RESPONSE SURFACE METHODOLOGY oleh: Suryo Guritno S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada

Materi Kuliah Pendahuluan; Review Analisis Regresi Dasar-dasar teknologi permukaan respons; Penentuan kondisi operasi optimum; Rancangan untuk fitting model order satu; Rancangan untuk fitting model order dua; Kriteria pemilihan rancangan permukaan respons;

Buku Pegangan Box, G. E. P. and N. R. Draper. (1987). Empirical Model-Building and Response Surfaces. John Wiley & Sons, Inc. Khuri, A. I., and J. A. Cornell. (1996). RESPONSE SURFACES: Designs and Analyses. 2nd Edition. Marcel Dekker, Inc. Myers, R. H. (….). Response Surface Methodology.

Buku Pegangan Myers, R. H. and D. C. Montgomery (2002). RESPONSE SURFACE METHODOLOGY: Process and Product Optimization Using Designed Experiments. 2nd Edition. John Wiley & Sons, Inc.

Review Analisis Regresi MASALAH k PEUBAH (k  2) APA BILA PENGUKURAN/PENGAMATAN TERHADAP OBJEK YANG MENJADI PERHATIAN ADA DUA ATAU LEBIH (SETIAP HASIL ADALAH PASANGAN DUA ATAU LEBIH), MAKA DUA HAL YANG MENARIK UNTUK DIPERHATIKAN ADALAH : 1. BAGAIMANA ERATNYA HUBUNGAN 2. BAGAIMANA BENTUK HUBUNGAN

SALAH SATU UKURAN KEERATAN HUBUNGAN YANG BANYAK DIGUNAKAN ADALAH KOEFISIEN KORELASI PEARSON -1 -0,25 0,25 1 -0,75 0,75 ERAT ERAT negatif positif

AWAS !! • jika r = 0 artinya tidak ada hubungan linear antara X dan Y • keeratan hubungan yang ditunjukkan adalah keeratan hubungan linear

versus H1  A.   0 - B.  > 0 C.  < 0 -  = … ???, pilih 5 % atau 10 % atau … - daerah kritis/kriteria uji : tentukan statistik uji untuk uji koefisien korelasi (= ) digunakan koef. korelasi sampel (= r)

karena , maka A. Ho ditolak jika atau B. Ho ditolak jika C. Ho ditolak jika - Perhitungan : - Kesimpulan :

•   0 => r ~ ?? => uji hipotesis untuk  : versus H1  A.   o B.  > o C.  < o -  = … ???, pilih harga  0 %

- Kriteria uji : A. Ho ditolak jika Ho diterima jika B. Ho ditolak jika Ho diterima jika C. Ho ditolak jika Ho diterima jika

=> interval konfidensi untuk  : dari menjadi dengan

Patient Number Method I Method II 1 132 130 2 138 134 3 144 4 146 140 5 148 150 6 152 7 158 8 122 9 162 160 19 168 11 172 12 174 178 13 180 14 15 188 186 16 194 17 182 18 200 196 20 204 21 210 22 23 216 24 220 190 25 202

• BENTUK PERSAMAAN HUBUNGAN ANTARA SUATU VARIABEL (DEPENDEN VARIABEL) DENGAN PALING SEDIKIT SATU VARIABEL (INDEPENDEN VARIABEL) ADALAH PERSAMAAN REGRESI • UNTUK MEMPERKIRAKAN BENTUK TEPAT SUATU PERSAMAAN REGRESI TERLEBIH DAHULU DILAKUKAN LANGKAH-LANGKAH BERIKUT :

CONTOH (1.6, 5.5) , (1.0, 6.7) , (1.1, 5.5), (1.2, 5.7) , (1.3, 5.2) (1.7, 4.5), (2.9, 3.8) , (2.9, 3.8) , (4.2, 3.6), (5.4, 3.5)

X,Y Scatter Plot Kecenderungan garis lurus Inferensi ???

dengan metode kuadrat terkecil

jika tidak diketahui, diduga dengan Inferensi untuk  atau  atau berdasarkan a atau b atau

Regresi linear sederhana :   Contoh:   Depth at which a white disc is no longer visible in a lake y = depth at disappearance x = nitrogen concentration of water β0 Intercept Variabel dependen Slope β1 The residual ε expresses the deviation between the model and the actual observation Variabel independen

Regresi polinomial: Contoh: y = depth at disappearance   Contoh:   y = depth at disappearance x = nitrogen concentration of water

Depth Concentration of P Concentration of N Regresi Ganda: Contoh:   Contoh:   y = depth at disappearance x1 = Concentration of N x2 = Concentration of P 2 4 6 8 Concentration of N Concentration of P 10 Depth

Analisis variansi (ANAVA) Contoh:   y = depth at disappearance x1 = Blue disc x2 = Green disc x1= 0; x2 = 0 x1= 0; x2= 1 x1= 1; x2= 0

Analisis kovariansi (ANAKOVA): Contoh:   y = depth at disappearance x1 = Blue disc x2 = Green disc x3 = Concentration of N 2 4 6 8 10 Concentration of N Depth

Analisis variansi tersarang: Contoh:   y = depth at disappearance αi = effect of the ith lake β(i)j = effect of the jth measurement in the ith lake

Apa yang bukan suatu general linear model? y = β0(1+β1x) y = β0+cos(β1+β2x)

Mencari model linear yang cocok

dengan x1 = x dan x2 = x12 (-2,16) (-1,7) (0,4) (1,6) (2,10)

dengan x1 = x dan x2 = x12 εi adalah residual untuk observasi ke-i (-2,16) (2,10) εi adalah residual untuk observasi ke-i (-1,7) (0,4) (1,6)

Cocok terbaik suatu model adalah yang meminimumkan jumlah kuadrat deviasi antara nilai observasi dan prediksi, yaitu

untuk inferensi perhatikan bahwa , , dan koefisien determinasi (=2) harus signifikan 2 diduga dengan

inferensi untuk parameter  : A. Ho ditolak jika B. Ho ditolak jika C. Ho ditolak jika

inferensi untuk parameter  : A. Ho ditolak jika B. Ho ditolak jika C. Ho ditolak jika

Masalah regresi linear ganda : ambil sampel acak sederhana berukuran n model regresi sampel adalah ditulis dalam notasi vektor dan matriks dengan :

masalah : dengan MKT, yaitu cari yang meminimumkan diperoleh Yang mempunyai sifat BLUE untuk estimator best linear unbiased

inferensi untuk atau A ?? perlu ditambah dengan asumsi distribusi yang lazim digunakan adalah perlu dicatat bahwa model regresi dikenal pula sebagai model regresi klasik

QUALITATIVE VARIABLE DUMMY VARIABLE Sex (male, female) Place of residence (urban, rurual, suburban) : Smoking status [current smoker, ex-smoker (has not smoked for 5 years or less0, ex-smoker (has not smoked for more than 5 years), never smoked]

penyimpangan-penyimpangan model regresi klasik Jika Y dikhotomous

logistik model atau logit model untuk 1 (satu) peubah bebas atau untuk k (k  2) peubah bebas

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika PENELITIAN menjawab pertanyaan-pertanyaan yg menarik terhadap obyek yg menjadi perhatian pertanyaan tentang ?? alat yg digunakan ?? tujuan variabel data Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika Masalah : Apakah ruang lingkup terbatas pada obyek penelitian itu saja atau pada obyek yg lebih luas ( artinya : obyek penelitian hanya merupakan sampel dari populasi obyek ) populasi data populasi peng./ perhit./ penguk. pert. oby. pen variabel sampel data sampel jawab jawab jawaban Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Masalah umum yg diselesaikan dengan Statistika (=ilmu Statistik) adalah : Menjawab populasi menggunakan sampel Menjawab distribusi peubah acak (populasi) menggunakan estimasi distribusi yang “sesuai” yang ditentukan dari sampel Menjawab parameter populasi menggunakan statistik sampel Catatan : Sampel yang digunakan harus yang mewakili/representatif untuk populasinya

populasi parameter sampel statistik

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika pertanyaan Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

η = f (ξ1, ξ2, ξ3, …, ξk) RSM : Prediksi model response peubah – peubah bebas RSM : Prediksi model Penentuan kondisi operasi optimal

Asumsi : Struktur η = f (ξ1, ξ2, ξ3, …, ξk) ada dan sangat rumit atau tak diketahui Peubah – peubahnya kuantitatif dan kontinu f dapat didekati dengan polinomial berderajat rendah dalam daerah yang diperhatikan Peubah – peubah bebas dikendali dan diukur tanpa salah.(deterministik)

Peubah – peubah independen ξi dinyatakan dalam bentuk / kode xi dengan ξi0= pusat dari ξi Si = rentang dari ξi

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika Pendekatan untuk f yang dipilih adalah polinom derajat satu atau polinom derajat dua Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika Contoh 1 Eksperimen dengan 3 peubah bebas (faktor): rancangan faktorial 23 A dengan harga / nilai 150 , 200 B dengan harga / nilai 8 , 12 C dengan harga / nilai 30 , 40 Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Matriks rancangan

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika xi = nilai dalam kode , i = 1,2,3 -1 menyatakan nilai pada tingkat rendah 1 menyatakan nilai pada tingkat tinggi b menyatakan pada titik data ketiga hanya faktor B yang nilainya pada tingkat tinggi Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Jika didekati dengan model polinom derajat satu , i =1,…,8 atau , , ,

 dengan MKT : Jika dinyatakan dalam/sebagai  ;

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika contrast dalam observasi jika r > 1 observasi dilakukan terhadap setiap kombinasi perlakuan, maka . contrast dalam observasi Rancangan faktorial 2k masuk dalam klas rancangan yang disebut rancangan ortogonal, yaitu, rancangan dgn X’X dapat dibuat menjadi matriks diagonal, shg antar tak berkorelasi. rancangan ortogonal berperanan penting dalam pemilihan rancangan optimum dalam analisis RS. Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Contoh 2 rancangan faktorial 3k baik digunakan jika pendekatan untuk f adalah model polinom derajat dua rancangan faktorial 32 : ξ1 dengan nilai 10 , 20 , 30 ξ2 dengan nilai 100 , 150 , 200

matriks rancangan

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika Jika didekati dengan model polinom derajat dua i=1, 2, …, 9 bukan rancangan ortogonal karena X’X tidak diagonal. Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

 , i = 1, 2, …,9 atau dengan X’X = diag ( 9 6 6 2 2 4)

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika rancangannya ortogonal. , i = 1, 2, …, 5 kontras ?? Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Rancangan Faktorial Fraksional (=RFF) Rancangan Bagian dari RF dilakukan apabila jumlah unit eksperimen yang diperlukan dalam RF tidak dapat dilakukan RFF 2k digunakan dalam RS untuk pendekatan / pencocokkan model regresi, jika k cukup besar dan interaksi tidak dianggap penting.

Rancangan Faktorial Fraksional (=RFF) (pengurangan jumlah unit eksperimen dicapai dengan mengabaikan beberapa interaksi, sedangkan efek utama / koefisien derajat satu dalam model cocok, dapat diduga)

Contoh 3 Eksperimen 4 faktor dengan model polinom derajat satu Tidak dilakukan eksperimen RF (L), tetapi RFF dengan eksperimen yang dilakukan adalah : a, b, c, d, abc, abd, bcd, acd

 dengan X’X = diag ( 8 8 8 8 8 ) rancangannya ortogonal

Jika X  X*, maka akan berubah menjadi yang tidak dapat dicocoki dengan hanya 8 titik rancangan, karena memerlukan paling sedikit 16 titik rancangan.

perhatikan bahwa kontras yang digunakan untuk menentukan efek x1 dan x2x3x4 hanya berbeda tanda (elemen-elemen yang sesuai hanya berbeda tanda)

jika x2x3x4 disertakan dalam model, efek x1 dan x2x3x4 , saling confounded atau membingungkan efek x1 dikatakan aliased dengan x2x3x4

dengan cara yang sama dapat ditunjukkan efek-efek yang saling aliased, dengan notasi Ξ, yaitu x3 Ξ –x1x2x4 x1x2 Ξ -x3x4 x2 Ξ -x1x3x4 x1x3 Ξ -x2x4 x4 Ξ –x1x2x3 x1x4 Ξ -x2x3 1 Ξ –x1x2x3x4

x1x2x3x4 adalah defining contrast karena , i = 0, 1, 2, 3, 4 saling aliased dengan efek-efek yang tidak diperhitungkan mempunyai kontribusi pada model, maka penggunaan RFF tidak merusak

?? Bagaimana cara mengkonstruksi RFF agar supaya tidak ada 2 (dua) efek penting yang saling aliased

Analisis Permukaan Cocok (Fitted Surface Analysis) Daerah penelitian yang dipilih diyakini memuat optimum Percobaan dilakukan untuk menentukan model respons derajat dua yang cocok

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika Jika modelnya adalah: dipilih suatu rancangan percobaan yang cocok dan percobaan dilakukan untuk mengestimasi parameter Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Menggunakan MKT, diperoleh , dengan Karena E(y) = h, maka

ŷ digunakan untuk mengestimasi harga optimum h, untuk x1, x2, ŷ digunakan untuk mengestimasi harga optimum h, untuk x1, x2, ..., xk tertentu Bagaimana caranya?? Contoh: Jika fungsi respons diestimasi dengan dan ŷ maksimum lokal ada

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika maka x yang menentukan ŷ maksimum diperoleh dari dan dengan x0 adalah penyelesaian Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

x0 adalah titik stationary dari fungsi respons ŋ karena , maka maksimum hanya jika dan minimum hanya jika

dapat ditulis dalam bentuk matriks dan vektor sbb: dengan ,

Titik stasionary diperoleh dari yaitu

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika ; i,j = 1, 2, ..., n ,jika A simetrik Kuliah Semester Ganjil 2005-2006 Pogram S2 Matematika

Analisis Kanonik Digunakan untuk menentukan bentuk fungsi respons apa yang diperoleh dari titik stationary Langkah-langkah yang dilakukan: → translasi pusat sistem ke titik stationary

→. fungsi respons ŷ dinyatakan. dalam peubah baru yang → fungsi respons ŷ dinyatakan dalam peubah baru yang berkorespondensi dengan sumbu utama countour system, sehingga :

Bagaimana memperoleh ?? ditranslasi ke ŷ dinyatakan dalam

bentuk kanoniknya melalui suatu transformasi ortogonal dapat diubah menjadi bentuk kanoniknya melalui suatu transformasi ortogonal

adalah nilai eigen dari , , dan adalah nilai eigen dari

( ) ~ ω x Μ z = - ¢ ® Hubungan antara dan dan adalah vektor eigen ortonormal dari B yang sesuai dengan ( ) ~ ω x Μ z = - ¢ ®

- li semua < 0  titik stationary maksimum Interpretasi - li semua < 0  titik stationary maksimum - li semua > 0  titik stationary minimum - li berbeda tanda  titik stationary saddle

Beberapa hal yang perlu diperhatikan: 1. pengaruh besarnya li terhadap sistem. Contoh: a. Jika k=2 , l1 dan l2 negatif, dan | l2| >> | l1|

tetapi ada perbedaan sensitivitas respons menurut w1 dan w2, Terlihat titik stationary maksimum, tetapi ada perbedaan sensitivitas respons menurut w1 dan w2, yaitu: contour-contour respons terentang menurut arah w1, apabila bergerak menjauhi titik stationary.

b. Jika k=3 , l1 dan l2 negatif tidak  0, sedangkan l2  0

ŷ makin kecil apabila makin menjauhi , karena menentu- kan ŷ maksimum. Tetapi apabila perubahan menjauh- inya menurut arah w1, perubahan harga ŷ sangat kecil ini berarti ada daerah sepanjang w1 dengan ŷ de- kat dengan ŷ maksimum.

2. Untuk 2 (dua) contoh di atas, ada di sekitar rancangan percobaan yang digunakan untuk mencocokkan fung- si respons derajat dua. Pertanyaannya adalah bagaimana kalau tidak di sekitar Contoh: Jika k=2 , l1 < 0 dan l2 = 0

l1 < 0, l2 = 0 dan ada di tak hingga Ini adalah kondisi exact ridge rising