Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

RELASI DAN FUNGSI Kompetensi Dasar : Indikator : Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Indikator : Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan contohnya

A B RELASI DAN FUNGSI 2 4 6  1  2  3 8  4 Perhatikan anak panahnya 2 4 6  1  2  3 8  4 relasinya adalah “dua kali dari”

rumus pemetaannya f(x) = RELASI DAN FUNGSI x 2 4 6 8 f(x) 1 2 3 4 f(x)  2  4 6 8 rumus pemetaannya f(x) = x

RELASI DAN FUNGSI Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi : Diagram panah Himpunan pasangan berurutan Diagram Cartesius Contoh: Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil, sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan:

RELASI DAN FUNGSI Jawab: a. Diagram panah c. Diagram Cartesius Y O 1 2 “banyak roda dari” 1. . becak becak • 2. mobil • . mobil 3. motor • . motor 4. sepeda . sepeda • 5. . bemo bemo • A O 1 2 3 X 4 B b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak) (3, bemo), (4, mobil )}

RELASI DAN FUNGSI Pengertian Fungsi : . A B f Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B . . A B f

Beberapa cara penyajian fungsi : RELASI DAN FUNGSI Beberapa cara penyajian fungsi : Dengan diagram panah f : D  K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya, un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n Dengan diagram Kartesius Himpunan pasangan berurutan Dalam bentuk tabel

Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2 RELASI DAN FUNGSI Contoh : grafik fungsi Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2 dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. Y (–2,4) (2,4) 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2. Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. (–1,1) (1,1) X O (0,0)

Beberapa Fungsi Khusus RELASI DAN FUNGSI Beberapa Fungsi Khusus 1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b  x < b + 1, b bilangan bulat, xR} Misal, jika 2  x < 1 maka [[x] = 2 6). Fungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan

RELASI DAN FUNGSI Jenis Fungsi 1. Injektif ( Satu-satu) Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2). 2. Surjektif (Onto) Fungsi f: AB maka apabila f(A)  B dikenal fungsi into. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto 3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”

FUNGSI LINEAR 1.Bentuk Umum Fungsi Linear Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta. Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta 2. Grafik Fungsi Linear Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 : 1. Dengan tabel 2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

FUNGSI LINEAR Contoh : Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas . Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. {x \-1 x 2, x R}. Jawab a. Ambil sembarang titik pada domain X -1 1 2 Y = 4x-2 -6 -2 2 6 Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

FUNGSI LINEAR Y X O b. c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 ) 6 • 2 • Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0) X O 1 2 -2 -1 Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2) • -2 • -6

FUNGSI LINEAR 3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien : (i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m. (ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m= (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah m = Contoh : Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 7 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

FUNGSI LINEAR Jawab : 1a. Y = 3x – 4 gradien = m = 3 b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5 m = = - 2. m = = = 1

FUNGSI LINEAR 4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah y – y1 = m ( x – x1 ) Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah = Contoh 1 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2 Jawab : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3

FUNGSI LINEAR Contoh 2 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4) Jawab : = 3(y – 3) = 1(x + 2) 3y – 9 = x + 2 3y - x – 11 = 0

FUNGSI LINEAR 5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2 Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0

FUNGSI LINEAR Jawab : 1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0 maka Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0 Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0

FUNGSI LINEAR 2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0. Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) y – 5 = -½ (x + 3) y – 5 = -½x - 2y – 10 = -x – 3 x + 2y – 10 + 3 = 0 x + 2y – 7 = 0 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

FUNGSI KUADRAT 1.Bentuk umum fungsi kuadrat y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c  R dan a  0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris 2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat Berdasarkan nilai a (i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum. (ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.

FUNGSI KUADRAT Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X.

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X (ii) a > 0 D = 0 X (iii) a > 0 D < 0 X (i) a > 0 D > 0 X X (v) X (iv) X (vi) a < 0 D = 0 a < 0 D > 0 a < 0 D < 0

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat : (i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0) (ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0) (iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik Persamaan sumbu simetri adalah x = Koordinat titik puncak / titik balik adalah (iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)

FUNGSI KUADRAT Contoh : Jawab : Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5. Jawab : (i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0) x2 – 4x – 5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 atau x = 5 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0). Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 y = -5 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

FUNGSI KUADRAT (iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9). (iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8. Jadi, titik bantunya (1, -8).

FUNGSI KUADRAT Grafiknya : Y • • X -1 0 1 2 3 4 5 • • • • • -1 -2 -3 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 • • • • •

FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5) Jawab: f(x) = ax2 + bx + c f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4 a + b + c = -4 . . . 1) f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3 0 + 0 + c = -3 c = -3 . . . 2) f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5 16a + 4b + c = =5 . . . 3)

FUNGSI KUADRAT Substitusi 2) ke 1) a + b – 3 = -4 a + b = -1 . . . 4) Dari 4) dan 5) diperoleh : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1 Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

FUNGSI KUADRAT Contoh : Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut . Contoh : Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

FUNGSI KUADRAT Jawab : Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi : f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1) Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi : 3 = a(0 - 1)(x + 3) 3 = -3a a = -1 Persamaan fungsi kuadratnya menjadi : Jadi fungsi kuadratnya adalah

FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.

FUNGSI KUADRAT Contoh : Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7) Jawab : f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9) f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1) Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = 1

FUNGSI EKSPONEN – 3  –2  – 1  0  1  2  3  ... n  f(x) =2X X 2– 3 2–2 f(x) =2X X 2– 1 20 21 22 23 ... 2n D = domain K = kodomain

Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: FUNGSI EKSPONEN X O Y Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: (0,1) (1,2) (2,4) (3,8) (4,16) (5,32) x 1 2 3 4 5 F(x)=2x 1 2 4 8 16 32

FUNGSI EKSPONEN Grafik f(x) = dan g(x) = x 1 2 g(x ) = X Y O 1 2 3 –1 –3 –2 –1 4 5 6 7 x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ

FUNGSI EKSPONEN Sifat x 1 2 g(x ) = Kedua grafik melalui titik (0, 1) Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y X Y O 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 6 7 Grafik f: x  2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x  x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif) Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai untuk berbagai nilai x real Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

FUNGSI LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen. Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut : Untuk a > 1, a R

FUNGSI LOGARITMA Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai berikut : o Y X

FUNGSI LOGARITMA Contoh 1 : Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen 8 = 23 ¼ = 2-2 Jawab : 8 = 23 2 log 8 = 3 ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2 Contoh 2 : Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen 4 = 2 log 16 -6 = 2 log Jawab : 4 = 2log 16 24 = 16 -6 = 2log 2-6 =

FUNGSI LOGARITMA Contoh 3 : Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2 Jawab : Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut. x f(x) = 2 log x+2 ¼ ½ 1 1 2 2 3 4 4 5 8

FUNGSI LOGARITMA Grafiknya Y 6 5 4 3 2 1 X O -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Grafik y = sin x FUNGSI TRIGONOMETRI 1 amplitudo 900 1800 2700 3600 -1 900 1800 2700 3600 -1 1 periode

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = 2 sin x Periode 3600 2 Amlpitudo 2 1 900 1800 2700 3600 -1 Y=sin x -2

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin 2x pereode 1 -1 900 1800 2700 3600 amplitudo 450 1350 2250 3150 Y=sin x

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = cos x 1 amplitudo -900 -900 00 900 1800 2700 -1 1 periode

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = 2cos x periode 2 -900 1 -1 00 900 1800 2700 amplitudo Y=cos x -2