OPERASI ARITMATIKA Arsitektur Komputer

Penjumlahan (overview) Operasi yang dilakukan selalu penjumlahan, termasuk sign bit

Pengurangan (overview) Pengubahan dari bilangan positif ke negatif --> dengan 2’s complement Contoh:

Diagram Blok – Penjumlahan & Pengurangan

Overflow (overview) Jika penjumlahan 2 bilangan n digit menghasilkan n+1 digit maka disebut dengan overflow Penjumlahan dengan komputer digital --> overflow menjadi masalah karena ukuran register yang terbatas Komputer perlu mendeteksi adanya overflow Overflow tidak akan terjadi pada saat penjumlahan bilangan yang berbeda tanda

Overflow (overview) Dideteksi dengan mengamati carry out dengan carry yang terjadi pada posisi sign bit Jika sama maka overflow tidak terjadi Jika beda maka terjadi overflow Secara digital --> gunakan gerbang XOR Overflow --> keluaran gerbang = 1 Tidak overflow --> keluaran gerbang = 0

PERKALIAN Operasi Aritmatika

Perkalian Operasi perkalian lebih rumit dibandingkan operasi penjumlahan atau pengurangan, baik dalam hardware maupun software Ada beberapa jenis algoritma yang digunakan dalam bermacam-macam komputer

Pengalian – Unsigned Integer 1 Multiplicand (11) x Mutiplier (13) Partial Product Product (143)

Pengalian – Unsigned Integer Pengalian meliputi pembentukan beberapa perkalian parsial untuk setiap digit dalam multiplier. Perkalian parsial ini kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan hasil pengalian akhir Bila bit multiplier sama dengan 0, maka hasil pengaliannya 0. Bila bit multiplier 1, maka hasil pengaliannya sama dengan mutiplier Hasil pengalian akhir diperoleh dengan menjumlahkan perkalian parsial tersebut. Setiap hasil perkalian parsial yang berurutan digeser satu posisi ke kiri relatif terhadap hasil perkalian sebelumnya. Pengalian dua buah integer biner n-bit menghasilkan hasil perkalian sampai 2n-bit

Pengalian – Unsigned Integer Control Logic membaca bit-bit multiplier satu persatu Bila Q0 = 1, multiplicand ditambahkan ke register A; hasilnya disimpan ke register A; setelah itu seluruh bit di register C, A dan Q digeser ke kanan 1 bit. Bila Q0 = 0, tidak terjadi penambahan; seluruh bit di register C, A dan Q digeser ke kanan 1 bit. Proses tersebut dilakukan secara berulang untuk setiap bit multiplier Hasil perkalian akhir tersimpan di register A dan Q.

Pengalian – Unsigned Integer

Pengalian – Unsigned Integer yg diambil selalu Q0 M=1011

Pengalian Komplemen-2 Dengan algoritma pengalian di atas 1011 * 1101 = 1000 1111 Perkalian unsigned integer : 11 * 13 = 143 Perkalian komplemen-2 : -5 * -3 = -113 perkalian tidak berfungsi jika multiplicand dan/atau multiplier-nya negatif

Perkalian unsign & komplemen-2 Ada beberapa cara untuk menangani hal tersebut: konversi multiplier dan multicand jadi positif, dikalikan; cari komplemen-2 dari hasilnya jika tanda multiplier dan multiplicand berbeda Menggunakan algoritma lain yang tidak memerlukan transformasi, misalnya Algoritma Booth

Algoritma Booth memiliki kelebihan kecepatan proses perkaliannya, relatif terhadap pendekatan langsung terdapat register Q(multiplier), M(multiplicand), A(accumulator), dan register 1-bit di kanan Q yg ditandai dengan Q-1 hasil perkalian tersimpan di A dan Q

Algoritma Booth A dan Q-1 diinisialisasi 0 control logic memeriksa bit-bit multiplier satu-persatu beserta bit di kanannya Jika kedua bit sama (1-1 atau 0-0), maka seluruh bit di A, Q dan Q-1 digeser 1-bit ke kanan jika kedua bit berbeda, multiplicand ditambahkan (0-1) atau dikurangkan (1-0) ke register A, kemudian digeser ke kanan pergeseran menggunakan Arithmetic Shift contoh : 1011 0101  1101 1010

Algoritma Booth

Algoritma Booth contoh : 0111 * 0011 = 0001 0101

Algoritma Booth 1 – 0 0 – 1 1 - 0 sub shift add 1101

Pembagian Operasi Aritmatika

Pembagian-Unsigned Binary 1 3 4 7

Pembagian-Unsigned Binary M  divisor A,Q  dividend Count  n

Pembagian-Unsigned Binary 1001 0011 : 1011 = 000 1101 + 0100 E A Q 0 1 0 0 1 0 0 1 1 Initial 1 0 0 1 0 0 1 1 0 Shift Left 0 1 0 1 1 0 1 1 1 A  A - M 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Set Q0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Shift Left 1 0 0 1 1 A  A - M 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Set Q0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 Shift Left 0 1 1 0 0 A  A - M 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 A  A + M (restore A) 0 1 1 1 1 1 1 0 0 Shift Left 1 0 1 0 0 A  A - M 1 0 1 0 0 1 1 0 1 Set Q0 M = 1011 M’ = 0101 (2nd-c) remainder quotient

Pembagian Komplemen-2 Muatkan divisor ke M, dividend ke A dan Q. dividend diekspresikan sbg komplemen-2 2n-bit. Geser A dan Q 1-bit ke kiri Bila M dan A memiliki tanda yg sama, lakukan A  A – M; bila tandanya beda, A  A + M Operasi tsb akan berhasil bila tanda A sesudah dan sebelum operasi sama bila berhasil (A dan Q = 0), set Q0  1 bila gagal (A dan Q <> 0), reset Q0  0 dan simpan A sebelumnya Ulangi langkah 2 sampai 4 utk setiap posisi bit di Q Bila tanda divisor dan dividend sama maka quotient ada di Q, jika tidak quotient adalah komplemen-2 dari Q. Remainder ada di A.

Pembagian Komplemen-2

Pembagian Komplemen-2

Pembagian Komplemen-2

Pembagian Komplemen-2 (-7)/(3) dan (7)/(-3) akan menghasilkan remainder yang berbeda. Hal ini disebabkan operasi pembagian didefinisikan sebagai D = Q * V + R dengan D = dividend Q = quotient V = divisor R = remainder

Representasi & Operasi Aritmatika Floating Point Representasi & Operasi Aritmatika

Representasi Notasi fixed point (radix point) dimungkinkan untuk merepresentasikan bilangan-bilangan positif dan negatif dengan komponen pecahan Pendekatan ini memiliki keterbatasan, bilangan yang sangat besar dan pecahan yang sangat kecil tidak dapat direpresentasikan. Bagian quotient dalam pembagian dua bilangan besar dapat hilang Dalam desimal, 123.000.000.000.000 dapat direpresentasikan sebagai 1,23 * 1014; Demikian juga 0,0000000000000123 dapat direpresentasikan sebagai 1,23 * 10-14

Representasi Pendekatan yang sama dapat dilakukan pada bilangan biner + S * B +E dengan S : significant B : base E : exponent

Format Floating Point Tanda bilangan  0 : positif, 1 : negatif Implisit selalu “1” 1 8-bit 23-bit Tanda bilangan  0 : positif, 1 : negatif Nilai exponent  8-bit biased : nilai field dikurangi bias (128) utk memperoleh nilai exponent sebenarnya Significand/Mantissa  dg normalisasi (+ 0,1bbb..b * 2 +E), bit terkiri selalu “1”; shg tdk perlu disimpan (ada secara implisit)  23-bit untuk menyimpan 24-bit

Format Floating Point

Format Floating Point Range bilangan: Ouf of range: Negatif : - (1 – 2-24) * 2127 dan - 0,5 * 2-128 Positif : 0,5 * 2-128 dan (1 – 2-24) * 2127 Ouf of range: Negative overflow : < - (1 – 2-24) * 2127 Negative underflow : < - 0,5 * 2-128 Zero Positive underflow : > 0,5 * 2-128 Positive overflow : > (1 – 2-24) * 2127

Range & Ketelitian Terdapat trade off antara range dan ketelitian : jumlah bit exponent ditambah akan meningkatkan range tapi menurunkan ketelitian Untuk meningkatkan keduanya, jumlah bit exponent dan significand ditambah

Penambahan & Pengurangan FP 4 fase dasar algoritma penambahan dan pengurangan bilangan floating point: periksa apakan salah satunya bilangan nol align significand (samakan exponent) tambahkan atau kurangkan significand normalisasi hasil

Penambahan & Pengurangan FP Y

Perkalian & Pembagian FP Perkalian & pembagian floating point relatif lebih sederhana dibandingkan operasi penambahan dan pengurangan Perlu diperhatikan : yang tersimpan dlm format floating point adalah biased exponent, sehingga perlu dilakukan pengurangan atau penambahan bias Perlu pengecekan adanya overflow dan underflow

Perkalian FP

Pembagian FP

ANY QUESTION?