Muhammad Aqla Fatriani Siti Hamidah Abdul Aziz Karim Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat MATEMATIKA II ?! Vektor & Matriks 6 + 9 = 8 Muhammad Aqla Fatriani Siti Hamidah Abdul Aziz Karim Matematika II

SAJIAN MATERI Vektor Matriks Pengenalan Vektor Penjumlahan & Penggandaan Vektor Vektor dalam geometrik Vektor sebagai landasan ruang Norma Vektor Pengenalan suatu Matriks Penjumlahan & penggandaan matriks Putaran suatu matriks Teras suatu matriks Matriks sekatan Determinan suatu matriks Pangkat suatu matriks Kebalikan suatu matrks Vektor Jawab SAJIAN MATERI Vektor Matriks

MATEMATIKA II Vektor Matriks Determinan Suatu Matriks Pangkat Suatu Matriks Kebalikan Suatu Matriks Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 5 V E K T O R 8 Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur 2 MATEMATIKA II - 21. Vektor

Bentuk susunan v11 v11 v12 v13 v21 Vektor Baris v31 Vektor Lajur Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Bentuk susunan v11 v11 v12 v13 v21 Vektor Baris v31 Vektor Lajur MATEMATIKA II - 21. Vektor

Notasi Vektor Vektor baris vb = ( v11 v12 v13 ) v = (v11 v12 v13 ) Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Notasi Vektor Vektor baris vb = ( v11 v12 v13 ) v = (v11 v12 v13 ) 1 x 3 v’ = (v11 v12 v13 ) Vektor lajur vl = v11 v21 v31 v = 3 x 1 v11 v21 v31 v = v11 v21 v31 MATEMATIKA II - 21. Vektor

Pengolahan Vektor Tambah  Penjumlahan Kurang Kali  Penggandaan Bagi

1. Penjumlahan 2 buah vektor Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 1. Penjumlahan 2 buah vektor Jumlah baris vektor penjumlah samadengan jumlah baris vektor dijumlah Syarat penjumlahan : Jumlah lajur vektor penjumlah samadengan jumlah lajur vektor dijumlah v1 + v2 = v3 p x q r x s p x q p = r & q = s MATEMATIKA II - 21. Vektor

Bila diketahui masing-masing vektor sbb : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat CL V01 SL V1-01 Bila diketahui masing-masing vektor sbb : a = ( 5 u 2 ) 1 x 3 c 3 x 1 = 3 5 d 3 x 1 = 4 1 b = ( 1 8 5 ) 1 x 3 1. Tentukan penjumlahan dari : a. Vektor baris : (a + b) dan (a – b) b. Vektor lajur : (c + d) dan (c – d) MATEMATIKA II - 21. Vektor

a. Penjumlahan vektor baris Penyelesaian 1 : a. Penjumlahan vektor baris a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7) (1 x 3) a – b = ( 5 u 2 ) − ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3) (1 x 3) b. Penjumlahan vektor lajur 3 5 c + d = 3 x 1 4 1 + = 9 3 5 c − d = 3 x 1 4 1 + = 2

Bila diketahui masing-masing vektor sbb : CL V01 SL V1-01 Bila diketahui masing-masing vektor sbb : a = ( 5 u 2 ) 1 x 3 c 3 x 1 = 3 5 d 3 x 1 = 4 1 b = ( 1 8 5 ) 1 x 3 2. Tentukan pula penjumlahan dari : a. (c + a) dan b. (d + b)

a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris : Penyelesaian 2 : a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris : (c + a) = 3 x 1 3 5 ( 5 u 2 ) 1 x 3 Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor a ≠ jumlah baris vektor c Jumlah lajur vektor a ≠ jumlah lajur vektor c b. Penjumlahan dari vektor baris & vektor lajur : (b - d) = ( 1 8 5 ) 1 x 3 3 x 1 4 1 Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor d ≠ jumlah baris vektor b Jumlah lajur vektor d ≠ jumlah lajur vektor b

2. Penggandaan 2 buah vektor Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 2. Penggandaan 2 buah vektor Syarat umum penggandaan : vektor 1 x vektor 2 (baris 1 x lajur1) (baris 2 x lajur2) sama jumlahnya * vektor baris x vektor lajur = skalar * vektor lajur x vektor baris = st matriks Hasil penggandaan :  Matriks segi  Matriks tak segi MATEMATIKA II - 21. Vektor

a x b = s  Hasil penggandaan : “skalar” Syarat penggandaan skalar Jumlah lajur vektor pengganda samadengan jumlah baris vektor diganda Syarat penggandaan a x b = s 1 x q r x 1 1 x 1 skalar (r = q)

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat CARA PENGGANDAAN a 1 x q = (a11 a12 a13 ….. a1q) b = r x 1 = ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 + ….. + a1q.br1) = ( s11 + s11 + ….. + s11) b11 b21 b31 . br1 a x b (1 x 1) r = q MATEMATIKA II - 21. Vektor

1. Tentukan penggandaan vektor-vektor : CL V02A SL V02A SKALAR Bila diketahui a 1 x 3 = ( 5 u 2 ) b = 3x 1 4 1 c 1 x 2 = (2 3) 1. Tentukan penggandaan vektor-vektor : a. (a x b) b. (c x b)

Penyelesaian 1 : a. = ( 5 u 2 ) x 4 1 a b 4 1 a 1 x 3 b 3 x 1 = (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1) = 4u +2 b. = ( 2 3 ) c 1 x 2 x b 3 x 1 041 Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor b ≠ jumlah lajur vektor c

b x a = M  Hasil penggandaan : suatu “matriks” Syarat penggandaan Jumlah lajur vektor pengganda samadengan jumlah baris vektor diganda Syarat penggandaan matriks b x a = M r x 1 1 x q r x q

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat b x a = r x 1 1 x q b11 b21 b31 . br1 ( a11 a12 a13 ….. a1q) CARA PENGGANDAAN b11.a11 b11.a12 b11.a13 …. b11.a1q b21.a11 b21.a12 b21.a13 …. b21.a1q b31.a11 b31.a12 b31.a13 …. b31.a1q . . . . br1.a11 br1.a12 br1.a13 …. br1.a1q = MATEMATIKA II - 21. Vektor

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat HASIL PENGGANDAAN b11 b21 b31 . br1 x a 1 x q = ( a11 a12 a13 ….. a1q) = b r x 1 q = r atau q  r Matriks segi Matriks tak segi MATEMATIKA II - 21. Vektor

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat m11 m12 m13 …. m1r m21 m22 m23 …. m2r m31 m32 m33 …. m3r . . . . mr1 mr2 mr3 …. mrr b x a = (r x r) Bila q = r Matriks segi CARA PENGGANDAAN KHUSUS Bila q  r b x a = (r x q) m11 m12 m13 …. m1q m21 m22 m23 …. m2q m31 m32 m33 …. m3q . . . . . . . . mr1 mr2 mr3 …. mrq Matriks tak segi MATEMATIKA II - 21. Vektor

1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor : CL V02B SL V02B Bila diketahui a 1 x 3 = ( 5 u 2 ) 4 1 b = 3x 1 c 1 x 2 = (2 3) 1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor : a. (b x a) b. (b x c)

Penyelesaian 1 : b x a = ( 5 u 2 ) = 4 1 0 0 0 20 4u 8 5 u 2 b x c = 4 3x1 1x3 ( 5 u 2 ) = 4 1 0 0 0 20 4u 8 5 u 2 (3 x 3) Matriks segi b x c = 3x1 1x2 4 1 (2 3) = 0 0 8 12 2 3 (3 x 2) b. Matriks tak segi

Penggandaan  skalar thd st vektor  st vektor thd skalar Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penggandaan  skalar thd st vektor  st vektor thd skalar Mengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh :  Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x) = sx11 sx12 sx13 ….. sx1l  Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s = x11s x21s x31s . xb1s “Dimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya” MATEMATIKA II - 21. Vektor

1. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x b) b. (b x S) CL V02C SL V02C Diketahui bahwa : Skalar S = 5 Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l = 2 4 6 1. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x b) b. (b x S) Penyelesaian 1 : S x b = 1x1 1x3 5 X (1 3 5) = (5 15 25) b x S = 1x3 1x1 (1 3 5) x 5 = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris pada skalar s (= 1) ≠ jumlah lajur pada vektor b (= 3)

2. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x l) b. (l x S) CL V02C SL V02C Diketahui bahwa : Skalar S = 5 Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l = 2 4 6 2. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x l) b. (l x S) Penyelesaian 2 : a. S x l = 1x1 3x1 2 4 6 5 X = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris vektor l (= 3) ≠ jumlah lajur pada skalar s (= 1) b. l x S = 3x1 1x1 2 4 6 X 5 = 10 20 30

Vektor dalam geometrik Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Vektor dalam geometrik Y X P(x,y) x y (x,y) = penjumlahan 2 buah vekor ( x , y ) = (x , 0) + (0 , y) ( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1) penyusunan kombinasi linier MATEMATIKA II - 21. Vektor

Y V(5,3) X Vektor penyusun salib sumbu Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Vektor penyusun salib sumbu 2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbu Y V(5,3) 3 3(0,1) (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1) X 5 5(1,0) Jadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3) MATEMATIKA II - 21. Vektor

Kaedah Jajaran genjang Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Kaedah Jajaran genjang X Y V1 V2 V3(x3,y3) x3 y3 x1 x2 y2 y1 V3 = V1 + V2 V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)} V1’ = (X2 , Y1) V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)} V2’ = (X1 , Y2) V3 = (X3 , Y3) MATEMATIKA II - 21. Vektor

V3 = (X3 , Y3) Jadi vektor V3 diperoleh dari : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat V3 = (X3 , Y3) Jadi vektor V3 diperoleh dari : * x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X * y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu Y Vektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3 MATEMATIKA II - 21. Vektor

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat V1 = (5 , 1) V2 = (2 , 4) V3 5 2 1 7 4 Pengertian bebas linier tidak hanya “tidak searah & berlawanan arah”, tapi berarti pula “tidak selalu tegak lurus” V1 = (5 , 1) V3 = (5 , 1) + (2 , 4) V2 = (2 , 4) = {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5) MATEMATIKA II - 21. Vektor

Pengembangan pada 3 dimensi Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Pengembangan pada 3 dimensi Vektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya (x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1) (2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1) MATEMATIKA II - 21. Vektor

Z X Y Landasan penyusun salib-sumbu (SS) 4 (2,3,4) 2 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Landasan penyusun salib-sumbu (SS) Z Sembarang vektor dpt dijadi-kan sbg “dasar SS” dengan ketentuan vektor2 tsb tidak searah atau berlawanan arah X 2 3 4 (2,3,4) Bila 2 atau lebih vektor dpt digunakan sbg “landasan pe-nyusun st SS”, maka vektor2 tsb dinyatakan sbg “bebas linier thd sesamanya” (2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1) Y MATEMATIKA II - 21. Vektor

Kofaktor masing-masing vektor yang baru Buat ilustrasinya CL V03 SL V03 1. Koordinat titik P (5,3) dibentuk oleh vektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0) diubah menjadi (3,1) dan unsur vektor (0,3) diubah menjadi (2,2), tentukan : Kofaktor masing-masing vektor yang baru Buat ilustrasinya Penyelesaian 1 : a. Kofaktor masing-masing vektor (5,3) = (5,0) + (0,3) (5,3) = (3,1) + (2,2) (5,3) = x (3,1) + y (2,2) (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1) ..

5 = 3 x + 2 y 3 = x + 2 y 3 = x + 2 y 2 = 2 y 2 = 2 x y = 1 x = 1 .. 3 = x + 2 y .. 3 = x + 2 y .. 2 = 2 y .. 2 = 2 x .. y = 1 .. x = 1 .. (5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2)

b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik) 5 X Y P(5,3) 1(3,1) 1(2,2) 3 . . (5,3) = (3,1) + (2,2)

2. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6). CL V03 SL V03 2. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6). Tentukan koordinat titik P tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor penyusun salib-sumbu yang baru (0,1) dan (2,4).

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Landasan ruang vektor Penyusunan 2 vektor atau lebih membentuk suatu matriks Katakan saja ada 3 buah vektor yaitu (1 -1 2) (0 1 3) (1 1 3) -1 2 0 1 3 1 1 3 ? Apakah ketiga tsb dapat digunakan sebagai landasan dalam membentuk ruang vektor Maksudnya ? matriks MATEMATIKA II - 21. Vektor

Maksudnya : Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol. Ruang vektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang ruang; 3 dimensi atau lebih). Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan, ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau keseluruhannya merupakan vektor nol. Uraian lebih lanjut ditelaah dalam pengolahan matriks.

Norma Vektor v’ = (v1 v2 v3 ….. vn) v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1 v2 v3 . Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Norma Vektor v’ = (v1 v2 v3 ….. vn) v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1 v2 v3 . vn = (v12 + v22 + v32 + …. + vn2) MATEMATIKA II - 21. Vektor

Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v. || v || = (v12 + v22 + v32 + …. + vn2) √ = v’v √ norma vektor bila || v || = 1 vektor satuan Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.

Y V(V1,V2) X Panjang vektor || v || = (v12 + v22) V2 V1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Panjang vektor || v || = (v12 + v22) X Y V(V1,V2) V1 V2 MATEMATIKA II - 21. Vektor

Sudut antara 2 vektor x’ y || x || || y || cos = = 900 cos = 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Sudut antara 2 vektor x’ y || x || || y || cos = cos = 0 jika x’y = 0 = 900 Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurus maka sudut  yang dibentuk sebesar 900 MATEMATIKA II - 21. Vektor

 Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat. CL V04- SL V04  Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat. a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3) b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1) c. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1) d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)  Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan ordinat di atas.  Tentukan besar sudut yang dibentuknya

√ √ Penyelesaian  : a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3) = (-1)2 + (1)2 = (-1)2 + (1)2 √ || x || 10 = 2 = (1)2 + (3)2 || y || ( -1 1) 1 3 x y = = 2 1 -1 x y 3 90°26”5”82 Cos α = x y || y || || x || 2 √ 10 = = 0,4472.. α = 63°26’ 5”82

b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1) 90° 1 -1 x y (1 1) 1 -1 x y = = 0 Cos α = 0 = 90°

Y X 1 -1 x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1) x’ y = (1 , 1) = 0 cos = 0 = 900 c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1) x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1) x’ y = (1 , 1) = 0 -1 1 cos = 0 = 900 Y X -1 1

x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3) x’ y = (1 , 1) x’ x = (1 , 1) || x || = 2 d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3) x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3) x’ y = (1 , 1) = -2 1 -3 || x || = 2 x’ x = (1 , 1) 1 = 2 || y || = 10 y’ y = (1 , -3) 1 -3 = 10 x’ y || x || || y || cos =

X Y 1 x’ y || x || || y || cos = -2 = 2 10 cos = - 0,4472… -3 = 1160 33’ 54”18 = cos = x’ y || x || || y || -2 2 10

k’1 = (2 , 3 , 6) k’2 = (5 , 2 , 3) k’1 k2 cos = || k1 || || k2 ||  Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 = (2,3,6) dan K2 = (3,1,4)  Ilustrasikan vektor penyusun tsb  Tentukan besar sudut yang dibentuknya Penyelesaian  : k’1 = (2 , 3 , 6) k’2 = (5 , 2 , 3) k’1 k2 || k1 || || k2 || cos = cos = ( 2 3 6 ) (22 + 32 + 62) (52 + 22 + 32) 5 2 3

5 2 3 6 k2 k1 34 49 38 = 380 0’ 26”18 cos = = 0,7879….