Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Functions, Linear Function Equation and Quadratic Function

RELASI A B Perhatikan anak panahnya 2 4 6  1  2  3 8  4 relasinya adalah “dua kali dari” Hal.: 3 FUNGSI

The relation is “two times of” B Look at the arrow 2 4 6  1  2  3 8  4 The relation is “two times of” Hal.: 4 FUNGSI

rumus pemetaannya f(x) = RELASI x 2 4 6 8 f(x) 1 2 3 4 f(x)  2  4 6 8 rumus pemetaannya f(x) = x Hal.: 5 FUNGSI

The mapping formula (x) = RELASI x 2 4 6 8 f(x) 1 2 3 4 f(x)  2  4 6 8 The mapping formula (x) = x Hal.: 6 FUNGSI

RELASI Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi : Diagram panah Himpunan pasangan berurutan Diagram Cartesius Contoh: Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil, sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan: Hal.: 7 FUNGSI

RELATION There are 3 ways to state a relation : Arrow Diagram Set of Ordered pairs Cartesian Diagram Example: Given a set of A = {1,2,3,4,5} and set B = {pedicab, car, bike cycle, motor cycle, bemo}. The relation that relate set of A to B is “the quantity of the wheel”. Show those relations with: Hal.: 8 FUNGSI

RELASI Jawab: a. Diagram panah c. Diagram Cartesius Y O 1 2 3 X “banyak roda dari” 1. . becak becak • 2. mobil • . mobil 3. motor • . motor 4. sepeda . sepeda • 5. . bemo bemo • O 1 2 3 X A 4 B b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak) (3, bemo), (4, mobil )} Hal.: 9 FUNGSI

RELATION Answer: a. Arrow Diagram c. Cartesian Diagram Y O 1 2 3 X “the quantity of the wheel” 1. . pedicab pedicab • 2. car • . car 3. motor • . Motor 4. Bike cycle . Bike cycle • 5. . bemo bemo • O 1 2 3 X A 4 B b. Set of ordered pairs = {(2,bike cycle), (2, motor), (3, pedicab) (3, bemo), (4, car )} Hal.: 10 FUNGSI

FUNGSI Pengertian Fungsi : . A B f Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B . . A B f Hal.: 11 FUNGSI

The definition of Function: A function f of set A to set B is a relation that match every element of A as a single to element B . . A B f Hal.: 12 FUNGSI

Beberapa cara penyajian fungsi : Dengan diagram panah f : D  K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya, un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n Dengan diagram Kartesius Himpunan pasangan berurutan Dalam bentuk tabel Hal.: 13 FUNGSI

There are few ways to state function: With arrow diagram f : D  K. The symbol of function not always f. Example, un = n2 + 2n or u(n) = n2 + 2n With Cartesian diagram The set of ordered pairs In table Hal.: 14 FUNGSI

Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2 Contoh : grafik fungsi Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2 dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. Y (–2,4) (2,4) 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2. Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. (–1,1) (1,1) X O (0,0) Hal.: 15 FUNGSI

Example : function graph Draw a graph of a function : f: x  f(x) = x2 With Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. Y (–2,4) (2,4) 4 is also called the shadow (map) of 2 and also from –2. – 2 and 2 is called pre map of 4 and symbolized by f–1(4) = 2 or – 2. Cartesian graph is a function graph of y=f(x) only if every line is parallel with Y-axis that intersecting the graph in one point only. (–1,1) (1,1) X O (0,0) Hal.: 16 FUNGSI

Beberapa Fungsi Khusus 1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b  x < b + 1, b bilangan bulat, xR} Misal, jika 2  x < 1 maka [[x] = 2 6). Fungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan Hal.: 17 FUNGSI

FUNCTION Special Functions 1). Constant Function 2). Identity Function 3). Modulus Function 4). Even and Odd Function Even function if f(x) = f(x), and Odd function if f(x) = f(x) 5). Ladder Function and The Biggest Integer Value Function [[ x ] = {b | b  x < b + 1, b integer number, xR} example,if2  x < 1 then [[x] = 2 6). Linear Function 7). Quadratic Function 8). Differential Function Hal.: 18 FUNGSI

FUNGSI Jenis Fungsi 1. Injektif ( Satu-satu) Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2). 2. Surjektif (Onto) Fungsi f: AB maka apabila f(A)  B dikenal fungsi into. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto 3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif” Hal.: 19 FUNGSI

FUNGSI Kinds of Function 1. Injective ( one by one) Function f:AB is an injective function if every two different elements in A will be mapped into two different element in B. Example: Function f(x) = 2x is one by one function and f(x) = x2 is not one by one function because f(-2) = f(2). 2. Surjective (Onto) Functioni f: AB then iff(A)  B it is known as into function. If f(A) = B then f is a surjective function. Function f(x) = x2 it is not onto function 3. Bijective (one by one correspondence) If f: A B is injective and surjective function then “f is bijective function” Hal.: 20 FUNGSI

FUNGSI LINEAR 1.Bentuk Umum Fungsi Linear Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta. Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta 2. Grafik Fungsi Linear Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 : 1. Dengan tabel 2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y Hal.: 21 FUNGSI

LINEAR FUNCTION 1.General Form of Linear Function This function map every x R into the form of ax + b with a ≠ 0, a and b Constanta. The graph is in straight line which is called linear function graph with the equation of y = mx + c, m is called gradient and c is Constanta 2. Linear Function Graph there are two ways to draw linear function graph: 1. by table 2. by determining the intersection points with x-axis and y-axis Hal.: 22 FUNGSI

FUNGSI LINEAR Contoh : Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas . Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. {x \-1 x 2, x R}. Jawab a. Ambil sembarang titik pada domain X -1 1 2 Y = 4x-2 -6 -2 2 6 Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6) Hal.: 23 FUNGSI

LINEAR FUNCTION Example : A linear function is determine by y = 4x – 2 with the domain Make a table of points that fulfill the equation above. Draw the points in Cartesians diagram Determine the intersection point of the graph with X-axis and Y-axis. {x \-1 x 2, x R}. Answer a. Take any points in the domain X -1 1 2 Y = 4x-2 -6 -2 2 6 Then, the function graph through these points (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6) Hal.: 24 FUNGSI

FUNGSI LINEAR Y X O b. c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 ) 6 • 2 • Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0) X 1 2 -2 -1 O Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2) • -2 • -6 Hal.: 25 FUNGSI

LINEAR FUNCTION Y X O b. c. Intersection points with x-axis ( y= 0 ) 6 • 2 • Then, the intersection points with x-axis is ( ½,0) X 1 2 -2 -1 O Intersection points with y-axis ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2 Intersection points with y-axis is (0,-2) • -2 • -6 Hal.: 26 FUNGSI

FUNGSI LINEAR 3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien : (i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m. (ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m= (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah m = Contoh : Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 7 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6) Hal.: 27 FUNGSI

LINEAR FUNCTION 3. The Gradient of Straight Line Equation How to determine gradient: (i). The equation of y = mx+c, the gradient is m. (ii). The equation of ax+by+c=0 or ax+by=-c is m= (iii). Straight line equation through two points (x1,y1) and (x2,y2), the gradient is m = Example : Define the gradient of the line equation below: a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 7 2. Define the gradient of the line which through the points pairs of (-2,3) and (1,6) Hal.: 28 FUNGSI

FUNGSI LINEAR Jawab : 1a. Y = 3x – 4 gradien = m = 3 b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5 m = = - 2. m = = = 1 Hal.: 29 FUNGSI

LINEAR FUNCTION answer : 1a. Y = 3x – 4 gradient = m = 3 b. 2x - 5y = 7, a = 2 and b = - 5 m = = - 2. m = = = 1 Hal.: 30 FUNGSI

FUNGSI LINEAR 4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah y – y1 = m ( x – x1 ) Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah = Contoh 1 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2 Jawab : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3 Hal.: 31 FUNGSI

LINEAR FUNCTION 4. Determine the straight line equation Line equation through a point (x1,y1) and gradient m is y – y1 = m ( x – x1 ) Line equation through two points (x1,y1) and (x2,y2) is = Example 1 : Define the line equation that through point ( -2, 1 ) and gradient -2 Answer : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3 Hal.: 32 FUNGSI

FUNGSI LINEAR Contoh 2 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4) Jawab : = 3(y – 3) = 1(x + 2) 3y – 9 = x + 2 3y - x – 11 = 0 Hal.: 33 FUNGSI

LINEAR FUNCTION Example 2 : Determine the line equation that through point P(-2, 3) and Q(1,4) Answer : = 3(y – 3) = 1(x + 2) 3y – 9 = x + 2 3y - x – 11 = 0 Hal.: 34 FUNGSI

FUNGSI LINEAR 5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2 Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0 Hal.: 35 FUNGSI

LINEAR FUNCTION 5. The Position of Two Straight line Two lines are intersecting if m1 ≠ m2 Two lines are parallel if m1 = m2 Two lines are perpendicular if m1. m2 = -1 or m1 = - Example : Determine the straight line equation that through point (2,-3) and parallel with line x – 2y + 3 = 0 Determine the straight line equation that through point (-3,5) and perpendicular to 6x – 3y – 10 = 0 Hal.: 36 FUNGSI

FUNGSI LINEAR Jawab : 1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0 maka Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0 Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0 Hal.: 37 FUNGSI

LINEAR FUNCTION Answer : 1. Known the line equation x – 2y + 3 = 0 then The line equation through point (2,-3) and gradient is y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0 Then the straight line equation that parallel with line x – 2y + 3 = 0 and through point (2,-3) is x – 2y – 8 = 0 Hal.: 38 FUNGSI

FUNGSI LINEAR 2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0. Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) y – 5 = -½ (x + 3) y – 5 = -½x - 2y – 10 = -x – 3 x + 2y – 10 + 3 = 0 x + 2y – 7 = 0 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0. Hal.: 39 FUNGSI

LINEAR FUNCTION 2. Known the line equation 6x – 3y – 10 = 0. the straight line equation that is found through point (-3,5) and has gradient -½, then the equation is y – y1 = m(x – x1) y – 5 = -½ (x + 3) y – 5 = -½x - 2y – 10 = -x – 3 x + 2y – 10 + 3 = 0 x + 2y – 7 = 0 so, the straight line equation that through point (-3,5) and perpendicular to line 6x – 3y – 10 = 0 is x + 2y – 7 = 0. Hal.: 40 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT 1.Bentuk umum fungsi kuadrat y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c  R dan a  0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris 2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat Berdasarkan nilai a (i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum. (ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum. Hal.: 41 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION 1. The General Form of Quadratic Function y = f(x) ax2+bx+c with a,b, c  R and a  0 The Graph of Quadratic Function is in the form of symmetrical parabola 2. The properties of quadratic function Graph Based on value a (i) If a > 0 (positive), then the graph will be up side. The quadratic function has extreme minimum value. It is denoted by ymin or minimum turning point (ii) if a < 0 (negative), then the graph will up side down. The quadratic function has extreme maximum value. It is denoted by ymaks or maximum turning point. Hal.: 42 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X. Hal.: 43 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Based on discriminant value (D) Discriminant value of a quadratic equation is D = b2 – 4ac The relation between D and intersection point of a graph with X-axis If D > 0 then the graph will intersects x-axis in two different points. If D = 0 then the graph will on the x-axis in a point. If D < 0 then the graph will not intersect and not on the x-axis. Hal.: 44 FUNGSI

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X (ii) a > 0 D = 0 X (iii) a > 0 D < 0 X (i) a > 0 D > 0 X X (v) X (iv) X (vi) a < 0 D = 0 a < 0 D > 0 a < 0 D < 0 Hal.: 45 FUNGSI

The Position of Quadratic Function Graph Towards x-axis (ii) a > 0 D = 0 X (iii) a > 0 D < 0 X (i) a > 0 D > 0 X X (v) X (iv) X (vi) a < 0 D = 0 a < 0 D > 0 a < 0 D < 0 Hal.: 46 FUNGSI

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat : (i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0) (ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0) (iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik Persamaan sumbu simetri adalah x = Koordinat titik puncak / titik balik adalah (iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan) Hal.: 47 FUNGSI

3. Drawing Quadratic Function Graph The steps to draw quadratic function graph : (i) Define the intersection point with x-axis (y = 0) (ii) Define the intersection point with y-axis Y (x = 0) (iii) Define symmetrical axis and turning coordinate The symmetrical axis equation is x = Vertex /turning coordinate is (iv) Define other points if necessary Hal.: 48 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Contoh : Jawab : Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5. Jawab : (i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0) x2 – 4x – 5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 atau x = 5 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0). Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 y = -5 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 ) Hal.: 49 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Example : Jawab : Draw a graph of quadratic function y = x2 – 4x – 5. Jawab : (i) The intersection point with X-axis (y = 0) x2 – 4x – 5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 or x = 5 So, the intersection point with x-axis is (-1, 0) and (5, 0). The intersection points with axis Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 y = -5 So, the intersection points with Y-axis is ( 0, -5 ) Hal.: 50 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT (iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9). (iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8. Jadi, titik bantunya (1, -8). Hal.: 51 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION (iii) Symmetrical axis and turning coordinate So, the symmetrical axis is x = 2 and the turning coordinate is (2, -9). (iv) Determine the helping points. For example, for x = 1, then y = -8. Then, the helping point is (1, -8). Hal.: 52 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Grafiknya : Y • • X -1 0 1 2 3 4 5 • • • • • Hal.: 53 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 • • • • • Hal.: 53 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION THE GRAPH : Y • • X -1 0 1 2 3 4 5 • • • • • -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 • • • • • Hal.: 54 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5) Jawab: f(x) = ax2 + bx + c f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4 a + b + c = -4 . . . 1) f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3 0 + 0 + c = -3 c = -3 . . . 2) f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5 16a + 4b + c = =5 . . . 3) Hal.: 55 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION The equation of quadratic function of f(x) =ax2 + bx + c if the function graph through three points Example: Define the quadratic function that through points (1,-4), (0,-3) and (4,5) answer: f(x) = ax2 + bx + c f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4 a + b + c = -4 . . . 1) f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3 0 + 0 + c = -3 c = -3 . . . 2) f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5 16a + 4b + c = =5 . . . 3) Hal.: 56 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Substitusi 2) ke 1) a + b – 3 = -4 a + b = -1 . . . 4) Dari 4) dan 5) diperoleh : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1 Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3 Hal.: 57 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Substitute 2) to 1) a + b – 3 = -4 from 4) and 5) we have : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1 Substitute a = 1 to4) 1 + b = -1 b = -2 So, the quadratic function is f(x) = x2 -2x -3 Hal.: 58 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Contoh : Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut . Contoh : Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3) Hal.: 59 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Example : The equation of quadratic function of f(x) = ax2 + bx + c if there are two intersection points to X-axis and the other point is can be defined by the following formula. Example : Define the equation of quadratic function that intersects X-axis in point A (1,0), B(-3,0), and intersect Y-axis in point (0,3) Hal.: 60 FUNGSI

PERSAMAAN KUADRAT Jawab : Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi : f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1) Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi : 3 = a(0 - 1)(x + 3) 3 = -3a a = -1 Persamaan fungsi kuadratnya menjadi : Jadi fungsi kuadratnya adalah Hal.: 61 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Answer : Points (1,0) and (-3,0) is substituted to f(x) intoi : f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1) Then substituted (0,3) into the equation 1) into : 3 = a(0 - 1)(x + 3) 3 = -3a a = -1 The equation of quadratic function is : Then the equation of quadratic function is Hal.: 62 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut. Hal.: 63 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION The equation of quadratic function of f(x) = ax2 + bx + c if the vertex points of the graph (xp’ yp) and other points can be defined by this formula. Hal.: 64 FUNGSI

FUNGSI KUADRAT Contoh : Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7) Jawab : f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9) f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1) Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = 1 Hal.: 65 FUNGSI

QUADRATIC FUNCTION Example : Define the equation of quadratic function which the vertex point is (-1, 9) and through (3, -7) Answer: f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9) f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1) Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = 1 Hal.: 66 FUNGSI

FUNGSI EKSPONEN – 3  –2  – 1  0  1  2  3  ... n  f(x) =2X X 2– 3 2–2 f(x) =2X X 2– 1 20 21 22 23 ... 2n D = domain K = kodomain Hal.: 67 FUNGSI

EXPONENT FUNCTION – 3  –2  – 1  0  1  2  3  ... n  f(x) =2X X 2– 3 2–2 f(x) =2X X 2– 1 20 21 22 23 ... 2n D = domain K = Codomain Hal.: 68 FUNGSI

Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: FUNGSI EKSPONEN X O Y Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: (0,1) (1,2) (2,4) (3,8) (4,16) (5,32) x 1 2 3 4 5 F(x)=2x 1 2 4 8 16 32 Hal.: 69 FUNGSI

Graph f: x  f(x) = 2x for x integer in [0, 5] is: EXPONENT FUNCTION O Y Graph f: x  f(x) = 2x for x integer in [0, 5] is: (0,1) (1,2) (2,4) (3,8) (4,16) (5,32) x 1 2 3 4 5 F(x)=2x 1 2 4 8 16 32 Hal.: 70 FUNGSI

FUNGSI EKSPONEN Grafik f(x) = dan g(x) = x 1 2 g(x ) = X Y O 1 2 3 –1 –3 –2 –1 4 5 6 7 x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ Hal.: 71 FUNGSI

EXPONENT FUNCTION Graph f(x) = and g(x) = x 1 2 g(x ) = X Y O 1 2 3 –1 –3 –2 –1 4 5 6 7 x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ Hal.: 72 FUNGSI

FUNGSI EKSPONEN Sifat x 1 2 g(x ) = Kedua grafik melalui titik (0, 1) Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y X Y O 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 6 7 Grafik f: x  2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x  x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif) Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai untuk berbagai nilai x real Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2. Hal.: 73 FUNGSI

EXPONENT FUNCTION Properties x 1 2 g(x ) = Both graphs through point (0, 1) Both graphs is symmetric to Y-axis X Y O 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 6 7 Graph f: x  2x is increasing graph and graph g: x  x f(x )= 2 g(x ) = x 2 1 ÷ ø ö ç è æ Is a decreasing graph and both of them is on X-axis (the function value is always positive) From the curve, we can find the value of 2x and value of For some value of x is real Meanwhile, we can find the quadratic of 2 if the result of quadratic is known. Or: define the logarithm value of a number with logarithm base 2. Hal.: 74 FUNGSI

FUNGSI LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen. Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut : Untuk a > 1, a R Hal.: 75 FUNGSI

LOGARITHM FUNCTION Logarithm is the turning of exponent. Logarithm function is also the turning of exponent function. Generally, logarithm function is defined as follows: For a > 1, a R Hal.: 76 FUNGSI

FUNGSI LOGARITMA Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai berikut : o Y X Hal.: 77 FUNGSI

LOGARITHM FUNCTION Visually, the graph of exponent function and logarithm function are as follows: o Y X Hal.: 78 FUNGSI

FUNGSI EKSPONEN Contoh 1 : Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen 8 = 23 ¼ = 2-2 Jawab : 8 = 23 2 log 8 = 3 ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2 Contoh 2 : Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen 4 = 2 log 16 -6 = 2 log Jawab : 4 = 2log 16 24 = 16 -6 = 2log 2-6 = Hal.: 79 FUNGSI

EXPONENT FUNCTION Example 1 : State the following equation into equivalent logarithm. 8 = 23 ¼ = 2-2 Answer : 8 = 23 2 log 8 = 3 ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2 Example 2 : State the following equation into equivalent exponent 4 = 2 log 16 -6 = 2 log Answer : 4 = 2log 16 24 = 16 -6 = 2log 2-6 = Hal.: 80 FUNGSI

FUNGSI LOGARITMA Contoh 3 : Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2 Jawab : Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut. x f(x) = 2 log x+2 ¼ ½ 1 1 2 2 3 4 4 5 8 Hal.: 81 FUNGSI

LOGARITHM FUNCTION Example 3 : Draw the function graph of f(x) = 2 log x+2 Answer : Before drawing the graph, we can use the table below. x f(x) = 2 log x+2 ¼ ½ 1 1 2 2 3 4 4 5 8 Hal.: 82 FUNGSI

FUNGSI LOGARITMA Grafiknya Y 6 5 4 3 2 1 X O -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hal.: 83 FUNGSI

LOGARITHM FUNCTION The graph Y 6 5 4 3 2 1 X O -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hal.: 84 FUNGSI

Grafik y = sin x FUNGSI TRIGONOMETRI 1 amplitudo 900 1800 2700 3600 -1 900 1800 2700 3600 -1 1 periode Hal.: 85 FUNGSI

TRIGONOMETRIC FUNCTION The graph of y = sin x 1 amplitude 900 1800 2700 3600 -1 1 period Hal.: 86 FUNGSI

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = 2 sin x Periode 3600 2 Amlpitudo 2 1 900 1800 2700 3600 -1 Y=sin x -2 Hal.: 87 FUNGSI

TRIGONOMETRIC FUNCTION Period 3600 The graph of y = 2 sin x 2 Amplitude 2 1 900 1800 2700 3600 -1 Y=sin x -2 Hal.: 88 FUNGSI

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin 2x pereode 1 -1 900 1800 2700 3600 1 -1 900 1800 2700 3600 amplitudo 450 1350 2250 3150 Y=sin x Hal.: 89 FUNGSI

TRIGONOMETRIC FUNCTION The graph of y = sin 2x period 1 -1 900 1800 2700 3600 amplitude 450 1350 2250 3150 Y=sin x Hal.: 90 FUNGSI

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = cos x 1 amplitudo -900 -900 00 900 1800 2700 -1 1 periode Hal.: 91 FUNGSI

TRIGONOMETRIC FUNCTION The graph of y = cos x 1 amplitude -900 -900 00 900 1800 2700 -1 1 period Hal.: 92 FUNGSI

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = 2cos x periode 2 -900 1 -1 00 900 1800 2700 amplitudo Y=cos x -2 Hal.: 93 FUNGSI

TRIGONOMETRIC FUNCTION The graph of y = 2cos x period 2 -900 1 -1 00 900 1800 2700 amplitude Y=cos x -2 Hal.: 94 FUNGSI