LogikA MATEMATIKA

PERNYATAAN BERKUANTOR Suatu kalimat terbuka akan diubah menjadi pernyataan bila semua peubahnya diganti dengan konstanta dari semesta pembicaraannya. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan ialah dengan memakai kuantor (dari kata ”quantity” yang berarti ”banyaknya” ). Ada dua macam kuantor, yaitu: a. Kuantor Universal, lambangnya : ” ” b. Kuantor Eksistensial, lambangnya : ”  ”

PERNYATAAN BERKUANTOR Kalimat terbuka ”P(x)” akan berubah menjadi pernyataan apabila di depannya ditambahkan suatu kuantor, sbb: ( x ). P (x), yang dibaca : Semesta pembicaraan: Bilangan Asli Untuk setiap x, x adalah bilangan positif. Setiap ( semua) x adalah bilangan positif. Ini adalah pernyataan yang bernilai benar. ( x ). P ( x ), yang dibaca : Semesta: Bilangan Bulat Terdapatlah x sedemikian sehingga x adalah bilangan positif ( “ Terdapat “ disini berarti sekurang – kurangnya ada satu ). Ini adalah pernyataan yang bernilai benar.

Bila suatu kalimat terbuka memuat lebih dari satu peubah, maka untuk mengubahnya menjadi pernyataan setiap peubahnya harus diberi kuantor. Banyaknya kuantor yang dibutuhkan di depan kalimat terbuka harus sama dengan banyaknya peubah agar kalimat terbuka itu berubah menjadi peryataan.

Misalnya suatu kalimat terbuka yang memuat dua buah peubah x dan y disajikan dengan lambang ”P(x,y)” Jika mendapatkan tambahan kuantor menjadi : ( x ). P(x,y) ( y ). P(x, y) ( x ) . P(x,y) ( y ). P(x,y) Semuanya masih tetap merupakan kalimat terbuka. Peubah yang diberi kuantor disebut peubah terikat, sedangkan peubah yang tidak diberi kuantor disebut peubah bebas.

Sedangkan bentuk-bentuk: ( x ) ( y ). P(x,y). ( x ) (y ). P(x,y) ( x) ( y ). P(x,y). (x ) ( y ). P(x,y) Semuanya merupakan pernyataan.

Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari suatu peryataan berkuantor dapat dinyatakan dengan lambang logika berikut ini: Contoh: Menyatakan bahwa “ Tidak semua manusia pandai “ sama dengan menyatakan bahwa : “ Ada manusia yang tidak pandai “ Dengan P(x) adalah lambang untuk “x adalah pandai “ Demikian pula : Mengatakan bahwa “Tidak ada manusia yang pandai “ Sama dengan mengatakan bahwa : “ Semua manusia tidak pandai “ Dengan perkataan lain kedua peryataan tersebut adalah ekuivalen.

TAUTOLOGI Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap penggantian peubahnya dengan sebarang pernyataan. Suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap perngantian peubahnya dengan sebarang pernyataan disebut Kontradiksi. Bila penggantian peubah-peubah itu dengan pernyataan dapat menghasilkan pernyataan yang benar atau pernyataan yang salah, maka bentuk itu disebut Kontingensi. Contoh

Membuktikan Tautologi : 1. Dengan Tabel Kebenaran Bentuk Pernyataan Majemuk itu adalah Tautolegi bila kolom terakhir dari Daftar Kebenarannya berisi nilai ‘1’ semua. 2. Bentuk Pernyataan Majemuk itu diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk yang sudah dikenal sebagai Tautologi. 3. Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang berupa suatu ekuivalensi : Salah satu rupanya diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk dari ruas lainnya. Contoh