Geometri Netral ? Geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes

A. Jumlah Sudut dalam Segitiga Teorema 1 Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari 1800. Bukti:

Bukti Teorema 1  

  B F A C E 1 2 3 4 3’ 2’

Bukti Teorema 2  

Teorema 3 Jumlah sudut segitiga sembarang kurang dari atau sama dengan 1800. Bukti:

Bukti Teorema 3  

Bukti Teorema 3  

B. Jumlah Sudut Persegi Panjang Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi panjang apabila besar setiap sudutnya 900. Oleh karena geometri yang kita bicarakan adalah geometri netral yang tidak menganut aksioma kesejajaran euclides, maka sifat-sifat dalam persegi panjang yang kita kenal harus dibuktikan tidak dengan menggunakan sifat-sifat yang ada pada persegi panjang.

Teorema 1 Jika ada sebuah persegi panjang dalam geometri netral, maka akan ada juga sebuah persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih panjang dari ruas garis tertentu.   Bukti: Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus dibuktikan adanya persegi panjang dengan panjang salah satu sisi melebihi XY.

Bukti Teorema 1 B C C1 C2 Cn A D D1 D2 Dn x Y Perpanjang AD sampai DD1 sehingga AD = DD1. Perpanjang BC sampai CC1 sehingga BC = CC1. Artinya ada D1 dengan ADD1 sehingga panjang AD = DD1 dan ada C1 dengan BCC1 sehingga panjang BC = CC1. Tarik C1D1 maka AD1C1B adalah sebuah persegi panjang. Proses ini kita lanjutkan. Jadi ada D­2 dengan DD1D2 sehingga panjang DD1 = D1D2 dan ada C2 dengan CC1C2 sehingga CC1 = C1C2. Tarik C2D2 maka AD2C2B suatu persegi panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma kekontinuan), ada Dn sehingga ADn = n x AD dan ADn > XY, maka ADnCnB suatu persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.

Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis XY dan PQ. Teorema 2 Jika ada sebuah persegi panjang dalam geometri netral maka ada persegi panjang yang panjangnya dua sisi yang bersisihan masing-masing melebihi panjang dua ruas garis yang diketahui. Bukti: Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis XY dan PQ.

Bukti Teorema 2 G H F E C D B A Q P X Y Dengan menggunakan teorema 1 dua kali maka kita peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari

Teorema 3 Jika dalam suatu geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga siku-siku sama dengan 1800 Bukti : Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa: 1. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang pada diagonalnya. 2. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800

Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama. Bukti Teorema 3 Misalkan segitia ABC siku-siku di B, menurut teorema 2, maka terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC. Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’. Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama. Perhatikan gambar berikut: A B C A’ B’ C, D’ p q

Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan Bukti Teorema 3 Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’ maka menurut definisi segi empat semua sudutnya adalah 900, maka p + q = 4 x 900 ………… (1) Menurut teorema 3, maka p ≤ 1800. Andaikan p < 1800. Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600, maka diperoleh q > 1800. Hal ini bertentangan dengan teorema 3. Jadi p = 1800 (terbukti)

Perhatikan gambar berikut: Teorema 4 Jika dalam geometri netral ada persegi panjang maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800 Bukti : Perhatikan gambar berikut: C A B D

Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800. Bukti Teorema 4 Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800. A + B + C = 1800 Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yaitu segitiga ACD dan BCD. Jumlah sudut ACD = ABD = 1800. (menurut teorema 3) Sehingga ( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600 ↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600 ↔ A + B ( C1 + C2) = 1800 Jadi A + B + C = 1800 (terbukti)

Teorema 5 Jika dalam geometri netral ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 1800, maka akan ada sebuah persegi panjang. Bukti :

Perhatikan gambar berikut: Bukti Teorema 5 Perhatikan gambar berikut:     Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800. Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800. Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis AD. Maka p + q = 2 x 900 + 1800 = 3600 C A B D p q

Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema 3, p = 1800 Bukti Teorema 5 Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema 3, p = 1800 Jika p < 1800, q > 1800 maka ini bertentangan dengan teorema 3. Jadi ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai jumlah sudut 1800. Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segi tiga siku-siku tersebut kita tempelkan bersama untuk membentuk sebuah persegi panjang.

Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800, maka Bukti Teorema 5 B D 2’ E 1 2 1’ A Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD dengan E berlainan pihk dengan D dari sisi AB, dengan BE bersesuaian dengan AD. (lihat gambar di atas) Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800, maka

Bukti Teorema 5 1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh 1 + 2’ = 900 dan 1’ + 2 = 900. Tetapi 1 + 2’ = EAB 1’ + 2 = EAD Jadi EAB = EAD = 900, berarti ADBE persegi panjang (definisi persegi panjang)

Akibat 1 Teorema 5 Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Bukti : Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800, maka menurut teorema 5 akan ada sebuah persegi panjang. Sedangkan menurut teorema 4, jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800. (terbukti)

Akibat 2 Teorema 5 Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800. Bukti : Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut < 1800, perhatikan sebarang segitiga PQR. Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800. Misalkan p = 1800, maka menurut akibat 1 dari teorema 5 di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800. Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas. Jadi yang benar adalah p < 1800.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Dua garis yang tidak berhimpit mempunyai paling banyak satu titik potong. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD, SS-SS-SS. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka sudut-sudut dihadapanya adalah sama. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi dihadapannya sama. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik diluar garis tertentu tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut-sudut dihadapannya juga tidak sama, dan sudut segitiga yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi-sisi dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi ketiga.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga yang pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga yang kedua, maka sudut apit dari segitiga yang pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga ke dua. Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 1800. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di luar garis tertentu tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral Misalkan garis 1 melaui titik C yang jaraknya kepusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya maka garis satu memotong lingkaran di dua titik. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada jari-jari lingkaran. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ=AB maka ada titik R di luar PQ sedemikian sehingga segitiga PQR kongruen segitiga ABC. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.

Referensi Barnett Rich, Schaum’s Outline of Geometry, (alih bahasa; Irzam H), Erlangga, 2005. http://www.4shared.com/file/_Wz_7YGR/Geometri_netral_Bagian_2.html?s=1 (diunduh pada tanggal 7 Oktober 2010) http://trisyanaharti42m.wordpress.com/ (diunduh pada tanggal 7 Oktober 2010) Michael Hvidsten, Geometry with geometry explorerTM, McGraw-Hill International Edition, 2005.

Terima kasih