MODUL VI SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) PRAYUDI

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn yang dinyatakan dalam bentuk : dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis. Contoh Persamaan linier : (1). 2x1 + 4x2 = 10 (2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5 Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk : dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yang tidak diketahui, aij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan bj konstanta yang diketahui

Bentuk Matrik SPL CONTOH : Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi, AX=B atau, SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi : (a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0 (b). SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol CONTOH : SPL non homogen Bentuk matrik SPL

KONSISTENSI SPL Perhatikanlah contoh berikut x+2y = 4 ; x = 4 – 2y Kasus 1. SPL berbentuk x + 2y = 10 x – y = 4 Dalam bentuk grafik solusinya adalah x+2y = 10 (6,2) SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2 Kausus 2. SPL berbentuk : x + 2y = 4 2x+ 4y = 8 x+2y = 4 ; x = 4 – 2y 2x + 4y = 8 SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t Kasus 3. SPL benbentuk : x + 2y = 4 x + 2y = 8 Dalam grafik adalah : x+2y = 8 x+2y = 4 SPL tidak konsisten, tidak ada solusi

SISTEM PERSAMAAN LINIER BAGAN KONSISTENSI SPL SISTEM PERSAMAAN LINIER AX=B SPL NON HOMOGEN AX = B SPL HOMOGEN AX = 0 SPL HOMOGEN KONSISTEN SPL NH TIDAK KONSISTEN SPL NH KONSISTEN TRIVIAL r(A)=r(A,0)=n xi=0 NON TRIVIAL r(A)=r(A,B)=r<n xi0 SOLUSI ADA PARAMETER r(A)=r(A,B)=r<n SOLUSI TUNGGAL r(A)=r(A,B)=n

Metode Solusi SPL Metode Eliminasi Gouss Metode Eliminasi Gouss Jourdan Metode Crammer Metode Invers Matrik Metode Dekomposisi Matrik Metode Gouss Seidel Metode Jacobi Metode Numerik Solusi dengan program komputer

METODE ELIMINASI GOUSS OPERASI ELEMENTER BARIS : (1). Hi  k Hi : Kalikan sembarang baris ke-I dengan konstanta tak nol k (2). Hi  Hj Tukarkanlah semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j (3). Hi  Hi + kHj Kalikanlah baris ke-j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I RANK MATRIK Rank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi. MATRIK ESELON BARIS Matrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : (1). Jika suatu baris yang elemenya tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot (2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik (3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi. (4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah

CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut ini Iterasi-3 1 2 3 4 5 8 7 H3=(1/a33)H3 H4=H4-(a43/a33)H3 H5=H5-(a53/a33)H3 Matrik Asal 1 2 3 4 5 8 6 7 9 10 15 12 23 Iterasi-1 1 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H1 -1 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H1 -5 -14 H3=H3-(a31/a11)H1 7 H4=H4-(a41/a11)H1 H5=H5-(a51/a11)H1 Dari matrik eselon diperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol matrik eselon = 3 (2). Rank matrik A, r(A)=3 Iterasi-2 1 2 3 4 5 8 7 H2=(1/a22)H2 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H2 H4=H4-(a42/a22)H2 6 14 H5=H5-(a52/a22)H2

METODE ELIMINASI GOUSS Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu : AX = B Langkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb : (1). Bentuk matrik lengkap [A,B] (2). Reduksilah matrik lengkap [AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris (3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya. (4). Konsistensi SPL (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL konsisten solusi tunggal (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPL konsisten solusi memuat parameter (c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi (5). Solusi SPL (a). Jika SPL konsisten, susunan SPL dari matrik eselon (b). Tentukan solusi SPL dengan cara eliminasi berulang dari xn ke x1

CONTOH : TIDAK KONSISTEN Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : Operasi elementer baris Reduksi x1 Reduksi x2 Jadi, Analisis (1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehingga r(A) = 2 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga, r(A,B)=3 (3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi H3  H3+H2 H2  H2 – 2H1 H3  H3 – 1 H1

CONTOH : SOLUSI PARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : Reduksi x1 1 2 -1 3 H1=(1/a11)H1 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H1 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H1 -4 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 3 -2 8 -6 H2=(1/a22)H2 6 H3=H3-(a32/a22)H2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 3 -2 8 -6 6 H3=(1/a33)H3 H4=H4-(a43/a33)H3

SOLUSI : SPL Parameter SPL dari matrik eselon Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=1) parameter Solusi : x4 = t, t parameter x3 = –2 – 6x4 = –2 – 6t x2 = –6 + 2x3 – 8x4 = –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t = – 10 – 20t x1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4 =1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t = 19 + 31t

CONTOH : SOLUSI PARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : Reduksi x1 1 2 3 4 H1=(1/a11)H1 -2 H2=H2-(a21/a11)H1 -3 -5 H3=H3-(a31/a11)H1 -1 H4=H4-(a41/a11)H1 H5=H5-(a51/a11)H1 1 2 3 4 x1 5 6 x2 7 x3 9 x4 8 10 x5 Reduksi x2 1 2 3 4 -2 H2=(1/a22)H2 -1 -3 H3=H3-(a32/a22)H2 H4=H4-(a42/a22)H2 H5=H5-(a52/a22)H2 Reduksi x3 1 2 3 4 -2 -1 H3=(1/a33)H3 H4=H4-(a43/a33)H3 H5=H5-(a53/a33)H3

