AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd. BILANGAN KOMPLEKS

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Definisi: Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan dengan lambang z=(x,y). Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai: C= {z : z = (x,y) ; x, y € R} Bilangan kompleks z= (x,y), x =Re(z) dan y=Im(z)

z1 = z2 jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2 Z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) Definisi Diberikan bilangan kompleks Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan: z1 = z2 jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2 Z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) Z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2) kz1=(kx1, iky1), k konstanta real Z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) f.

Definisi Diberikan bilangan kompleks z= x+iy; x,y€R. Bilangan kompleks sekawan (konjuget) dari z didefinisikan dengan Teorema Diberikan z1, z2 € C, Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah:

Contoh Diberikan dan carilah: Penyelesaian

2. Tentukan tempat kedudukan semua titik pada bidang datar sehingga Penyelesaian: Misalkan z=x+iy, diperoleh Karena maka atau y = -2 Jadi tempat kedudukan yang memenuhi adalah y = -2

GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS Penulisan bilangan kompleks z = x+iy sering disingkat sebagai pasangan terurut (a,b), oleh karena itu bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam suatu bidang datar seperti halnya koordinat titik dalam sistem koordinat kartesius Bidang yang digunakan untuk menggambarkan bilangan kompleks disebut bidang kompleks atau bidang argand

Interpretasi geometri bilangan kompleks Secara geometri z = x + iy digambarkan sama dengan koordinat kartesius dengan sumbu tegaknya yaitu x sebagai sumbu riil, dan sumbu mendatar yaitu y sebagai sumbu imajiner. Contoh:

Contoh: Buatlah grafik bilangan kompleks berikut : x = 4 + 6j dimana : 4 merupakan bilangan real positif 6j merupakan bilangan imajiner positif

Sedangkan memenuhi hubungan: dan atau Untuk sembarang nilai z≠0 nilai utama argumen z didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen z yang memenuhi hubungan Nilai tunggal argumen z dilambangkan dengan Arg z.

Bentuk polar bilangan kompleks Contoh Carilah z sehingga dan Arg z= Penyelesaian Misalkan z= x+iy dengan diperoleh Jadi diperoleh: z=x+iy z= -1+i

Akar bilangan kompleks Teorema De Moivre Jika dengan maka untuk setiap Definisi Diberikan Akar pangkat n dari w ditulis didefinisikan sebagai bilangan kompleks z sehingga berlaku dan n≥2. Teorema Diberikan dengan jika untuk setiap n≥2 dan maka dengan k=0,1,2,…,n-1.

Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan Penyelesaian Misalkan dan Diperoleh Maka

Jadi diperoleh,