Sabtu, 27 Januari 2018 Kalimat Matematika Oleh : Choirudin, M.Pd

I. PERNYATAAN, NEGASI DAN KALIMAT TERBUKA Pernyataan adalah Kalimat yang menyatakan sesuatu yang benar atau salah tetapi tidak keduanya. Contoh Pernyataan : 1. Ibukota Sumatera Barat adalah Palembang. (Salah). 2. 7 + 9 = 16 (Benar) 3. 5 adalah bilangan genap (Salah) Contoh Bukan Pernyataan : 1. Buanglah sampah pada tempatnya 2. 5 – 6x ≥ 9 3. Apakah semua bilangan genap merupakan bilangan prima 8

1. Surabaya tidak terletak di Kalimantan 2. 17 – 4 ≠ 11 Negasi (ingkaran) adalah pernyataan baru yang bernilai benar jika pernyataan semula bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan semula bernilai benar Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan berikut : 1. Surabaya terletak di Kalimantan 2. 17 - 4 = 11 3. 3 merupakan faktor dari 15 Jawab : 1. Surabaya tidak terletak di Kalimantan 2. 17 – 4 ≠ 11 3. 3 bukan faktor dari 15 Kalimat Terbuka adalah kalimat matematika yang belum mempunyai nilai benar atau salah. Contoh : 1. 2x + 7 = 12 2. 3 – 5x < 4 8

Konjungsi adalah pembentuk dari dua pernyataan dengan kata hubung “dan”, dan dilambangkan dengan “∧”. Tabel Konjungsi p q p ∧ q B S S S S S S 3. Disjungsi Disjungsi adalah pembentuk dari dua pernyataan dengan kata hubung “atau”, dan dilambangkan dengan “∨”. Tabel Disjungsi p q p ∨ q B S S S B B S 15

Penerapan Konjungsi dan Disjungsi pada Jaringan Listrik 1. Rangkaian Seri p q 2. Rangkaian Paralel p q 15

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “Jika p maka q” dan dilambangkan dengan “p → q”. Tabel Implikasi p q p → q B S S S S B B 5. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” dan dilambangkan dengan “p ↔ q”. Tabel Biimplikasi p q p ↔ q B S S S S S B 15

EKUIVALENSI PERNYATAAN MAJEMUK Dua pernyataan dinamakan ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen “ ≡ “ NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~ q ~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~ q ~ (~ p) ≡ p ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q ~ (p ↔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p)

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI Konvers dari implikasi adalah q → p Invers dari implikasi adalah ~ p → ~ q Kontraposisi dari implikasi adalah ~ q → ~ p Contoh : Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari implikasi berikut : “Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar” Jawab : “Jika pembangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambah” (KONVERS) “Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan tidak berjalan lancar” (INVERS) “Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka devisa negara tidak bertambah” (KONTRAPOSISI)

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah. Contoh Soal : Tentukan apakah pernyataan – pernyataan di bawah ini merupakan suatu Tautologi atau Kontradiksi : 1. ((p q) p) p 2. ( (p q) ˄ ~ q ) ~ p 3. (~ p ˅ q) ( p ˄ ~ q)

KUANTOR 1. Kuantor Umum (Kuantor Universal) Kuantor Umum adalah pernyataan yang didahului oleh kata “Setiap/semua” dan dilambangkan dengan  yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” 2. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensi) Kuantor Khusus adalah pernyataan yang didahului oleh kata “Beberapa/ada” dan dilambangkan dengan  yang dibaca “untuk beberapa” atau “ada” 3. Negasi dari Pernyataan berkuantor a. Negasi dari Kuantor Umum () adalah Kuantor khusus () b. Negasi dari Kuantor Khusus () adalah Kuantor umum () 25

Contoh: p : Semua siswa kelas satu rajin belajar ~p : Ada siswa kelas satu yang tidak rajin belajar q : Ada siswa kelas satu yang rumahnya di Kelapa Gading ~q : Semua siswa kelas satu rumahnya tidak di Kelapa Gading r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang

PENARIKAN KESIMPULAN

PENARIKAN KESIMPULAN (ARGUMEN) Suatu argumentasi dikatakan sah (valid) jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya benar. Dengan kata lain, jika bentuk implikasi dari argumentasi tersebut merupakan suatu tautologi, maka argumentasi tersebut sah. JENIS-JENIS PENARIKAN KESIMPULAN 1. Modus Ponens 2. Modus Tollens 3. Silogisme

