KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

A. FUNGSI DAN SIFAT FUNGSI Merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).  Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional dengan g(x) dan h(x) adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol Fungsi Irrasional / akar kuadrat Fungsi akar kuadrat utama adalah fungsi yang memetakan himpunanbilangan real tak negatif kepada himpunan itu sendiri, dan seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Domain adalah daerah asal, Kodomain adalah daerah lawan, Range adalah daerah hasil.  Domain sebelah kiri= { Apel, Bekasi, Labu, Hijau} Kodomain sebelah kanan = { Kota,Warna,Buah,Sayur} Range = { Kota,Warna,Buah,Sayur}

B. FUNGSI KOMPOSISI Fungsi komposisi merupakan operasi berurutan dari dua fungsi atau lebih dengan aturan tertentu. SIFAT SIFAT KOMPOSISI FUNGSI Tidak komutatif Jika diketahui fungsi f dan fungsi g dengan (f o g)(x) dan (g o f)(x) terdefinisi, maka tidak berlaku sifat komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x) Asosiatif Jika diketahui fungsi f, g dan fungsi h dengan (f o g o h)(x) terdefinisi, maka berlaku sifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x) Identitas Jika diketahui f suatu fungsi dan I fungsi identitas dengan (f o I)(x) dan (I o f)(x) terdefinisi, maka berlaku sifat identitas, yaitu (f o I)(x) = (I o f)(x) = f (x)

C. INVERS FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Definisi Fungsi invers Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f={(x,y)|x∈A dan y∈B}f={(x,y)|x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f−1f−1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}. Dapat ditulis: jika y=f(x),y=f(x), maka inversnya x=f−1(y) Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f−1f−1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, ff merupakan fungsi dari A ke B, maka f−1f−1merupakan fungsi invers f jika berlaku (f−1∘f)(x)=x(f−1∘f)(x)=x dan (f∘f−1)(x)=x(f∘f−1)(x)=x. Perhatikanlah gambar di bawah ini. Langkah-langkah menentukan fungsi invers: 1. Buatlah permisalan f(x)=yf(x)=y pada persamaan. 2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh xx sebagai fungsi yy atau x=f−1(y)x=f−1(y). 3. Ganti variabel yy dengan xx pada f−1(y)f−1(y) sehingga diperoleh f−1(x)=yf−1(x)=y sebagai fungsi invers dari y=f(x)y=f(x). Definisi invers suatu fungsi FUNGSI merupakan sebuah pemetaan himpunan, sedangkanINVERS adalah kebalikan,jadi invers dalam fungsi yaitu kebalikan dari sebuah pemetaan himpunan.

D. CONTOH SOAL Nomor 1 Jika suatu fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = x + 5 maka f o g(x) adalah..... A. x + 3 B. x + 7 C. 2x + 3 D. 2x + 7 E. 2x2 + 5 Pembahasan: Tentukan terlebih dahulu f o g(x) f o g(x) = 2 g(x) + 5 = 2 (x + 1)2 + 5 = 2 (x2 + 2x + 1) + 5 = 2x2 + 4x + 2 + 5 f o g(x) = 2x2 + 4x + 7 Ganti x pada f o g(x) dengan 1 f o g(1) = 2 (1)2 + 4 (1) + 7 = 13 Jawaban: D Nomor 3 Jika f(x) = 2x2 + 5 dan g(x) = x + 1 maka f o g(1) = .... A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 E. 17 Nomor 4 Jika f o g(x) = 2x + 4 dan g(x) = x + 1 maka f(x) = ... A. x - 1 B. x + 2 C. 2x + 1 D. 2x + 2 E. 2x + 4 Pembahasan Tentukan terlebih dahulu invers dari g(x) yaitu g(x) = x + 1 sehingga x = g(x) - 1 sehingga: g-1(x) = x - 1 ( g(x) diganti dengan x) Ganti x pada f o g(x) dengan g-1(x) f(x) = 2 g-1(x) + 4 = 2 (x - 1) + 4 = 2x - 2 + 4 = 2x + 2 Jawaban: D Nomor 5 Jika f o g(x) = 2x2 + 4 dan f(x) = x - 2 maka g(x) = .... A. x - 2 B. x + 4 C. 2x2 + 2 D. 2x2 + 4 E. 2x2 + 6 Nomor 2 Jika f(x) = x -2 dan g(x) = 2x + 3 maka g o f(x) adalah... A. x - 1 B. x + 2 C. 2x - 1 D. 2x + 2 E. 4x + 4 Pembahasan f o g(x) berarti x pada f(x) diganti dengan g(x) f o g(x) = g(x) + 2 = (x + 5) + 2 = x + 7 Jawaban: B Pembahasan g o f(x) berarti x pada g(x) diganti dengan f(x). g o f(x) = 2 f(x) + 3 g o f(x) = 2 (x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x - 1 Jawaban: C

Soal Nomor 6 Jika f(x) = 2x - 6 maka f-1(x) =. A. 1/2 x - 3 B Soal Nomor 6 Jika f(x) = 2x - 6 maka f-1(x) = ... A. 1/2 x - 3 B. 1/2 x + 3 C. -1/2x - 3 D. -1/2x + 3 E. x - 12 Pembahasan Untuk menentukan fungsi invers, kita tinggal menentukan persamaan x-nya. f(x) = 2x - 6 2x = f(x) + 6 x = f(x) + 6 / 2 (ganti x dengan f-1(x) dan f(x) diganti dengan x) f-1(x) = (x + 6) / 2 = 1/2 x + 3 Jawaban: B Nomor 7 Jika f(x) = 5 - 1/3x maka f-1(x) = ... A. 3x + 15 B. 3x - 15 C. -3x + 15 D. -3x - 15 E. -3x + 5/3 Pembahasan Cara 1 Misalkan f(x) = y y = (x + 3) / (x - 2) y (x - 2) = x + 3 yx - 2y = x + 3 yx - x = 2y + 3 x (y - 1) = 2y + 3 x = (2y + 3) / (y - 1) ganti x dengan f-1(x) dan y dengan x maka f-1(x) = (2x + 3) / (x - 1) Cara 2  Jika f(x) = (ax + b) / (cx + d) maka f-1(x) = (-dx + b) / (cx - a)) Jadi tinggal tukar tempat dan ganti tanda 1 dengan -2. Jawaban: A Pembahasan f(x) = (x - 3) / (2x + 5) berarti a = 1, b = -3, c = 2 dan d = 5 maka: f-1(x) = (-dx + b) / (cx - a)) f-1(x) = (-5x - 3) / (2x -1) atau pembilang dan penyebut dikali - (min) f-1(x) = (5x + 3) / (-2x + 1) f-1(x) = (5x + 3) / (1 - 2x) Jawaban: A Pembahasan f(x) = 5 - 1/3x 1/3x = 5 - f(x) x = (5 - f(x)) . 3 x = 15 - 3 f(x) f-1(x) = -3x + 15 Jawaban: C Nomor 10 (UN 2014) Fungsi invers didefinisikan sebagai f(x) = (x - 3) / (2x + 5), x ≠ - 5/2 dan f-1(x) adalah invers dari fungsi f(x). Rumus dari f-1(x) adalah... A. (5x + 3) / (1 - 2x) B. (5x - 3) / (1 - 2x) C. (5x + 3) / (2x + 1) D. (2x + 3) / (5x + 5) E. (2x - 3) / (5x + 5) Nomor 9 Jika f(x) = 2x / (x - 1) maka f-1(1) = ... A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 Pembahasan Tentukan terlebih dahulu f-1(x) y = 2x / (x - 1) y (x - 1) = 2x yx - y = 2x yx - 2x = y x (y - 2) = y x = y / (y - 2) f-1(x)  = x / (x - 2) f-1(1)  = 1 / (1 - 2) = - 1 Jawaban: A Nomor 8 Jika f(x) = (x + 3) / (x - 2) maka f-1(x) = ... A. (2x + 3) / (x - 1) B. (x - 3) / (x + 2) C. (2x + 3) / (x + 1) D. (-2x + 3) / (x + 1) E. (-x + 3) / (x - 2)