  f(x) d/dx f f´ 3 3f cos ( ) x cos x √ √x
Urutan sangat penting, pertama operator B bekerja pada fungsi f(x), dan diikuti dengan operator  bekerja pada produk (Bf).
Urutan operasi harus dipatuhi! Sifat yang sangat penting, tinjau hubungan komutasi: Operator tidak perlu memenuhi hukum komutatif Urutan operasi harus dipatuhi!
Kuadrat dari suatu operator didefinisikan sebagai Produk dari operator tersebut dengan dirinya sendiri
Contoh operator non-linier: Kita akan banyak menggunakan operator linier yang memenuhi aturan: Contoh operator non-linier:
Untuk operator linier, berlaku identitas:
Hubungan komutasi umum:
dapat berupa operator diferensial ataupun operator multiplikatif
Tinjau kembali Persamaan Schrödinger Dapat dituliskan: Atau: dengan adalah hamiltonian mekanika kuantum
Fungsi Eigen Persamaan Schrödinger: adalah contoh persamaan
 f(x) = k f(x) Jika untuk suatu operator  terdapat suatu fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga:  f(x) = k f(x) dengan k adalah konstanta, maka f(x) merupakan fungsi eigen dari  dengan nilai eigen k Contoh: Jadi exp [2x] merupakan fungsi eigen dari operator d/dx dengan nilai eigen 2
Tinjau  suatu operator linier, memenuhi (c konstan): dengan fungsi eigen f dan nilai eigen k Tunjukkan bahwa cf juga merupakan fungsi eigen dari  dengan nilai eigen k yang sama, apabila c konstan Bukti:
dan nilai eigen yang terkait kn sedemikian rupa sehingga: Suatu operator linier  akan memiliki himpunan fungsi eigen: dan nilai eigen yang terkait kn sedemikian rupa sehingga: Himpunan fungsi eigen bersifat ortonormal, yaitu:
exp [ikx] ik -k2 cos kx sin kx Contoh operator beserta fungsi eigen terkait Operator Fungsi Eigen Nilai eigen exp [ikx] ik -k2 cos kx sin kx
Ringkasan: 1. Persamaan nilai eigen: 2. Definisi umum operator: Â f(x) = g(x) 3. Opertor memenuhi sifat-sifat:
4. Operator linier memenuhi: 5. Operator linier  mempunyai set fungsi eigen: dan nilai eigen terkait kn, sedemikian rupa sehingga: Dengan fn bersifat ortonormal: