BAB V Transformasi Citra Suprapto, ST, MT Quit

Sifat-sifat FT 2 dimensi Periodik FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N (N adalah jumlah titik) Rotasi Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ0. maka F(u,x) juga akan berotasi sebanyak θ0, demikian pula sebaliknya. Distributif FT dan IFT bersifat distributif terhadap penjumlahan tapi tidak terhadap perkalian

Sifat-sifat FT 2 dimensi Penskalaan Nilai rata-rata

Fast Fourier Transform (FFT) Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari N2 menjadi N log2N saja Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT) Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau ifft2(X) untuk invers FT

Transformasi Walsh Jika FT berdasarkan pada basis fungsi trigonometri (sin-cos), maka Tr. Walsh berdasarkan pada fungsi basis yang nilainya +1 dan -1 Kompleksitas algoritma Tr. Walsh juga dapat diefisienkan menjadi N log2 N

Rumus Tr. Walsh Rumus Tr. Walsh 2 dimensi: b k(z) adalah bit ke-k dari representasi biner z. Contoh : n = 3, z = 6 (110) maka b0(z) = 0, b1(z) = 1, b2(z) = 1

Transformasi Walsh Jika digambarkan secara visual, maka untuk N = 4, bentuk basisnya dapat dilihat seperti gambar disamping. Karena rumus forward dan invers-nya sama, maka basis ini dapat dipakai baik untuk forward maupun invers transform

Transformasi Hadamard Rumus Tr. Hadamard untuk 2 dimensi: b k(z) adalah bit ke-k dari representasi biner z. Contoh : n = 3, z = 6 (110) maka b0(z) = 0, b1(z) = 1, b2(z) = 1

Tr. Hadamard Jika digambarkan secara visual, untuk N=4, nilai (-1)(…) dapat dilihat sbb:

Transformasi Hadamard Jika basis FT adalah fungsi cos-sin, maka basis dari transformasi Hadamard adalah kolom dan baris yang ortogonal Ilustrasi : input citra 4x4 100 50

Contoh Tr. Hadamard Untuk memperoleh transformasinya, kalikan basis dengan citra input (putih untuk +, hitam untuk -). Satu posisi pada H(u,v) hanya menggunakan satu blok. H(0,0) = (100+100+50+50+100+100+50+50+50+50+100+100+50+50+100+100) /4 = 1200/4 = 300 H(0,1) = (100+100-50-50+100+100-50-50+50+50-100-100+50+50-100- 100)/4 = 0 H(0,2) = (100-100-50+50+100-100-50+50+50-50-100+100+50-50- 100+100)/4 = 0 H(0,3) = (100-100+5050+100-100+50-50+50-50+100-100+50-50+100- 100)/4 = 0

Contoh Tr. Hadamard 300 H(1,0) = (.......)/4 = 0 100 300 H(1,0) = (.......)/4 = 0 H(1,1) = (.......)/4 = 400/4 = 100 H(1,2) = (.......)/4 = 0 H(1,3) = (.......)/4 = 0 H(2,0) = (.......)/4 = 0 H(2,1) = (.......)/4 = 0 H(2,2) = (.......)/4 = 0 H(2,3) = (.......)/4 = 0 H(3,0) = (.......)/4 = 0 H(3,1) = (.......)/4 = 0 H(3,2) = (.......)/4 = 0 H(3,3) = (.......)/4 = 0 Perhatikan bahwa nilainya besar hanya pada koordinat (0,0) dan (1,1). Nilainya pada H(1,1) besar karena polanya sama dengan citra input. Perhatikan juga bahwa jika kita hanya perlu menyimpan nilai yang bukan nol, maka representasi citra yang kita miliki juga menjadi sangat kecil (dapat dikompresi).

Contoh Tr. Hadamard Dari citra hasil transformasi, diperoleh gambar asal (dengan melihat kembali pada basis, satu posisi f(x,y) menggunakan semua blok pada posisi tertentu (x,y). f(0,0) = (300+0+0+0+0+100+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0)/4 = 400/4 = 100 f(0,1) = (300......+100.......)/4 = 400/4 = 100 f(0,2) = (300......-100.......)/4 = 200/4 = 50 f(0,3) = (300......-100.......)/4 = 200/4 = 50 f(1,0) = (300......+100.......)/4 = 400/4 = 100 f(1,1) = (300......+100.......)/4 = 400/4 = 100 f(1,2) = (300......-100.......)/4 = 200/4 = 50 f(1,3) = (300......-100.......)/4 = 200/4 = 50

Contoh Tr. Hadamard f(2,0) = (300......-100.......)/4 = 200/4 = 50 Citra rekonstruksi yang dihasilkan persis dengan citra awal

Transformasi Kosinus Diskret (DCT) Rumus Discrete Cosine Transform (DCT) untuk 2 dimensi :

DCT – contoh basis untuk N=4

Kekurangan Tr. Fourier Tranformasi wavelet (WT) merupakan perbaikan dari transformasi Fourier(FT). FT : hanya dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Ilustrasi : seperti pada konser musik. FT hanya bisa mengatakan apakah suatu ‘nada’ tertentu muncul, tapi tidak dapat mengatakan kapan nada itu muncul dan berapa kali

Kekurangan FT Gambar atas : ada 4 frek pada suatu sinyal, muncul secara bersamaan Gambar bawah : ada 4 frek pada suatu sinyal, muncul secara bergantian  bentuk FT keduanya hampir sama (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Kekurangan FT Jika transformasi Fourier hanya memberikan informasi tentang frekuensi suatu sinyal, maka transformasi wavelet memberikan informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi. Selain itu, FT berdasarkan pada basis sin-cos yang bersifat periodik dan kontinu, sehingga sulit bagi kita jika ingin melakukan perubahan hanya pada posisi tertentu (pasti akan mempengaruhi posisi-posisi lainnya)

Contoh Contoh pada halaman berikut menggambarkan dekomposisi 2 buah sinyal yang hampir sama Jika didekomposisi menggunakan basis Walsh, maka semua koefisien dekomposisinya memiliki nilai yang berbeda (ditunjukkan dengan warna merah), sedangkan jika didekomposisi menggunakan wavelet Haar, koefisien dekomposisinya tidak terlalu banyak berbeda. Hal ini disebabkan basis Walsh (dan FT) sama-sama bersifat periodik, sehingga sulit mengubah satu bagian tanpa mempengaruhi bagian lainnya.

Transformasi Wavelet Wavelet berasal dari sebuah scaling function. Dari scaling function ini dapat dibuat sebuah mother wavelet. Wavelet-wavelet lainnya akan muncul dari hasil penskalaan, dilasi dan pergeseran mother wavelet. Scaling function  mother wavelet  mother wavelet yang diskalakan, didilasikan dan digeser.

Rumus Scaling Function dan Wavelet Rumus wavelet: Wavelet dapat dibedakan berdasarkan rumusan scaling functionnya Wavelet Haar memiliki scaling function dengan koefisien c0 = c1 = 1. Wavelet Daubechies dengan 4 koefisien (DB4) memiliki scaling function dengan koefisien c0 = (1+√3)/4, c1 = (3+√3)/4, c2 = (3-√3)/4, c3 = (1-√3)/4

Basis Wavelet Haar Jadi Scaling function dan wavelet sama-sama membentuk sebuah basis baru.

Wavelet Haar sebagai basis Dalam ruang vektor 4 dimensi, kita biasa memiliki basis seperti berikut: Wavelet Haar juga merentang ruang vektor 4 dimensi dengan vektor-vektor basis sebagai berikut

Wavelet Haar Sekarang, jika kita memiliki sebuah vektor, bagaimana merepresentasikan vektor tersebut sebagai kombinasi linier dari basis-basis wavelet Haar ? Dkl: bagaimana mencari nilai a,b,c dan d ?

Contoh wavelet Haar Jadi, koefisien yang disimpan adalah a0, d0, dan d1. a berarti ‘aproksimasi’ d berarti ‘detail’ Penghitungan dengan cara seperti ini disebut dengan Algoritma piramida Mallat

Tr. Wavelet 2 dimensi LL LH HL HH Tr. Wavelet 2 dimensi dilakukan terhadap baris, kemudian terhadap kolom, atau sebaliknya dengan pembagian sebagai berikut : LL LH HL HH

Tr. Wavelet 2 dimensi Transformasi wavelet Haar 2 dimensi sebanyak 2 level, menggunakan Wavelet Toolbox pada Matlab 6.

Macam-macam Wavelet Seperti telah disebutkan sebelumnya, berdasarkan scaling functionnya, wavelet dapat dibedakan menjadi beberapa macam, diantaranya : Wavelet Haar Wavelet Daubechies Wavelet B-Spline dll

Kegunaan Wavelet Kompresi citra (format JPEG 2000) Analisa ciri Penghilangan noise Grafika komputer Kompresi video dll

Quit