SOLUSI : SPL Parameter SPL dari matrik eselon Solusi : x5 = s, s parameter x4 = t, t parameter x3 = –3x4 + x5 = –3t + s x2 = 2x3 + 2x4 – x5 = 2(–3t + s) + 2t – s = – 4t + s x1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5 = –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s = 13t – 7s Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=2) parameter

CONTOH : SOLUSI TUNGGAL Carilah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL adalah : Reduksi x1 1 2 -1 4 H1=(1/a11)H1 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H1 -2 5 -10 H3=H3-(a31/a11)H1 3 11 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 4 -2 8 6 H2=(1/a22)H2 13 H3=H3-(a32/a22)H2 17 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 4 -2 8 6 13 H3=(1/a33)H3 H4=H4-(a43/a33)H3

Reduksi x4 1 2 -1 4 -2 8 6 13 H4=(1/a44)H4 SPL dari matrik eselon Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=4, sehingga r(A)=4 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4, sehingga r(A,B)=4 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka SPL konsisten dan solusi tunggal Solusi : x4 = 2 x3 = 13 – 6(2) = 1 x2 = 6 + 2x3 – 8x4 = 6 + 2(1) – 8(2) = – 8 x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4 = 2 – 2(–8) + 1 – 4(2) = 11

TUGAS : SPL Tentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:

METODE CRAMMER Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, dimana Di = det(Ai) determinan matrik berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu

CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Bentuk matrik SPL, AX=B adalah : Karena,

CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Mengingat,

METODE INVERS CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode inveres : Jawab : Karena, Maka solusi SPL adalah : Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu : X = A–1B

CONTOH : Carilah solusi SPL berikut :

SPL : METODE DEKOMPOSISI Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah : (1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky). (2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan : LY=B, dengan eliminasi maju (y1, y2, y3, …,yn) (3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan UX=Y dengan eliminasi mundur (xn, xn-1, …,x2,x1). Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi : LUX = B atau, L Y= B UX = Y

CONTOH : Menghitung Y dari LY = B Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi : Jawab : Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah : Menghitung Y dari LY = B Dari SPL diperoleh : 2y1 = 16  y1=8 3y1 – y2 = 12  y2=12 4y1 – 2y2 + 2y2 = 12  y3 = 2 Menghitung X dari UX = Y Dari SPL diperoleh : x3 = 2  x3=2 x2 + 2.5x3 = 12 x2=7 x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–9

CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi : Menghitung Y, LY=B Dari SPL diperoleh 2y1 = 16 y1=8 2y1 + y2=10  y2=–6 3y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=9 4y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24  y4= –7 Jawab : Mengingat, dekomposisi A Menghitung X, dari UX=Y Dari SPL diperoleh : x4 = –7 x3 + 0.5 x4 =9  x3=12.5 x2 – x3 – x4 = –6  x2 = –0.5 x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8  x1= –8.5

SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMAS SPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk, SPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,

LANGKAH-LANGKAH SOLUSI (1). Hitung Y dari LY=C, yaitu : (2). Hitung X dari UX=Y, dari : ALGORITMA THOMAS : (1). Dekompoisisi DO k=2, n ek=ek/fk–1 fk= fk – ek.gk–1 END DO (2). Forward Substitusi DO k=2,n ck=ck – ek.ck–1 (3). Back Substitusi xn=cn/fn DO k=n–1,1, –1 xk=(ck– uk,xk+1)/fk

CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambar Pada kondisi, R1=10, R2=25, R3=50, R4=40, R5=25, E1=12 V, E2=24V dan, E3=60V, hitunglah arus listrik dalam tahanan. R3 R2 – + E1 E2 E3 Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut :

Forwart Subsitusi Back Subsitusi

SOAL-SOAL LATIHAN Carilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dan dekompoisisi Soal 1 Soal 2

SOAL-SOAL LATIHAN 2. Perhatikan rangkaian berikut ini : 1.Perhatikan statika struktur berikut Diketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N, a). Susunlah sistem persamaan linier dengan variabel yang tidak diketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2 b).Selesaikanlah SPL pada (a) dengan metode eliminasi Gouss Joudan dan dekomposisi P 45O V5 P1 F1 F2 P2 45O 3aO 6bO 45O V6 F3 R1 R2 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5 dan i6. b). Pada kondisi R1=1a, R2=10 ,R3=2b , R4=20 , R5=3a  R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.

3. Perhatikan rangkaian berikut ini 4. Untuk membuat satu bangunan, seorang tukang batu membutuhkan bahan pasir, kerikil halus, dan kerikil kasar masing-masing sebanyak 4800, 5810, dan 5690 meter kubik. Terdapat empat sumber yang dapat digunakan, dan komposisinya sebagai berikut Pasir Kerikil hls Kerikil ksr % % % ------------------------------------------- Sb1 52 30 18 Sb2 20 50 30 Sb3 25 20 55 ------------------------------------------ Berapa meter kubik harus diangkut dari tiap sumber agar kebutuhan terpenuhi. V6 R6 R5 V7 R7 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6 dan i7. b). Pada kondisi R1=4a, R2=10 ,R3=2b , R4=30, R5=3a  R6=40, R6=20, V6=10 volt, dan V6=2b0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.