1. Modus Ponens Modus Ponens adalah penarikan kesimpulan yang berdasarkan prinsip “Jika p→q (benar) dan p (benar), maka pasti q benar”. Dapat dinyatakan dengan pola berikut : p → q (Premis 1) p (Premis 2)  q (Kesimpulan/konklusi) Contoh : “Tentukan kesimpulan dari premis berikut : 1. Jika Indah rajin belajar maka ia naik kelas Indah rajin belajar  Indah naik kelas 2. Jika Yuda seorang haji maka ia beragama islam Yuda seorang haji  Yuda beragama islam

2. Modus Tollens Modus Tollens adalah penarikan kesimpulan yang berdasarkan prinsip “Jika p→q (benar) dan ~ q (benar), maka pasti ~ p benar”. Dapat dinyatakan dengan pola berikut : p → q (Premis 1) ~ q (Premis 2)  ~ p (Kesimpulan/konklusi) Contoh : “Tentukan kesimpulan dari premis berikut : 1. Jika hari hujan maka jalan becek Jalan tidak becek  Hari tidak hujan 2. Jika segi empat ABCD persegi maka panjang semua sisinya sama Tidak semua panjang sisi segi empat ABCD sama  ABCD bukan persegi

3. Silogisme Silogisme adalah penarikan kesimpulan yang berdasarkan prinsip “Jika p→q (benar) dan q→r (benar), maka pasti p→r benar”. Dapat dinyatakan dengan pola berikut : p → q (Premis 1) q → r (Premis 2)  p → r (Kesimpulan/konklusi) Contoh : “Tentukan kesimpulan dari premis berikut : 1. Jika semua pejabat jujur maka negara makmur Jika negara makmur maka rakyat hidup tentram  Jika semua pejabat jujur maka rakyat hidup tentram 2. Jika n adalah bilangan ganjil maka n2 adalah bilangan ganjil Jika n2 adalah bilangan ganjil maka (n2 + 1) adalah bilangan genap  Jika n adalah bilangan ganjil maka (n2 + 1) adalah bilangan genap

Selamat Mempelajari dan Mendalami The end Selamat Mempelajari dan Mendalami Logika Matematika Semoga Bermanfaat ISTA Yogyakarta 17

Soal Latihan : 1. Tentukan kalimat mana yang merupakan pernyataan ! a. Jakarta ibu kota RI b. Silakan duduk ! c. Hati-hati menyeberang ! d. Semoga kalian lulus ujian e. 7 < 6 f. Plato habis dibagi 11. g. Udel jatuh dari sepeda. h. (x + y) i. (x – 1) j. Saya seorang mahasiswa k. 3p > 2p l. 9x – 1 = 8 m. Berapa 9 dikurangi 7 ? n. Manusia makan nasi.

Soal Latihan : 2. Tulislah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini ! a. Harga BBM naik b. 2 = 3 c. Bajuku hitam d. Semua jenis ikan bertelur e. Beberapa astronot adalah wanita 3. Perhatikan pernyataan-pernyataan di bawah ini : a. p : Bumi berbentuk bulat b. q : Bumi bukan berbentuk bulat c. r : Bumi berbentuk kubus d. Apakah q negasi dari p ?

Soal Latihan : 4. Tentukan negasi setiap kalimat berikut ! a. Semua kerbauku mandi di sungai. b. Beberapa kambingku ada di padang rumput. c. Hanya seekor itikku belum masuk kandang. d. Tidak ada dua orang yang serupa. e. Hari ini mendung. 5. Tuliskan ingkaran setiap pernyataan majemuk berikut ini dalam bentuk kalimat yang sederhana ! a. Dia tidak tampan dan tidak mempunyai kedudukan. b. Jika terjadi devaluasi, maka banyak timbul pengangguran. c. Rambutnya pirang jika dan hanya jika matanya biru. d. Jika Ira kaya, maka Tuti dan Husein senang. e. Baik Darwin maupun Darto mahasiswa yang baik.

Soal Latihan : 6. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari : a. Jika harga BBM naik maka tarif dasar listrik juga naik b. Jika n (2 + n > 5) maka n bilangan bulat. 7. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini ! a. x (x + 3 = 5) dalam himpunan X = {1, 2, 3, . . .} b. n (2 + n > 5) dalam himpunan bilangan asli. c. (x  R) (x2  0); R = {bilangan cacah} d. x  0 dalam himpunan bilangan real. e. (x  R) (x2 > x); R = {bilangan real}.

Soal Latihan : 8. Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut : a. Jika Rina lulus SMA maka ia menikah Rina Lulus SMA  ……………. b. Jika listrik padam maka lampu mati Lampu tidak mati  …………….. c. Jika guru matematika tidak datang maka siswa senang Jika siswa senang maka siswa meloncat-loncat

Selamat bekerja TERIMA KASIH