Program Linier (Linier Programming) Salah satu teknik OR, yg merupakan model matematik dalam mengalokasikan sumber daya yg langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantuk menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan kondisi nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier.

Formulasi Model LP Masalah keputusan - alokasi optimum sumber daya yg langka  uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesn, waktu, ruangan atau teknlogi ditujukan untuk maksimasi (profit, penjualan, kesejahteraan, dll) atau minimasi (biaya, waktu dan jarak) Setelah masalah diidentifikasi, tujuan ditetapkan langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yg meliputi tiga tahap seperti berikut: Tentukan variabel yg tak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan yg juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yg mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah itu.

Contoh 1 Sebuah perusahaan menghasilkan tiga jenis produk, yaitu sepatu, tas dan dompet. Jumlahwaktu kerja buruh yang tersedia adalah 240 jam kerja dan bahan mentah 400 kg dan harga masing-masing produk adalah seperti yang tersaji pada tabel 1.1. Apa yg harus dilakukan perusahaan ini. Jenis Produk Kehutuhan Sumber Daya Harga(Rp/unit) Buruh (jam/unit) Bahan (kg/unit) Produk 1 (sepatu) Produk 2 (tas) Produk 3 (dompet) 5 4 2 6 4 3 3 5 2 Masalah yg dihadapi adalah menentukan jumlah masing2 produk yang harus dihasilkan untuk memperoleh keuntungan maksimum

Variabel keputusan Tiga variabel dalam masalah ini adalah jumlah sepatu, tas dan dompet yang harus dihasilkan. Jumlah ini dapat dilambangkan sebagai berikut: X1 = jumlah produk 1 (sepatu) X2 = jumlah produk 2 (tas) X3 = jumlah produk 3 (dompet) b) Fungsi Tujuan Tujuan dari masalah kombinasi produk adalah untuk memaksimumkan penerimaan total. Jelas bahwa penerimaan total adalah jumlah penerimaan yang diperoleh dari masing- masing produk. Penerimaan dari produk 1 adalah perkalian antara jumlah produk 1 dengan harga per unit (Rp 3). Penerimaan produk 2 dan 3 ditentikan dengan cara serupa. Sehingga penerimaan total , Z, dituliskan sebagai berikut: Z = 3X1 + 5X2 + 2X3

c) Sistem Kendala Dalam masalah ini kendalanya adalah jumlah buruh dan bahan mentah yg terbatas. Masing2 produk membutuhkan buruh dan bahan mentah. Untuk produk 1, buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan 1 unit produk adalah 5 jam, sehingga buruh yg dibutuhkan produk 1 adalah 5X1 jam. Produk 2 adalah 2X2 jam dan produk 3 adalah 4X3 jam. Total jam buruh yg tersedia dalah 240. Sehingga kendala buruh dituliskan sbb: 5 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≤ 240 Kendala bahan mentah dirumuskan sebagai berikut: 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 ≤ 400 Persamaan ini dibatasi bahwa variabelnya hanya bernilai positif, karena kana tidak masuk akal untuk menghasilkan produk negatif. Kendala2 ini dinamakan non –negativity constraints dan secara matematis dituli: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0

Sekarang masalah LP yang lengkap dapat diringkas sebagai suatu model matematik, Maksimumkan Z = 3X1 + 5 X2 dan 2 X3 Dengan syarat 5 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≤ 240 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 ≤ 400 X1, X2, X3 ≥ 0

Membangun Model Matematis

Metode Simpleks Bentuk Baku Model LP Dalam menggunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah-masalah LP, model LP harus diubah ke dalam suatu bentuk umum yg dinamakan ‘bentuk baku’ (standard form) Ciri-Ciri dari bentuk baku model LP adalah: Semua kendala berupa persamaan dengan sisi kanan nonnegatif Semua variavel nonnegatif Fungsi tujuan dapat maksimum maupun minimum Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk baku ikuti contoh berikut

Kendala 1. Suatu kendala jenis ≤ ( ≥ ) dapat diubah menjadi suatu persamaan dengan menambahkan suatu variabel slack ke (mengurangi suatu variabel surplus dari) sisi kiri kendala. Contoh: - Pada kendala X1 + X2 ≤ 15 ditambahkan suatu slack S1 ≥ 0 pada sisi kiri untuk mendapatkan persamaan X1 + X2 + S1 = 15. Jika kendala menunjukkan keterbatasan penggunaan suatu sumber daya, S1 akan menunjukkan slack atau jumlah sumber daya yang tak digunakan. - Pada kendali 3X1 + 2X2 – 3X3 ≥ 5 dikurangi dengan variabel Surplus S2 ≥ pada sisi kiri untuk memperoleh persamaan 3X1 + 2X2 – 3X3 – S2 = 5 b. Sisi kanan suatu persamaan dapat selalu dibuat nonnegatif dengan cara mengalikan kedua sisi dengan -1 -5 X1 + X2 = -25 adalah ekialen dengan 5X1 – X2 =25 Arah pertidaksamaan dibalik jika kedua sisi dikalikan -1 Contoh : -5X1 + X2 ≤ - 25 dapat diganti dengan 5X1 – X2 ≥ 25

b. Fungsi Tujuan Meskipun model LP dapat berjenis maksimasi maupun minimasi, terkadang bermanfaat untuk mengubah salah satu bentuk ke bentuk lain. Maksimasi dari suatu fungsi adalah ekuivalen dengan minimasi dari negatif fungsi yang sama dan sebaliknya. Contoh: Maks Z = 50 X1 + 80 X2 +60 X3 ekuivalen secara matematis dengan Min (-Z) = - 50 X1 – 80 X2 – 60 X3 Langkah-langkah Metode Simplek Tabel Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Langkah 3: Memilih kolom kunci (entering vaiabel) Langkah 4: Memilih baris kunci (leaving variabel) Langkah 5 : Mengubah nilai-nilai baris kunci Langkah 6 : Mengubah nilai selain baris kunci Langkah 7: Melanjutkan perbaikan2/perubahan2.

Contoh Soal Perusahaan sepatu ‘IDEAL’ membuat 2 jenis sepatu. Jenis pertama merk X1 dengan sol karet dan merk kedua X2 dengan sol kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas sepatu dengan sol. Setiap lusin sepatu merk X1 mula-mula dikerjakan di mesin di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan untuk sepatu merk X2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian dimesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk X1 = Rp 30.000,- dan merk X2 = 50.000,-. Berapa lusin sepatu X1 dan X2 yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimum.

lLangkah : Mengubah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Fungsi Tujuan: Z = 3 X1 + 5 X2 ---> Z – 3 X1 – 5 X2 = 0 Fungsi Kendala (1) 2 X1 ≤ 8  2X1 + S1 = 8 (2) 3 X2 ≤ 15  3X2 + S2 = 15 (3) 6 X1 + 5X2 ≤ 30  6X1 + 5X2 + S3 = 30

Langkah 2: Menyusun Persamaan dalam Tabel simpleks Variabel Dasar Z X1 X2 X3 Xn…….Xn+1……Xn+2 .Xn+m NK Xn+1 Xn+2 . Xn+m 1 -C1 -C2 -C3 -Cn 0 0 0 a11 a12 a13 a1n 1 0 0 a21 a 22 a23 a2n 0 1 0 am1 am2 am3 amn 0 0 1 b1 b2 bm

Data perusahaan sepatu IDEAL Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30

Langkah 3: Memilih Kolom Kunci (entering variabel) Pilih kolom dengan nilai pada koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30

Langkah 4: Memilih baris kunci (leaving variabel) Cari indeks terkecil. Dengan cara membagi NK dengan nilai pada baris yg sama yg berada pada kolom kunci Indeks = nilai kolom NK / nilai kolom kunci Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Ket S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30 8/0 = ~ 15/3 = 5 30/5 = 6

Langkah 5: Cara Mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Ket S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30 8/0 = ~ 15/3 = 5 30/5 = 6 Z S1 X2 S3 1 0 1 0 1/3 0 5 dibagi 3

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain baris kunci Baris baru = baris lama – {(koefisien pd kolom kunci) x nilai baru baris kunci } Nilai baris baru untuk Z: ( -3 -5 0 0 0 0 ) (-5) ( 0 1 0 1/3 0 5 ), - Nilai baru = (-3 0 0 5/3 0 25) Lakukan hal yang sama pada baris ke dua dan ke tiga !

Hasilnya adalah: Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Ket S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30 8/0 = ~ 15/3 = 5 30/5 = 6 Z S1 X2 S3 1 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 dibagi 3 Z S1 X2 X1 1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 dibagi 6

Hasil akhir Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Ket S1 S2 S3 1 -3 - 5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 8 15 30 8/0 = ~ 15/3 = 5 30/5 = 6 Z S1 X2 S3 1 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 dibagi 3 Z S1 X2 X1 1 0 0 0 5/6 1/2 0 0 1 5/9 -1/2 0 1 0 1/3 0 1 0 0 -5/18 1/6 27 1/2 6 1/3 5 5/6 dibagi 6

Ketentuan-ketentuan Tambahan Terdapat lebih dari 1 kolom bernilai negatif dengan angka terbesar Dua baris atau lebih mempunyai indeks positif terkecil Kenaikan nilai Z tidak terbatas Multiple Optimal Solution Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK S1 S2 S3 1 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 8 15 30

Penyimpangan2 dari bentuk standar 1. Fungsi kendala/batasan dengan tanda ‘sama dengan’ FT  Z = 3 X1 + 5 X2 Fungsi Kendala (1) 2 X1 ≤ 8  2 X1 X S1 = 8 (2) 3 X2 ≤ 15  3 X2 + S2 = 15 (3) 6 X1 + 5X2 = 30  6 X1 + 5X2 = 30 ??? Agar bisa diselesaikan dengan tabel simpleks, maka kendala (3) harus ditambahkan satu variabel lagi, karena belum ada variabel yang bisa menjadi variabel dasar pada tabel pertama. jadi : 6 X1 + 5X2 + S3 = 30

Karena ada penambahan variabel buatan S3 maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan menambahkan bilangan M, sehingga fungsi tujuan yang baru menjadi FT menjadi : Z = 3 X1 + 5 X2 - MS3 = 0 Untuk masuk ke dalam tabel simplek FT harus dirubah dengan cara - Koefisien FT dikurangi dengan koefisien fungsi kendala yang memuat M dikalikan dengan M - 3 -5 0 0 M 0 6 5 0 0 1 30 (-) (-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30 Baris hasil pengurangan ini lah disebagai baris untuk fungsi tujuan pada tabel simpleks

Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi S1 S2 S3 1 (-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 - 30 M 8 15 30 X1 0 (-5M-5) (3M+3/2) 0 0 1 0 ½ 0 0 0 3 0 1 0 0 5 -3 0 1 (-6M+12) 4 6 X2 0 0 -3/2 0 (M+1) 1 0 ½ 0 0 0 0 9/5 1 -3/5 0 1 -3/5 0 1/5 18 11 2/5 6/5 0 0 0 5/6 (M+1/2) 1 0 0 -5/18 1/6 0 0 1 5/9 -1/3 0 1 0 1/3 0 27 ½ 5/6 6 1/3 5

2. Minimasi Fungsi tujuan dari permasalahan linier programming yang bersifat minimasi, harus diubah menjadi tanda maksimasi. Contoh Minimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 diubah menjadi Maksimumkan (-Z) = -3 X1 -5X2 3. Fungsi Pembatas bertanda ≥ Bila fungsi pembatas bertanda ≥, maka harus diubah menjadi ≤ dan akhirnya menjadi =, agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Misalnya: 6 X1 + 5X2 ≥ 30 dikalikan dengan (1) menjadi -6 X1 - 5X2 ≤ -30 ditambah dengan variabel S4 -6 X1 - 5X2 + S4 = -30

4. Bagian kanan persamaan bertanda negatif Ubah bagian kanan menjadi positif dengan cara mengalikan dengan (- 1). -6 X1 - 5X2 + S4 = -30 dikalikan dengan (-1) 6 X1 + 5X2 - S4 = 30 Persamaan tersebut sudah bertanda kesamaan dan bagian kanan telah bertanda positif, tetapi Slack variabel (S4) masih negatif. Agar bisa diselesaikan dengan metode simpleks persamaan tsb harus ditambahkan 1 lagi variabel buatan (artificial variable) S5. 6 X1 + 5X2 - S4 + S5 = 30 Sesuai dg penjelasan sebelumnya, jika ada variabel buatan yg ditambahkan pada fungsi kendala, harus juga ditambahkan nilai M pada fungsi tujuan.

Contoh Soal Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 3 X1 + 5X2 Fungsi Kendala: (1) 2X1 = 8 (2) 3X2 ≤ 15 (3) 6X1 + 5X2 ≥ 30 Penyelesaian : Fungsi Tujuan Fungsi tujuan diubah menjadi Maksimumkan (-Z) = -3 X1 - 5X2 Fungsi kendala menjadi: 2X1 + S1 = 8, konsekuansi dari penambahan artificial pada fungsi kendala ini adalah penambahan M pada fungsi tujuan dan mengubahnya sebgai berikut: (-Z) = -3 X1 - 5X2 - MS1

Fungsi Kendala kedua menjadi 3X2 + S2 = 15 Fungsi Kendala ketiga menjadi 6X1 + 5X2 ≥ 30 6X1 + 5X2 - S3 = 30 6X1 + 5X2 - S3 + S4 = 30 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena 1 dan 3 dirubah maka fungsi tujuan menjadi Maksimumkan (-Z) = -3 X1 - 5X2 - MS1 – MS4

Jika dirubah menjadi fungsi implisit (semua dipindah ke ruas kiri menjadi -Z + 3 X1 + 5X2 + MS1 + MS4 = 0 Untuk mendapatkan koefisien fungsi tujuan pada tabel pertama metode simpleks adalah sebagai berikut: Solusi 3 5 M 0 0 M, 0 (M) 2 0 1 0 0 0 8 (-) kendala 1 (M) 6 5 0 0 -1 1 30 (-) kendala 3 (-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 - 38M

Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solusi S1 S2 S3 -1 (-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 2 0 1 0 0 0 0 3 0 1 0 0 6 5 0 0 -1 1 -38M 8 15 30 X1 0 (-5M+5) (4M – 3/2) 0 M 0 1 0 ½ 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 5 -3 0 -1 1 (-6M-12) 4 6 X2 0 0 (M+3/2) 0 1 (M+1) 1 0 ½ 0 0 0 0 1 9/5 1 3/5 -3/5 0 1 -3/5 0 -1/5 1/5 -18 6 2/5 6/5

Penyelesaian Masalah LP dengan Metode Grafik Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas sebagai berikut: Menentukan fungsi tujuan dan menformulasikannya dalam bentuk matematis Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan menformulasikannya dalam bentuk matematis Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem salib sumbu Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan.

≤ kurang dari atau sama dengan ≥ lebih besar dari atau sama dengan Sebelum mempraktekkan setiap langkah di atas sebaiknya terlebih dahulu diuraikan masalah yang biasanya paling kritis, yaitu menggambarkan garis-garis dari fungsi kendala. Fungsi kendala ini dinyatakan dalam 3 tanda, yaitu: ≤ kurang dari atau sama dengan ≥ lebih besar dari atau sama dengan = sama dengan Contoh: 1. Grafik dari 4 X + 3Y ≤ 12 Y 4 3 X

2. Grafik dari 4 x + 3Y ≥ 12 3. Grafik dari 4 X + 3 Y =12

Contoh Dengan mengambil contoh persamaan yg sama dengan bahasan pada metode simpleks Fungsi Tujuan: Z = 3 X1 + 5 X2 Fungsi Kendala (1) 2 X1 ≤ 8 (2) 3 X2 ≤ 15 (3) 6 X1 + 5X2 ≤ 30 Maka grafik fungsi-fungsi kendalanya adalah sebagai berikut:

8 7 6 3X2 = 15 5 4 3 2 1 X2 2X1 = 8 6 X1 + 5 X2 = 30 C D B A X1

Titik O Titik D Nilai X1 = 0; X2 = 0 Pada titik ini nilai X2 = 5 dan nilaiX1 = 0 Nilai Z = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25 Titik A: Nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3 (4) + 0 = 12 Titik B: Nilai X1 = 4. Subtitusikan nilai ini pada persamaan kendala (3), maka 6 (4) + 5 X2 = 30, jadi X2 = (30-24)/5 = 6/5 Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18 Titik C: Nilai X2 = 5, subtitusikan nilai ini pada persamaan fungsu kendala (3), mejadi 6X1 + 5(5) = 30, jadi X1 = (30-25)/6 =5/6 Z = 3 (5/6) + 5(5) = 27,5