BAB 2 LOGIKA novaola@yahoo.com
pengertian Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka.
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi: Contoh : Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi: (a) 13 adalah bilangan ganjil (b) Soekarno adalah alumnus UGM. (c) 1 + 1 = 2 (d) 8 akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f) Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bil. bulat n 0, maka 2n bil. genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Contoh Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi (a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? (b) Isilah gelas tersebut dengan air! (c) x + 3 = 8 (d) x > 3 Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, … Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah alumnus UGM. r : 2 + 2 = 4
Mengkombinasikan Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction) : p dan q Notasi p q, 2. Disjungsi (disjunction) : p atau q Notasi: p q 3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p Notasi: p p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition)
Contoh : Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)
Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus
Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Hukum-hukum Logika
Proposisi Bersyarat (kondisional atau implikasi) Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p q Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi Proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).
Contoh Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan berbunyi Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
Cara-cara mengekspresikan implikasi p q: Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q (p implies q) q jika p p hanya jika q p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) ) q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) ) q bilamana p (q whenever p)
Contoh : Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk : Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
Perhatikan bahwa dalam implikasi yang dipentingkan nilai kebenaran premis dan konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun secara bahasa tidak mempunyai makna: “Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis” “Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”
Varian Proposisi Bersyarat
Contoh . Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Penyelesaian: Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
Bikondisional (Bi-implikasi)
Modus Ponen Kaidah Modus Ponens ditulis dengan cara : Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan dan implikasi p q benar, maka konklusi q benar.
Modus Tollen Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q Λ (p q)] ~p, Kaidah ini modus tollens ditulis dengan cara:
Silogisme Hipotetis Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p q) Λ (q r)] (p r). Kaidah silogisme ditulis dengan cara:
Silogisme Disjungtif Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p V q) Λ ~p] q . Kaidah silogisme disjungtif ditulis dengan cara: